Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Начнем с рассмотрения обычного интеграла Римана. Допустим (очень грубо), что площадь А под кривой равна сумме всех ее ординат; лучше было бы сказать,-что она пропорциональна этой сумме. Чтобы уточнить приведенное утверждение, поступим следующим образом: выберем какое-нибудь подмножество ординат (например, ординаты в точках лы разделенных равными отрезками длины й). Складывая зти ординаты, получаем А — ~~ 7 (хв), (2А7) где суммирование проводится по конечному числу точен х;, как показано на фиг. 2.2. Следующий шаг состоит в определении площади А как предела этой суммы, когда подмножество точек х; (а следовательно, и выбранное подмножество ординат) становится более плотным или, точнее, когда подмножество становится более полным представлением плотного множества, поскольку конечное множество никогда не является какой-либо измеримой частью бесконечного континуума ').
Мы можем перейти к пределу обычным способом, непрерывно уменьшая величину й. Однако, поступая таким образом, мы получили бы различные суммы для разных значений й, и в этом процессе никакого предела не существо- ') Это утверждение следует понимать и том смысле, что конечное множество всегда имеет меру нуль независимо от того, какуго меру имеет содержащее его бесконечное, континуальное множество.— Прим. рвд. гг 4. Сумма яо траекториям зало бы. Чтобы получить искомый предел, необходимо выбрать некоторый нормирующий множитель, который должен вависеть л/ ху от й. Для интеграла Римана, очевидно, таким множителем являет- ся сама величина й. В этом случае предел существует, и мы можем написать выражение А = Пвт ~Ь ~ ~ (хг)] .
(2.18) Построение суммы. При определении суммы по траекториям мы можем поступить аналогичным образом. Во-первых, выберем некоторое подмноясество траекторий. Чтобы сделать это, разобьем область изменения независимой переменной (времени) на интервалы длиной е. Это даст нам в интервале от 1, до 1л набор моментов ь'; (разделенных е-отрезками), каждому из которых поставили в соответствие точку х;..Соединяя все полученные точки отрезками прямых линий, мы получаем траекторию. Сумму по всем найденным таким образом траекториям можно определить, вычислив кратный интеграл по всем значениям хг (1 = =1,2,...Лг — 1): ))ге = 1ь ~а1 е= ~етг — 1о (2.19) ге=ха хб=х„хгг=хб.
Ф и г . 2 . 2 . 0 пределение интеграла . При построении обычяого рима иова интеграла набор ординат проводится от оси абсцисс до рассматриваемой кривой. Расстояние мыкду ордвнатами равно Л. Интеграл (площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс) аппроксимвруется произведением велячвиы Л на сумму ординат. Это приближенное выражение стремптся к точвому значению прн Л О.
Аналогичное определение может быть использовано для интегралов по траекториям. Мера, устремляемая к кулю з вредельном процессе, равна интервалу времени е, рааделнющеиу дискретные точки на траекториях. Гл. 2, Квогвлговолгехсни вский веком движения В результате получим выражение ВЬ'(Ь, а) ~ ~ ... ~ Гр [Х(г)] СгзХГ б(ХЗ ... ГгзХН М (2.20) Интегрирование не производится по х, и хн, так как эти переменные совпадают с фиксированными концами траекторий х, и хь. Это выражение формально соответствует соотношению (2.17).
Уменьшая з, мы можем получить более полное представление йву й ха хг таам гв и г. 2.3. Сумма по всем траенторпнм. Она определнетсл вак предел, в котором траектория первоначально задается лишь координатами и длн большого числа фиксированных моментоз времени, разделенвыв очень малыми интервалами длины с. тогда сумма по траекторинм равна интегралу по всем этим выбранным координатам.
Наконец длл определепнн меры берегов предел прн е -г б. множества всех возможных траекторий, соединяющих точки а и Ь. Однако точно так же, как гй в случае интеграла Римана, невозможно достичь предела этого процесса, так как такой предел не существует. Мы снова должны ввести некоторый нормирующий множитель, который, как и следует ожидать, будет зависеть от е. К сожалению, определение такого нормирующего множителя оказывается весьма трудной задачей, и неизвестно, как это делать в общем случае.
Однако нам это удается сделать для всех задач, которые до сил пор имели практическое значение. Возьмем, например, случай, когда лагранжиан задается выражением (2.2). а. Су ма ио траетторилм Нормирующий множитель в этом случае равен А — '~', где А=~ — ) (2.21) Как получен этот результат, мы увидим далее (см. 3 1 гл. 4).
С учетом множителя А переход к пределу имеет смысл, и мы можем написать й. (ь о) Пш ( ( ~ с(пюз~ь,а~ *1 " з *~-1 (2 22) где (2.23) и представляет собой однократный интеграл вдоль траектории, проходящей, как зто показано на фиг. 2.3, через все соединенные прямолинейными отрезками точки х;. Возможно и более изящное определение траектории. Для соединения точек х; и х;~, вместо отрезков прямых линий мы могли бы использовать отрезки классической траектории.
Тогда можно было бы сказать, что Я вЂ” зто наименыпее значепне интеграла, взятого от лагранжиана по всем траекториям, которые проходят через выбранные точки (х;, г,). При таком определении нет необходимости прибегать к каким-то не имеющим физического смысла переходам по отрезкам прямых. Интеграл по траекториям. Имеется много способов выбрать некоторое подмножество нз всех траекторий, проходящих через точки а и Ь. Применявшийся нами способ, возможно, не является наилучшим с точки зрения математики. Предположим, например, что лагранжиан зависит от ускорения в точках л. В нашем способе построения траектории скорость имеет разрывы во всех точках (х„г;), и, следовательно, ускорение в этих точках бесконечно велико.
Это могло бы привести к затруднениям, но в тех немногих примерах, с которыми мы уже имели дело, вполне законной была аамена х = —, (хм~ — 2л + х -~). 1 (2.24) Могут быть случаи, когда такая замена непригодна или неточна и использовать наше определение суммы по траекториям становится весьма затруднительно. Такая ситуация возникает уже при обычном интегрировании, если некорректно определение интеграла по Риману, задаваемое равенством (2.18), и приходится обращаться к другим определениям, например к интегралу Лебега. Гл.
2. лгеантоволзеханический закон деилгения Необходимость уточнить способ интегрирования вовсе не дискредитирует саму яде)о. Просто речь идет о том, что возможные неудобства, связанные с нашим определением суммы по траекториям (см. выражение (2.22)), в конечном счете могут потребовать формулировки новых определений. Тем не менее сама идея суммирования по всем траекториям, подобно идее обычного интеграла, не вависит от специфики определения и сохраняет смысл, несмотря на недостатки некоторых частных построений. Поэтому, пользуясь менее связывающими обозначениями, мы будем записывать сумму по траекториям как ь К (() а) — $ ЕСПЬ>ЗГЬ, о)ЯХ (2) (2.25) и называть ее интегралом по траекториям.
Это обстоятельство отметим введением знака У вместо оператора дифференциала Ы. Лишь изредка мы будем возвращаться к выражению типа (2.22). Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы и Ф и г. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движудейся в двух изме- рениях. Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен во величине и различается только анакои в обеих частях вигзага, Амплитуяа вероятности яля неноторой частной траектории, так же нак и ядро, описываюп)ее переход ив точки а в точку Ь, зависит от числа поворотов Н па траекторйи; вто следует иа выра- )иений (2.2г) и (2.2т). типа (2Л5). Теперь перейдем к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче.
Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперед и назад со скоростью света. Для е б. Поеледоеааеельнеее еобнтил удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости (х, /) все траектории движения такого осциллятора имеют наклон ~я/4, как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной е и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т.
е, в моменты времени е = е, + пз, где п — целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2Л5); правильным в данном случае будет выражение еэ = (ее), (2.26) где  — число точек поворота на траектории. В качестве упражнения читатель может испольэовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро К (Ь, а), суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т.
д. точками поворота. Это даст К(Ь, а) = ЯЛ'(В)(ез)~, (2.27) где Ф (В) — число возможных траекторий с В точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины К, а именно: Ке+ (Ь, а) — амплитуду перехода из точки а, где скорость частицы была положительной (т. е. направленной вдоль оси х), в точку 6, в которой ее скорость также положительна; К+ (Ь, а)— амплитуду перехода иа точки а, где частица имела отрицательную скорость, в точку 6, куда частица приходит с положительной скоростью; аналогично определены амплитуды К + и К Предположим теперь, что время измеряется в единицах й/тсе. Покажите, что если интервал времени очень велик (го — г, » » Ьlтсе), а средняя скорость мала (хь — х, « с (еь — е,)), то ядро (если не считать мноясителя ехр (етс'/а) (е, — 1о)) совпадает с выражением для свободной частицы !см.
(3.3)). Приведенные здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая. у Б. Посегедоеатпельиьге собьгпьия Правило для двух событий. В этом параграфе мы выведем важный закон слолсения амплитуд вероятностей событий, которые происходят последовательно во времени. Предположим, что е, — некоторый момент времени в промелеутке между е, и ео.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
