Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 6
Текст из файла (страница 6)
рвд. 26 Га. 1. Оеновнне идеи квантовой механики нативы имеют место, нужно изменить правила получения вероятностей и выбрать их в виде (1А) и (1.2). Понятие об интерференции амплитуд — основное во всей квантовой механике. В некоторых ситуациях могут присутствовать обе разновидности альтернатив. Предположим, что в эксперименте с двумя отверстиями нас интересует вероятность попадания электрона в некоторую точку, скажем, в пределах 1 см от центра экрана. Мы можем понимать под этим вероятность того, что сработавший детектор находился в пределах 1 см от точки х = 0 (если детекторы были размещены по всему экрану и один из них наверняка сработал бы, когда электрон попал на экран). В этом случае существуют различные вероятности того, что электрон попадает в детектор через то или другое отверстие.
Отверстия представляют собой интерферирующие альтернативы, а детекторы — несовместимые. Поэтому сначала складываем фв + ф, для фиксированного значения х, возводим эту сумму в квадрат, а затем полученные вероятности интегрируем по х от — 1 до 1. Обладая небольшим опытом, нетрудно сказать, какая именно разновидность альтернативы имеет место. Предположим, например, что мы располагаем информацией об альтернативах (или ее мояено было бы получить без изменения конечного результата), но зта информация не используется. Тем не менее суммирование вероятностей в атом случае нужно выполнять по правилу для несовместимых альтернатив, Благодаря имеющейся информации зти несовместимые альтернативы при необходимости могли бы быть идентифицированы по отдельности.
Некоторые иллюстрации. Альтернативы, которые невозможно различить никаким экспериментом, всегда интерферируют. Яркой иллюстрацией этого факта служит, например, рассеяние двух ядер на угол 90' в системе центра масс, которое изображено на фиг. 1.8. Пусть А является а-частицей, а  — некоторым другим ядром. Спрашивается, какова вероятность того, что А попадает в точку 1 и В в точку 2. Пусть амплитудой такого процесса будет фаз (1,2), тогда вероятность р = ~ ф„в (1,2) ) '. Допустим, что мы не различаем, какое ядро попадает в точку 1 (т. е. не знаем, будет ли это ядро А или В).
Если это ядро В, то амплитудой такого события будет фаз (2,1) !равная фаз (1,2), так как мы выбрали угол рассеяния 90'). Вероятность того, что одно ядро попадет в точку 1, а другое в точку 2, равняется (1.9) )фаз(1, 2) ('+) фаз(2 1) !к=2Р. Мы сложили вероятности.
Случаи, когда и А, и В попадают в точку 1, представляют собой несовместимые альтернативы, так » Л. Интерферируюи»ие елвтернатиеы как при желании мы могли бы, не нарушая предыдущего процесса рассеяния, определить тип ядра, попавшего в точку 1. Но что произойдет, если не только А, но и В также будет а-частицей? Никакой эксперимент в атом случае не в состоянии различить их, и если что-то попадает в точку 1, мы не сможем узнать, какая это частица. Здесь налицо интерферирующие альтернативы, и вероятность равна уже ~ грив(1, 2)+грив(2, 1) ~~=4р. <4АО) Этот интересный результат проверен на опыте.
Когда происходит рассеяние электронов на электронах, то результат отличен от описанного в двух отношениях. Во-первых, Ф н г. х.8. Рассеянно одного ядра нв другом в снстеме центра масс. При рассеянии двух тождественных ндер появляется четкиа интерференцианныа эффект. В этом случае налицо дзе интерферирующие альтернативы. Чэстидз, которзя попадает, например, в точку т, могла вылететь либо из Л, либо иэ В. Если бы исходные ядра не были идентичнымв, то проверке тождественности в точке 1 могла бы укзззть, ввкзя зльтервзтивз имеет место в деаствительности; тогда альтернативы были бы несов- местимы и поэтому никзких интерференционных эффектов не возникло бы.
у электрона есть свойство, которое мы называем сливом, и каждый электрон может находиться в одном из двух состояний: его спиновый момент направлен «вверх» или «вниз». В случае рассеяния электронов малой энергии спнновое состояние в первом приближении не изменяется. Со спинок связан магнитный момент электрона; при малых скоростях основными будут электрические силы, обусловленные зарядом, а влияние магнитных сил сводится лишь к малой поправке, которой мы пренебрегаем.
Поэтому если спин электрона А направлен вверх, а спин электрона В— вниз, то, определив его направление, мы могли бы затем различить их в момент прихода в точку 1. Вероятность рассеяния Гл. 1. Основные идеи квантовой механики в етом случае ! Члв(1 2)!'+! срлв(2 1) !в=2р (1А1) Если же и злектрон А, и электрон В начинают движение, когда их спины были направлены вверх, то мы пе сможем их в дальнейшем различить и следует ожидать, что ( Члв (1, 2) + Ч'лв (2, 1) ~' = 4р. (1.12) В действительности этот вывод ошибочен, и, как это ни странно, электроны не подчинены такому правилу. Фаза амплитуды, описывающей перемену мест пары тождественных злектронов, отличается от исходной на угол 180'. Следовательно, в случае когда оба спина направлены вверх, вероятность рассеяния равна ~Ч (1 2)-д (2,1)Р.
(1.13) В случае лсе рассеяния на угол 90' ~рлв (1, 2) = Флв (2 1). так что выражение (1.13) обращается в нуль. Фермионы и бозоны. Правило сдвига фазы на угол 180' в случае, когда альтернативы включают в себя обмен тождественными электронами, довольно необычно и еЪо физическая природа понята еще не до конца. Кроме злектроноц, ему подчинены и другие частицы. Такие частицы называют фермионами и говорят, что они подчиняются статистике Ферми (антисимметричной статистике). К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и р-назоны, а также комбинации из нечетного числа этих частиц, как, например, атом азота, содержащий семь электронов, семь протонов и семь нейтронов. Правило сдвига фазы на угол 180' впервые сформулировал Паули, и оно составляет квантовомеханическую основу принципа исключения Паули, определяющего характерные черты периодической системы злементов.
Частицы, перестановка которых не изменяет фазу амплитуды, называют бозонами и говорят, что они подчинены статистике Бозе, илн симметричной статистике. Примерами бозонов являются фотоны, я-мезоны и системы, содержащие четное число ферми- частиц, как, например, а-частица, состоящая нз двух протонов и двух нейтронов. Все частицы вещества являются либо боаонами, либо фермионами. Эти свойства симметрии могут приводить к глубоким и на первый взгляд таинственным последствиям; например, жидкий гелий, состоящий иа атомов с массовым числом 4 (т.
е. из бозонов), при температуре порядка 1 — 2' К может течь без сопротивления по узким трубкам, в то время как жидкость, состоящая из атомов с массовым числом 3 (из фермионов), не обладает таким свойством. а Л. Интерферирувавние алыпернативы 29 Понятие тоягдественности частиц в квантовой механике намного полнее н определеннее, чем в классической. С точки зрения классической механики две частицы, которые считаются тождественными, могли бы быть лишь приблизительно одинаковы илн настолько одинаковы, чтобы на практике с помощью современной техники эксперимента их нельзя было различить. При этом сохраняется возможность, что техника будущего установит такое различие.
Однако в квантовой механике положение совершенно иное: мы можем указать прямой критерий, устанавливающий, являются ли частицы совершенно неразличимыми или они различимы. Волн в эксперименте, который схематически изображен на фиг. 1.8, частицы, вылетающие из точек А и В, одинаковы лишь приблизительно, то усовершенствование техники эксперимента дало бы нам возможность (путем тщательного изучения попадающих в точку х частиц) определить, прилетают лн они из точки А или из точки В. В этом случае альтернативы, соответствующие двум исходным положениям, должны быть несовместимы и, следовательно, их амплитуды не будут интерферировать. Важно, что подобный акт обследования имел бы место уже восле шого, как произошло рассеяние. Таким образом, наблюдение не могло повлиять на процесс рассеяния, а это в свою очередь означает, что не следует ожидать иптерференции между амплитудами, описывающими эти альтернативы (вылетает ли частица, попадающая в точку 1, из А или из В).
В этом случае, согласно принципу неопределенности, мы должны заключить, что нет способа (даже в принципе) различить эти возможности; другими словами, если частица попадает в точку 1, то с помощью любого испытания (каково бы оно ни было) ни сейчас, ни в будущем совершенно невозможно определить, вылетела частица из точки А или из точки В, В этом, более строгом, смысле все электроны (равно как все протоны и другие частицы) тождественны. Рассмотрим теперь рассеяние нейтронов на кристалле.
Когда на атомах кристалла рассеиваются нейтроны с длиной волны, несколько меньшей, чем расстояние между атомами, мы получаем ярко выраженные интерференционные эффекты. Подобно рентгеновским лучам, нейтроны вылетают из кристалла только в некоторых дискретных направлениях, определяемых брэгговским законом отражения. В этом примере интерферирующими альтернативами будут взаимоисключающие возможности рассеяния отдельного нейтрона на том или ином атоме (амплитуда рассеяния нейтрона на каком-либо атоме настолько мала, что нет надобности рассматривать альтернативы, соответствующие рассеянию более чем на одном атоме). Волны амплитуды (описывающей движение нейтрона), которые распространяются от этих Гл.
1. Основные идеи квантовой механики атомов, усиливают друг друга лишь в некоторых определенных направлениях. Существует одно интересное обстоятельство, которое усложняет эту явно простую картину. Подобно электронам нейтроны имеют спин, и у них можно выделить два состояния: состояние со спином «вверх» и состояние со спином «вниз».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
