Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют. При этом ядро становится проиаведением двух, сомножителей: одного, зависящего только от х, и другого, зависящего только 8. Системи с разделяющимися иеремеииими 81 от Х: К (хь Хьз Гь[ ха~ Ха са) = = ~ ~ ( ехр ~ — (К„[х] + Кх [ХО ~ Я 'х (Ю) М ЬХ (М) = а а Ь ь =- ~ (ехр ( — „' К„[х) ~ ) Ях(с) ~ (ехр )[ — „' Ях [Х) ~ ) МХ (г) =— ==Кх(кь ~ь[ ха~ ~а)Кх(Хьз ~ь[ Хаз еа).
(3.73) Ядро К, здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой х, и аналогичным образом определяется ядро Кх. Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.
В случае нескольких частиц волновая функция с[с (х, Х,..., 8) определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени с одна частица находится в точке ю, другая — в точке Х и т. д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке х, другая †точке Х и т. д.
Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить: з[з(х, Х, ..., ~) = ~ ~ К(х, Х, ..., (; х'„Х', ..., г') х х з[з (х', Х', ..., ~') с[х' озХ', (3.74) где Их' — произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство х'. Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат х н Х, ядро К является произведением двух функций, одна из которых зависит от х и с, а другая же — от Х и с.
Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция с[с вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определенный момент времени с[с является произведением функции от х на функциьо от Х, т. е. ф = 7 (х) л (Х), то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро К описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они 82 Гл.
8. Дальнейшее раввитие идей на конкретных примерах р 9. Иите~рал но траеюсторигсм масс фунтсцнонал Если задача описывается более чем одной переменной и если разделить зти переменные невозможно, то анализ обычно становится очень трудным. Ниже мы рассмотрим приближенные методы, применяемые в атом случае; сейчас же наложим один очень сильный метод, который иногда удается применить.
Рассмотрим ядро, заданное выражением (3.71). Более подробно его можно записать как сь ь ь К(Ь, а) = ~ ~ ~ехр ~ — „' ~,— х' ссс+ — ' ~ ' — Х' ссь+ са са 'ь са Предположим, что мы сначала выполнили интегрирование по траекториям Х (с). Результат формально можно записать в виде ь 'ь К (Ь, а) =- ~ ~ ехр ( — „~ — ха йсг ) ~ Т [х (8)) 'кх (8), (3.76) где сь Т(х (г)) = ~ (ехр ~ — „~ ( — Х'+ й (х, Х, Е) ~ ~ ) есс ЯХ (й). (3 77) са всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция с)с уже не будет простым произведением. Если даже в первоначальной системе координат действие Я и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные.
Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее перемепные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом,часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести слолсную задачу к ряду более простых.
Э у. Интеерал ко траекторил.н как функционал 83 Полученные выражения интерпретируются следующим образом. Интегрирование по всем траекториям, возможным для частицы Х, дает, фунне~пона Т. Функционал является числом и его величина зависит от вида всей функции. Например, ограниченная кривой площадь А = ~ ~ (у) Ау является функционалом этой кривой. Для того чтобы найти эту площадь, необходимо задать функцию (кривую). Функционал мы ааписываем в виде А [7' (у) [, чтобы показать, что А зависит от функции / (у). Мы не пишем А (1 (у)), поскольку под такой записью можно понимать функцию от функции, т.
е. считать, что А зависит только от того, какое значение принимает 7 в некоторой определенной точке у. Это не тот случай. Величина А [~ (у)] зависит от вида всей функции р (у), но не зависит непосредственно от у. Функционал, определенный выражением (3.77), представляет собой амплитуду вероятности того, что под воздействием потенциала У из точки Х, в точку Хь переходит лишь одна частица Х.
При вычислении этот потенциал берется в предположении, что х фиксировано, в то время как Х изменяется. Таким обрааом, это потенциал для частицы Х, когда частица х движется вдоль некоторой определенной траектории. Ясно, что амплитуда Т зависит от выбора траектории х (1), поэтому мы и записываем ее в виде функционала от л (г). Полную амплитуду мы получим, просуммировав функционал, состоящий иа произведения амплитуды Т на ядро, отвечающее свободной частице, по всем траекториям х (~). Таким образом, амплитуда К, как и все другие, представляет собой сумму амплитуд по всем возможным альтернативам. В свою очередь каждая из этих амплитуд является произведением двух: одной — отвечающей движению частицы Х между заданными конечными точками, когда траектория х (о) фиксирована, и другой — амплитуды вероятности того, что частица з движется именно по этой фиксированной траектории.
Конечная сумма по всем альтернативам становится суммой по всем траекториям з (к). Важно четко усвоить эту концепцию, так как она содержит в себе один из фундаментальных принципов квантовой электродинамики, изложение которой займет одну из последующих глав. Разумеется, применять этот метод бесполезно, если нельзя никак — ни точно, ни приближенно — вычислить интеграл Т для каждой из возможных траекторий з (к). Как мы уже видели (см. задачу ЗЛ1), в одном случае, а имейно когда Х вЂ” гармонический осциллятор, он вычисляется точно.
Это очень важный в практическом отношении случай. Например, когда поле, с которым вааимодействует частица, квантуется, то оно представляет собой осциллятор. 84 Га. д. Дааънейиеее рааеитие идей на ионареиеных нрииерах у 10. Взаимодействие частиъ[ы с гармоническим осциллятором Рассмотрим теперь более подробно взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором. Пусть х — это координаты частицы, а Х вЂ” координаты осциллятора. Соответствующее действие может быть записано как 'ь 'ь Я [х, Х[ =8е [х1+ ~ д[х(г), г[Х(Е) е[д+ ~ — (Хг+еогХх) е[г, (3.78) 'ь (3.79) йа Второй член в выражении (3.78) отвечает взаимодействию частицы и осциллятора.
Заметим, что этот член линеен относительно Х. То, что мы пренебрегаем зависимостью от Х, не означает какой-либо утраты общности рассмотрения, поскольку при наличии такого члена от него всегда можно избавиться интегрированием по частям. Коэффициент д назовем коэффициентом связи. Мы уже указывали на его зависимость от х (е), однако он могкет зависеть также и от других переменных, например от х (г).
Поскольку мы рассматриваем общий случай, точный вид этого коэффициента не существен. Последний член в выражении (3.78), очевидно, представляет собой действие для одного лишь осциллятора. Объединив его со вторым членом, мы можем записать функционал (3.77) как ь сь Т[х(й)1 = ~ ~ехр~ — „' ~ ~ — (Х' — ео'Хг)-1 1а +д[х®, ~)Х(д)~а) ~ МХР). (3.80) Поскольку речь теперь идет об Х, ситуация становится подобной случаю возмущаемого гармонического осциллятора.
Возмущающая сила есть пекоторая определенная функция времени. Таким образом, это тот же самый интеграл по траекториям, кото- где Яе — действие для частицы в отсутствие осциллятора. Ранее при обсуждении мы принимали, что это действие соответствует случаю свободной частицы. Однако такое предположение не является необходимым; движение частицы, описываемое координатами х, может усложняться благодаря наличию потенциала. 'Так, например, действие могло бы иметь вид 85 10.
Частица и еармоиичсский осцилсатор рый рассмотрен в задаче ЗЛ1, с той лишь разницей, что ~ (с) заменено на я (х (~), г), а начальные и конечные значения координат (хь, ха) — на (Хь, Х,). Для иллюстрации мы возьмем (имея в виду упростить выражение) частный случай, когда начальное и конечное значения координат осциллятора равны нулю: Хь — — Х, = О (такое рассмотрение легко обобщается).
Тогда, согласно результату задачи З.е1, имеем 'ь 'ь У'=-.(2 „,"". Г) "е Р~Ь '. ~ ~ 8( (г),г)У( (), )Х са 1а Х згп со(~ь — г) з1пю(г — ь ) с(ге(г), (3.81) Следовательно, ядро в данном случае может быть записано как К(Ь, а)=(2 е.. г) ~ (ехр ь ( 2 ~ х(г) Ж— а ~ь ~ь тес зш сот ~ 1а 1а Х шлю(га — 1) шлю(г — 8а) с(ась) ) Ях(с). (3.82) В случае произвольных значений Х„Хь выралгение для К будет аналогичным, но более сложным. Этот интеграл по траекториям сложнее любого из тех, с которыми мы до сих пор сталкивались, и продвинуться далыпе в его вычислении невозможно до тех пор, пока мы не рассмотрим (в последующих главах) различные приближенные методы. Заметим лишь, что подынтегральное выражение по-преяснему можно записывать как ехр ((Пл)/Я), однако действие Я теперь уже не является функцией только переменных х, х и Ф; оно содержит произведение величин, определяемых в два различных момента времени: г и к Разделение на прошлое и будущее уже невозможно.
Обусловлено это тем, что в некоторый предыдущий момент времени частица действует на осциллятор, который в дальнейшем сам воздействует на эту же частицу. Нельзя ввести никакую волновую функцию ер (х, 8), выражающую амплитуду вероятности того, что в момент времени 1 частица находится в заданной точке х. Подобной амплитуды было бы недостаточно для предсказания будущего, поскольку для этого нужно знать также, что происходит с осциллятором в любой момент времени ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
