Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ниже будет дана интерпретация выражений типа ) /одИх, и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию Е (и, следовательно, ее волновая функция ехр (еЕ,т/в) ере1, то вероятность обнаружить у нее другое значение энергии Е, (т. е. волновую функцию ехр (еЕае/а)ерз1 должна равняться нулю. то! З 3. Гамильтониан, не воя»вящий от времени тических уровней Е„, не только ортогональны, но также и нор- мированы, т. е. интеграл от квадрата их модуля по всем значе- ниям х равен единице: ~ ерв(х)ер (х)ах=.б„, (4.47) где 6„— символ Кронекера, определяемый равенствами 6„ = О, если п Ф т, и 6„„= !. Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации орто- гональных функций; в частности, в таком виде можно предста- вить любую функцию, являющуюся решением волнового урав- нения Шредингера: ОО ~(х) = ~~~~~ а„вр„(х).
(4.48) Коэффициенты а„легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряженные функции !р' (х) и интегрируя по х, получаем ее О ~ ер'р'(х)ах= в„а„~ вр*<р„евх=а (4.49) ев »=! -в» н, следовательно, а„= ~ !р„*(х) р'(х)евх. ев (4.50) Таким образом мы получили тождество Ядро К мок<но выразить через функции !р„ и значения знергии Е„. Мы сделаем зто с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени гз, если она нам известна в момент времени г!.
Так как она является решением уравнения Шредингера, то при любом г ее, К (х) =.'Е р. (х) ~ р*(у) У (р) Ф = — ~ ~ ~"„р» (х) р: (у) Д Х (у) й!р » ! ОЭ ,»»-! (4,5!) Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения 6-функции: 6(х — у)= Я !р„(х) !р~(у). (4.52) »=! 102 Га. й.
Шрединверовское описание квантовой механики наи и всякое его решение, можно записать в виде вр(х, 1)= ~ спе <'гшв !фп(х). п=! (4.53) Но в момент времени 11 О в 7(Х)=ф(Х, д1) = ~ С„Е-!ОЮВ "вфп (Х)= ~ а фп(Х), п=1 п=1 (4. 54) поскольку мы всегда можем представить 7'(х) в виде ряда (4.48).
Отсюда следует, что С = апЕ+~~~21япв! (4.55 Подставив это в выражение (4.53), будем иметь св СЮ гр (х, гг) =,е', спе-11~2!впвгфп (х) = ~~~ ап ехр ~ + -„Еп (й1 — Хг) ) врп (х). п=1 и 1 (4.56 Используя теперь для коэффициентов ап выражение (4.50), полу- чаем в СО в)1(х, !2)=,~~ фп(х) ехр ( Ь Еп(гг !1)) ~ фп(У)в'(У) 1!У= п=1 Ю вв в = ~,Я~ !рп (х) вр,*, (У) ехр ( — ~ еп (!,— !1) ~ 7 (У) е)У.
(4,57) -в п=1 Эта формула выражает волновую функцию в момент времени !2 через волновую функцию 7(х), относящуюся к моменту времени 11. Ранее мы выражали это соотношением вг(хв !2) ~ К (х1 в21 У1 в1) 1(У) ЗУ' (4.58) ~~~' ф (х,) !р'„(х,) ехр! — — ' Еп(йг — 81)1, если 12) Е„ и (4.59) О, если гг ( 11. Задача 4.10. Проверьте, что ядро К, опцеделенное соотношением (4.59), удовлетворяет уравнению Шредингера.
Сравнивая его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра К(2, 1): К (хг 121 х1, 11) = 8. Нормировка волновых функций свободной частицы '»03 Представление ядра К в виде (4.59) оказывается. очень полезным при переходе к более привычным изложениям квантовой механики.
Ядро, определенное ранее как интеграл по траекториям, выражено здесь лишь через решения дифференциального уравнения (4.42). (4.63) Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат прн эхом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы (т. е.
представляет собой трехмерное обобщение выражения (3.3)). д 3. Нормировка волновыгс б)ункций свободной частицы Вывод формулы для ядра в случае свободной частицы, приведенный в задаче 4.тт, неудовлетворителен по двум причинам, которые связаны между собой. Во-первых, понятие суммы по Задача 4.11. Покажите, что в трехмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц ф =е<нюэ.в (4.60) соответствуют энергии Ер =рг(2т.
Докажите свойство ортогональности, рассматривая в качестве индекса а вектор р, т. е. докажите, что для р~р' ~ фофр дгг=О даже если Ер=Е»н (4.64) В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение в ч г гр (ц — ц)ч Ео (гю гг' вп гг) = ~ ехр ( — в Р'(гг — гв) ~ е"р ( 2а э (4.62) Так как векторы р составляют континуум, сумма по «индексам» р фактически эквивалентна интегралу по всем значениям р, т. е.
э .Е( )=~ ( )(2на)в » Ядро для случая свободной частицы запишется как Ео (гг вг' гп вг) = = ~ ехр ( — — „' р (гг — г,)1 ехр ~ — 'Р ' ' 1 — ак. (4.64) 104 Гл. а. Шрединаеровекое олиеание квантовой механики различным состояниям п, использованной в выражении (4.62), не удовлетворительно, если состояния принадлежат непрерывному спектру, что имеет место в случае свободной частицы.
Вовторых, волновые функции для свободных частиц [плоские волны), хотя и являются ортогональными, однако не могут быть нормированы, так как фвфв(х= ~ (йвх=со и не выполнено условие равенства (4.47), которое применялось при выводе выражения (4.62). Оба зти пункта можно одновременно исправить чисто математическим путем. Возвратимся к разложению произвольной функции по собственным функциям ф„: 7' (х) = Х а„ф„(х) (4.65) и учтем, что все или часть состояний могут принадлежать к непрерывному спектру, так что часть суммы по и следует заменить интегралом, Можно математически строго получить корректное выражение для ядра К, аналогичное выражению (4.62), но применимое также и в том случае, когда состояния находятся в непрерывной части спектра. Нормировка на конечный объем. Многие физики предпочитают другой, менее строгий подход. То, что они делают, заключается в некоторой модификации исходной задачи, причем реаультаты (в их физическом смысле) изменятся несущественно, однако все состояния оказываются дискретными по энергии и поэтому все разложения принимают вид простых сумм.
В нашем примере этого можно достичь следующим образом. Мы рассматриваем амплитуду вероятности перехода из точки (хв, 1,) в точку (х„1з) за конечное время. Если эти две точки находятся на некотором конечном расстоянии друг от друга и разделяющий иХ промежуток времени не слишком велик, то в амплитуде заведомо не будет сколько-нибудь заметных различий от того, является ли электрон действительно свободным или предполагается помещенным в какой-то очень болыиой ящик объемом У со стенками, расположенными очень далеко от точек х, и х,. Если бы частица могла достичь стенок и вернуться назад за время 1а — 1„это могло бы сказаться на амплитуде; но если стенки достаточно удалены, то они никак не повлияют на амплитуду. Конечно, это предположение может стать неверным при некотором специальном выборе стенок; например, если точка ха будет находиться в фокусе волн, вышедших из точки хв и отраженных 8.
Нормировка воиновых функций свободной иастицы 205 от стенок. Иногда по инерции допускают ошибку, заменяя систему, находящуюся в свободном пространстве, системой, расположенной в центре большой сферы. Тот факт, что система остается точно в центре идеальной сферы, может давать некий аффект (подобно появлению светлого пятна в центре тени от совершенно круглого предмета), который не исчезает, даже если радиус сферы стремится к бесконечности.
Влияние поверхности было бы пренебрежимо малым в случае стенок другой формы или для системы, смещенной относительно центра этой сферы. Рассмотрим сначала одномерный случай. Волновые функции, зависящие от координаты, имеют вид ввг*, где р принимает оба анака. Какой вид будут иметь функции ~р, если область изменения х ограничить произвольным интервалом от — Ы2 до Ы27 Ответ зависит от граничных условий, определяющих значения у в точках х = — Ы2 и и = Ы2. Простейшими с физической точки зрения являются граничные условия в случае стенок, создающих для частицы сильный отталкивающий потенциал, ограничивая тем самым область ее движения (т.
е. при идеальном отражении). В этом случае в точках х= — Ы2 и л=Ы2 вр(х) =О. Решениями волнового уравнения йв дар — Евр 2ви дкв (4.66) Г,'2 (~/ — сов|ах) сЬ=1. (4.67) Ш2 Сумма по всем состояниям является суммой по и. Если мы рассмотрим, например, синусоидальные волновые функции (т. е. четные значения л), то при небольших значениях х и очень большой величине Ь (стенки далеки от интересующей нас точки) соседние по номерам и функции различаются весьма иезначи- соответствующими энергии Е = рв/2т = йи7св/2вп в области ( х ~ ( Л/2, будут экспоненты евка и е вии или любая их линейная комбинация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
