Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Даже если бы мы забыли все, что знали о частице, кроме ее волновой функции в некоторый определенный момент времени, тем не менее могли бы предсказать все, что будет происходить с этой частицей в дальнейшем. Влияние всей предыдущей истории на будущее Вселенной могло бы быть получено из одной всеобъемлющей волновой функции.
Задача З.л. Пусть в момент времени 8 = О свободная частица имеет некоторый определенный импульс [т. е. ее волновая функция равна С ехр (<рл,<в)1. Покажите с помощью соотношений (3.3) и (3.42), что в некоторый более поздний момент времени частица имеет тот ке импульс [т. е. что волновая функция зависит от х через экспоненту ехр (<рх/я)1 и изменяется в зависимости от времени как ехр [ ( — <рг/2л<й) <1.
Это означает, что частица обладает определенной энергией р'!2ш. Задача 3.5. Используя результаты решения задачи (3.2) и соотношение (3.42), покажите, что волновая функция удовлетворяет уравнению В дф Ьг дгф (3.43) д< 2м дгг ' которое является уравнением Шредингера для случая свободной частицы.
у Б. Интегралы Гаусса Мы закончили физическую часть данной гчавы и перейдем теперь к математическим вопросам. Введем дополнительный математический аппарат, который в некоторых случаях поможет нам вычислить сумму по траектории. Наиболее простыми являются те интегралы по траекториям, в которых показатель экспоненты содерн<ит переменные в степени нс выше второй. Мы будем называть такие интегралы гауссовыми. В квантовой механике это соответствует онуча<о, когда действие Я является квадратичной формой от траектории х (<). Чтобы проиллюстрировать, как действует в этом случае наш метод, рассмотрим частицу, лагранжиан которой имеет вид Х,=а(г) х'+6(~) хх+с(~) ха+<<(~) в+е(г) х+~(<).
(3.44) 72 Гл. 8. Дальнейивее равенские идей на квнкрегпних примерах Действие представляет собой интеграл по времени от этой функции между двумя фиксированными конечными точками. Фактически лангранжиан в атой форме является несколько более общим, чем зто необходимо. В тех членах, где множитель х входит линейно, он может быть исключен интегрированием по частям, однако это обстоятельство сейчас для нас несущественно.
Мы хотим определить К(Ь, а) = ~ ехр [ — „~ Т (х, х, ь) ь[ь'1 Ых(ь) (3.45) — интеграл по всем траекториям, соединяющим точки (х,„1,) и (хь гь). Конечно, можно выполнить интегрирование по всем этим траекториям тем способом, который был описан вначале, т. е. путем разбиения области интегрирования на короткие временные интервалы и т. д. Пригодность этого способа для вычислений следует из того, что подынтегральное выражение представляет собой экспоненту от квадратичной формы переменных х и х. Такие интегралы всегда могут быть вычислены.
Однако мы не будем проводить эти утомительные вычисления, так как наиболее важные характеристики ядра К можно определить следующим образом. Пусть х (г) — классическая траектория между некоторыми фиксированными конечными точками. Это — путь, вдоль которого действие Я экстремально.
В обозначениях, которые мы применяли ранее, Яиа [Ь, и) = Я [х (г)). (3.46) Величину х моя<но выразить через х и новую переменную у (3.47) х= — х+у. Это означает, что каждая точка на траектории определяется уже не ее расстоянием х (ь) от произвольной координатной оси, а отклонением у (1) от классической траектории, как это показано на фиг. 3.7. В каждый момент времени 7 переменные х и у различаются на постоянную величину х (конечно, для разных моментов времени эта постоянная различна). Поэтому Ых; .=- Ыу; для каждой выделенной точки 7;. В общем можно сказать, что алх (г) = Уу (~).
Р' б. Итттеерааы Гаусса Интеграл действия можно записать в виде 'ь Я [х(()]=Я[х(б)+у (()] = ~ [а(() (хэ+2ху+уэ)+...] с[(. (348) (а Если сгруппировать все члены, не содержащие у, то в результате интегрирования получим Я [х (т) ] = Якл. Интеграл от суммы членов, пропорциональных первой степени у, равен нулю.
Это может быть проверено непосредственным интегрированием (для етого требуется выполнить интегрирование по частям), однако такое вычисление не обязательно, так как мы уже знаем, что результат правилен. Действительно, функция х (б) выбрана Ф и г. 3.7. Равность лтежду класснчестсой траекторией х [т) и одной нэ альтер- нативных траекторий х ((), описываемая функцией у (т).
поскольку обе эти траектории должны созлэдвть в начальной и конечной точках, то р ((а) у ((Ь) = О. Между этими крайними точнвми функция у (О может иметь любой вид. Так кэк классическая траектория полностью фиксироване, то любое нэменение альтернативной трэентарии х (т) еквивэлентно соответствующей вариации Рвэностной функции у (О, Поэтому в интеграле по траекториям дифференциал Ях (т) можно заменить нв Хтр (О, а траекторию х (т) — на х (() + р (!). При интегрировании ло траекториям величина х (т) оствелся в этом случае постоянной. Кроме того, олисыввютцэя траекторию новая переменная у (() ограничена тем, что в крайних точках ова равна кулю. Увезенная подстановке нриводит к интегралу по траекториям, не зависящему от положения крайних точек а и Ь.
таким образом, что вариации траектории в первом порядке вблизи х (л) не изменяют действие Я, Все, что остается, имеет второй порядок по у и легко отделяется, так что можно написать сь Я [х (()] = Якл [Ет, а] + ) [а (() ух+ [) (() йу+ с (б) уэ] Ю. (349) 74 Га. 8.,7ааьней«иее развитие идей на изниретниа нрие«ераа Интеграл по траекториям не зависит от вида классической траектории, поэтому ядро можно представить в виде К (Ь, а) =-ехр( — „Я„, [Ь, а)) Х о «ь Х ~ (ехр ~ — „' ~ [а (Г) у+ 5(й) уу+ с (й) у ) е[~) ) Ыу (1).
(3 50) а «а Так как в начальных и конечных точках всех траекторий у = О, то интеграл по траекториям может быть представлен функцией тольно от моментов времени в конечных точках. Это означает, что ядро можно записать в виде К(Ь, а)=Ее« ~ х««~ ~Р(~а, 1Ь) (3.51) т. е. оно определяется с точностью до фупкции, зависящей от е, н 1ь. В частности, его зависимость от пространственных переменных х, и хь оказывается полностью выясненной.
Необходимо отметить, что зависимость ядра от коэффициентов при линейных членах «1 (С) и е (ь) и от свободного члена ) (1) также полностью известна. Такое положение представляется характерным для различных методов вычисления интегралов по траекториям; нри помощи общих приемов могут быть получены многие результаты, однако оказывается, что часто не удается полностью определить экспоненциальный коэффициент. Он должен отыскиваться из других известных свойств решения, например посредством соотношения (2.31).
Интересно отметить, что приближенное выражение К ехр («Яхх«'Ь) является точным в случае, когда Я представляет собой квадратичную форму. Задача 8.6. Учитывая, что лагранягиан свободной частицы является квадратичной формой, покажите, что К(Ь, а)=Р(«ь, 1а)ехр ( ',„ь ' [ (3.52) (см. задачу 2.1), и приведите соображения в пользу того, что функция Р может зависеть только от разности Р = е«(гь — г,). Задача Я.у. Дальнейшая информация о функции Р может быть получена на основе свойства, выраженного равенством (2.31). Прежде всего заметим, что результаты решения задачи 3.6 позволяют записать функцию Р (гь — Г,) как Р (г), где 1 — интервал времени (Ьь — 8,). Используя это представление функции Р в выражении (3.52) и подставляя последнее в равенство (2.31), а 5.
Интеералы Гаусса 75 выразите функцию Р (ь'+ е) через Р (ь) и Р (г), где ь' = ьь — С, и з = 8, — ~,. Покажите, что если функцию Р записать в виде е~ 2зссйь ~ ( )' (3.53) то новая функция Г"(8) должна удовлетворять уравнению г (г + е) = ( (г) у (з). (3.54) Зто означает, что г (1) должна иметь вид Г'(с) =еас, (3,55) где а может быть комплексной величиной, т.
е. а = а + с[]. Из изложенных до сих пор принципов трудно получить большую информацию о функции 7 (~). Однако специальный выбор нормировочной константы А, как это указано в (2.21), означает, что в нервом приближении по з функция г (з) = 1. Зто соответствует тому, что величина а в выражении (3.55) полагается равной пулю. Окончательный вид функции Р (ь) согласуется с выражением (3.3). Из этого примера ясно, каким образом можно установить важные свойства интегралов по траекториям, даже если подынтегральные выражения являются весьма сложными функциями. Во всех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой экспонепциальную функцию, зависящую от траектории в степени не выше второго порядка, моясно получить полное решение, исключая, может быть, лишь некоторые простые множители.
Зто остается верным независимо от числа переменных. Так, например, интеграл по траекториям вида ь а с ~ ~ ... ~ ехр(Е[х(г), у(~), ..., з (ь)]) Ях(с) Яу(с) ... Яг(г) (3,56) содержит в качестве определяющего сомножителя экспоненту ехр (Е„), где Еа„— экстремальное значение Е, определяемое граничными условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
