Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Это обстоятельство является совершенно поразительным. Может быть, дело здесь в том, что наши представлеиия о свойствах субатомных явлений во многих случаях имеют пока скорее качественный, чем количественный характер. Недавние эксперименты по проверке дисперсиоиных соотношений для упругого рассеяния пионов на протонах показали, что в пределах точности измерений современной экспериментальной техники нет никаких отклонений от известных пам квапто- Предо«лови« редактора перевода вых законов по крайней мере до расстояний Лх 5 10 'в см и интервалов времени Л«2 10-" сев.
Вполне возможно, что в будущем нам придется существенно изменить известные сейчас законы квантования; однако представляется очень маловероятным, чтобы это изменение было связано с отказом от вероятностного описания микроявлений. Наоборот, есть все основания ожидать, что в изучении микромира по мере перехода ко все меньшим масштабам расстояний и времени роль вероятностного элемента будет возрастать.
Формулировка квантовой теории, предложенная Фейнманом, потребовала довольно сложного математического аппарата бесконечномерных интегралов в функциональном пространстве. В математической литературе такие интегралы часто называют «континуальными интегралами» или «интегралами по мере Винера», однако среди физиков более распространенными являются термины «интеграл по путям» или «интеграл по траекториям». Последний из них довольно точно соответствует английскому названию книги Фейнмана и Хнбса Яааков Мес)гав1сз ан«1 Ра«)ь 1в1еяга1з) и сути предложенного Фейнманом метода; этим термином мы и будем пользоваться далее. Впервые интеграл по траекториям был введен в работах Эйнштейна и Смолуховского по теории броуновского движения, где было показано, что для броуновской частицы вероятность пройти вдоль траектории х = х (8) таким образом, чтобы х (0) = О, и, (х(8,) ( Ь„ а„(х(г„) (Ь„, где 0 <1в< 82 с ° ° ° с«, равна ьв ьп ...
~ бь(0!Х«3 Гв) бь(хв!х» Г» — «в)... а» ап ° .. бе(х„,~х„; ~п — ~п,)ГХ, йхп, где «г(х)у; в) = е Ь- >Ч«в~ 1 2 )' юнас Р— постоянный коэффициент диффузии. В пределе, когда все интервалы (~ь — гь,) — ~ О, это выражение переходит в бесконечномерный интеграл по траекториям. Предисловие редактора керевода С математической точки зрения обоснование такого предельного перехода требует прежде всего строгого определения дифференциального элемента объема Я"х — меры в соответствующем функциональном пространстве. Эта задача была подробно рассмотрена в начале двадцатых годов Винером (8, 9), который показал, что в случае независимых смещений броуновской частицы у» ьа х (дь) — х (дь-в) мера вхр [ — ~~~~ д$Ь/4П(Вд — ВЬ в)~ а П с(хь, Ц 3/4кП (вь — вь-в) ь=в Это выражение принято называть мерой Винера (более строгий вывод Я х дан в монографии Каца ИО!).
Интеграл по траекториям от функционала г' (х (ь)! записывается в виде ьв ь, ~ Р(х(д))Я"х=)пп ~ ... ~ Г(у,; уе, ... у ) Я"х. ав аи Интегралу Эйнштейна — Смолуховского соответствует функционал г', тождественно равный единице. Фейнмановскнй интеграл по траекториям отличается лишь тем, что фактор ( — !) в экспоненте выражения Я"х заменяется мнимой единицей в, а постоянной Р придается другой физический смысл. В книге Фейнмана и Хибса не дано строгого определения интеграла по траекториям; он вводится чисто интуитивно как предел соответствующего многократного интеграла (заметим, что введение комплексной единицы существенно усложняет строгое обоснование такого предельного перехода).
Впрочем, для физика это в большинстве случаев не очень важно; ему нужна лишь уверенность, что строгое доказательство может быть получено. Как отмечают сами авторы, их книга является не законченным учебником квантовой механики, а скорее введением в этот важнейший раздел современной физики; в качестве учебника ее можно использовать совместно с каким-либо другим пособием, где подробно рассмотрены уравнение Шредингера и применение аппарата квантовой механики к решению конкретных физических задач (например, из курсов И вЂ” 7!). Книга, несомненно, окажется полезной и интересной как для специалистов, которые уже владеют методами квантовой теории и желают расширить свой теоретический кругозор взгля- Предисловие редактора леревода нув на знакомые вещи с несколько другой стороны, так и для аспирантов и студентов, изучающих квантовую механику.
Перевод выполнен Э. М. Барлитом (предисловие, гл. с 1 по 4 и с 10 по 12) и 10. Л. Обуховым (гл. с 5 по 9). В. С. Варашенков Литература 1. Б л о хи нц е в Д. И., Основы квантовой механики, М., 1958. 2. Б л о х и в ц е в Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики, М., 1966. 3. Д а в ы д о в А. С., Квантовая механика, М., 1963. 4. Д и р а к П. А. М:, Привципы квантовой механики, М., 1960, 5. Л а н да у Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, М., 1963.
6. Соколов А.А.,Лоскутов Ю.М.,Тернов И.М.,Квантовая механика, М., 1962. 7. Ш и ф ф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957. 8. 1«' » е в е г Ы., Хогв. о1 Ма»Ьеш. аЫ РЬуз(сз, МазьасЬззе((а 1вз(1(псе о1 Тес1шо!оду, 2, 131 (1923). 9. Ж 1 е в е г Х., Ргос. 1 оп«(оп МаСЬ. Бос. (Бег. 2), 2, 454 (1924]. Ш. К а ц М., Вероятность и смешные вовросы в физике, изд-во «Мир», 1965. ПРЕДИСЛОВИЕ В основу своего нового подхода к квантовой механике Р. Фейнман положил интеграл по траекториям. Основные физические и математические идеи такого подхода впервые возникли у него во время прохождения аспирантуры в Принстоне, хотя в законченном виде, подобном изложению в настоящей книге, они не были сформулированы еще несколько лет. Эти ранние исследования были вызваны проблемой расходимости собственной энергии электрона.
В ходе работы возникла идея некоторого «принципа наименьшего действия», с помощью которого удалось справиться с расходимостями, возникающими в классической электродинамике. Затем появилась мысль применить этот принцип к квантовой механике, чтобы получить классическую механику как предельный случай квантовой при Й, стремящейся к нулю. Фейнман в это время пытался как-нибудь связать квантовомеханическое описание явлений с такими классическими понятиями, как лагранжиан или гамильтонова функция действия— первообразная от лагранжиана.
Из бесед с одним европейским физиком, гостившим в то время в США, он узнал о статье Дирака '), где рассматривалось преобразование квантовомеханической волновой функции с помощью экспоненты от лагранжиана, помноженного на 1е. Дирак предполагал, что это преобразование аналогично переходу от значения волновой функции в некоторый момент к ее значению в другой момент, отделенный интервалом е, причем такой переход совершается простым умножением на упомянутую экспоненту. Возник вопрос: что подразумевал Дирак под словом «аналогично»? Фейнман решил выяснить, не означает ли оно «равняется>. Краткое исследование показало, что эту экспоненту действительно можно использовать именно таким обравом.
Последующий анализ привел к применению экспоненты от Я (в этой книге Я вЂ” интеграл по времени от лагранжиана— будет называться дейсииием) в качестве функции преобразования для конечных интервалов времени. Однако при использовании такой формулы необходимо для каждого момента времени вычислять интегралы по всем пространственным переменным. Когда готовилась статья, налагающая эту идею 11], возникло представление об «интеграле по всем траекториям» как методе описания и как способе выполнения необходимых интеграций по всем координатам. К тому времени было уже разработано несколько математических приемов с применением интегрирования по т) Подробно об истории возникновения этих идей Фойюеаи расскааывает в своей Нобелевской лекции )УФН, 91, вып.
1, 29 (1967)).— Прим. перев 12 Предисловие траекториям и рассмотрено несколько приложений, хотя главным направлепием работы являлась в то время квантовая электро- динамика. Фактически интегрирование по траекториям ни тогда, ни впоследствии не стало удовлетворительным способом устранения расходимостей квантовой электродинамики; зато выяснилось, что этот метод чрезвычайно полезен для решения задач вдругой области, В частности, с его помощью законы квантовой электродинамики выражаются в таком виде, что их релятивистская инвариантность становится очевидной. Кроме того, были пайдены успешные приложения этого метода и к другим квантовомеханическим задачам.
Из ранних применений метода интегрирования по траекториям к неподдававшейся квантовой задаче наиболее впечатляющим было его приложение к проблеме лэмбовского сдвига вскоре после его открытия. В теории при объяснении этого сдвига без кривлечения явно искусственных приемов устранения расходимостей возникли трудности. Интегрирование по траекториям оказалось одним из вполне логичных и внутренне согласованных способов обращения с этими трудно преодолимыми бесконечностями.
На протяжении нескольких лет изложение квантовой механики с использованием интеграла по траекториям применялось в качестве лекционного курса в Калифорнийском технологическом институте. В течение этого времени А. Хибс, студент Фейнмана, подготовлял конспекты, пригодные для превращения курса лекций, посвященного такому подходу к квантовой механике, в книгу па эту тему. В наследующие годы, пока писалась книга, и в лекции д-ра Фейнмана и в книгу были включены новые разделы, например статистическая механика и вариационный принцип. За это же время изложение квантовой механики в лекциях Фейнмана до некоторой степени отклонилось от первоначального подхода.
Выяснилось, что для решения более общих задач квантовой механики операторный метод оказывается и глубже, и намного мощнее. Тем не менее интеграл по траекториям обеспечивает наглядность восприятия квантовомеханических ситуаций, что чрезвычайно ценно при выработке интуитивного понимания квантовых законов. Благодаря этому в тех разделах квантовой механики, где данный подход оказывается особенно полезным (а большинство из них представлено в этой книге), студенту-физику обеспечено превосходное понимание основных квантовых принципов, что позволит ему в будущем намного эффективнее решать задачи из более широких областей теоретической физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
