Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 12
Текст из файла (страница 12)
8. Дальнейшее разеигаие идей но конкрсжнмк криегерох Задача 8.1. Вероятность того, что частица попадет в точку Ь, по определению пропорциональна квадрату модуля ядра К (Ь, а). В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), зта вероятность я/(х) Ф и г. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в рлвличиые точки иа расстоянии х от начала координат спустя время К Мнимая часть (ве поввзвнз) предстзвляет собой аналогичную волну, смещенную по Фазе нв 90', тан что модуль квадрата емплитуды — постоянная величина.
Длина волны мала при больших х, т. е. прв танях значениях, которые клзсснческая частице может достичь, лишь если онв движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно прогшрционвльны друг другу (см. формулу (9.(0)). Ясно, что зто относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям х расходится. Что означает зтот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки а с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале Ыр, равна Зр/2яй.
Импульс и внергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчета пространственных координат и времени точку а. Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку Ь (х, г) будет иметь вид К (х, (; О, 0) = ( 2™М ) е( (3.7) Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг.
3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7). Мы видим, что по мере удаления от начала координат осцплляции становятся все более и более частыми. Если х настолько велико, что произошло уже много таких осцилляций, то рас- х 1.
Свободная частица стояние между соседними узлами почти постоянно, по крайней мере для нескольких ближайших осцилляций. Другими словами, амплитуда ведет себя как синусоида с медленно меняющейся длиной волны Л. Представляет интерес вычислить эту длину волны.
При иаменении х на длину волны Л фаза амплитуды должна увеличиться на 2я. Отсюда следует, что 2я= т(х+Л)а тха вяхЛ тла 2ло 2М 21 2ло — — =.— + — ° (3.8) Пренебрегая величиной Ла по сравнению с хЛ (т. е. предположив, что х )) Л), получаем Л, ~Ы (3.9) С точки зрения классической физики частица, переместившаяся из начала координат в точку х за время х, имеет скорость х/о и импульс тх/й Когда в квантовой механике движение частицы можно адекватпо описать классическим импульсом р = тх/2, соответствующая амплитуда вероятности изменяется в иространстве синусоидально и длина волны ее колебаний равна Л=— (3.10) Это соотношение можно получить и в более общем случае.
Предположим, что у нас есть некоторый прибор больших размеров, например магнитный аналиаатор, который собирает частицы с данным импульсом в заданную точку. Покажем, что если этот прибор достаточно велик и при работе с ним классическая фиаика является хорошим приближением, то амплитуда вероятности попадания частицы в наперед заданную точку в пространстве осциллирует с длиной волны, равной л/р. Как мы уже видели, ядро в этом случае можно аппроксимировать выражением К ехр( — Яаа(Ь, а)~ Вариация положения конечной точки хь вызывает изменение классического действия.
Если это действие велико по сравнению с ь (квазиклассическое приближение), то при изменении координаты хь ядро К будет очень быстро осциллировать. Изменение фазы, приходящееся на единицу смещения конечной точки, составляет (3.12) б 'ь Но дЯ„„/дхь есть не что иное, как классический импульс частицы в точке хь (см. задачу 2.4) и, следовательно, р = йй. Эта вели- 58 Гл. о. Дальнсйшее развитие идей ни коилреглных лриззерах чина й представляет собой изменение фазы на единицу длины волны и называется волновым числом; ею очень удобно пользоваться.
Поскольку на расстоянии, равном длине волны, фаза изменяется на 2я, то й = 2я!Л. Формула (3.12) представляет собой соотношение де Бройля, связывающее импульс частицы с его волновым числом. Ф и г. 3.2. Амплитуда вероятности найти частицу в заданной точке иаменяется со временем. Здесь показана действительная часть амплитуды. Частота колебании пропорциональна анергии, которую должна била бм иметь частица, чтобы достичь заданной точки еа время Введя угловую частоту ю = 2я(Т и предположив, что ~ >> Т, зто выражение можно записать как гл (х)з (3.14) Рассмотрим теперь временнуго зависимость ядра, описывающего свободное движение.
Предположим, что расстояние фиксировано, а время переменно. Изменение действительной части ядра (3.7) показано на фиг. 3.2, где вдоль оси времени переменны как частота, так и амплитуда колебаний. Пусть время г так велико, что зависимостью амплитуды колебаний от г можно пренебречь. По определению период колебаний Т равен времени, в течение которого фаза возрастает на 2я; тогда ( Т 2аг 2а(В+Т) 2втз ( 1+Т1Г ) ' ол З еньифрапцил при прохождении иерее щель Так как величина т (л/г)х/2 представляет собой классическую энергию свободной частицы, то зто равенство утверждает, что энергия =- йеь (3.15) доил О =- —— Л д~ (3.1б) Величина дЯпп/де в классическом рассмотрении интерпретируется как энергия Е (см. задачу 2.5), и, следовательно, ео == — ' р." л (3.17) Таким образом, понятия импульса и энергии переносятся з квантовую механику с помощью следующих правил: 1) если амплитуда вероятности изменяется как ееьх, то говорят, что частица имеет импульс Л/е; 2) если эта амплитуда имеет определенную частоту, изменяясь с течением времени как е '"', то говорят, что энергия равна Ьеа.
Мы только что показали, что эти правила согласуются с определением энергии и импульса в предельном классическом случае. Задача 8.2. Покажите с помощью подстановки, что в случае свободной частицы, как только (ь превосходит г„ядро К (Ь, а) удовлетворяет дифференциальному уравнению В дК(Ь, а) аа деК (Ь, а) дзь 2т дхье у" 2. Дтефраят1тея ври проюолсдетсыи через и(ель Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и ее связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример.
Предположим, что в момент времени с = О частица выходит из начала координат, а спустя время Т мы находим ее в некоторой точке лс. В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью со — — хо/Т. При этом подразумевалось бы, Соотношение (3.15), равно как и связь между длиной волны и импульсом, справедливо в случае лзобого прибора, который можно адекватно описать на языке классической физики, и его, так же как соотношение (3.12), можно получить из более общих соображений.
В соответствии с выражением (3.11) любая вариация времени еь в конечной точке приведет к быстрым осцилляциям ядра. Частота этих осцилляций 60 Гл. 8. Далънейиеее раееиеаие идей на «он«ретных нрилнрах что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время т она пройдет дополнительное расстояние рот. Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу. В момент времени е = О частица выходит иа начала координат х = О.
Пусть нам известно, что спустя время Т она находится в окрестности хо и- Ь точки хо. Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу еще через время т на расстоянии х от точки хое Амплитуду перехода в точку х в момент времени Ь+ т можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени Т соответствующие траектории лежат в интервале хо .+ Ь. Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем.
Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах -ЬЬ от точки хо? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени Т в интервале хо ~ Ь. Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.
Предположим, что в момент времени Т нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось хза исключением интервала хо ~ Ь. Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала хо ~ Ь, показывает, что нигде нет ни одной частицы, т. е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала хо .+ Ь. Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь неясно написать в виде ь $(х)= ~ К(х+х„Т+т; хо-'у Т)А(хо+у Т О О)е(у (3 19) -ь Это выражение записано в соответствии с правилом слояеения амплитуд для последовательных во времени событий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
