Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Как ев"", так и е зии не удовлетворяют выбранным граничным условиям, однако при й = пп (у (где п — целое число) требуемыми свойствами обладает в случае нечетного и их полусумма (т. е. соз 7аг), а в случае четного и — деленная на в их полуразность (т. е. з1п йк), как это схематически изображено на фиг. 4.1. Таким образом, волновые функции состояний имеют вид синусов и косинусов, а соответствующие им энергетические уровни дискретны и не составляют континуума.
Если решения записать в виде )Г2/Ь соз йх и ф 2И э1п йт, то они будут нормированы, поскольку 106 Гл. б. Шрединзероеекое ояиоание квантовой механики тельно. Их разность — ~з)п2а(л+1) — — з1п2лл — ) = 2 Г х х ч Ь 4 Ь Г. > / 2 2л+1.з . х =2 у — сов 2л — — з)п2л — ж ь 2 й 2Е /2 2лх ( 1Ъ х ж у — — соз2я ~и+ — )— -Уь й 2/ Ь 14.68) я=2 х=х/г к=Ь/2 Ф и г. 4.1. Вид одномерных волновых Функций, нормированных н ящике.
Покаваны нервые четыре из них. Энергии ооотзететвующих уровней равны Е, =аяз~хтьз, н,=бл, лз=зв, и Абсолютное значение знергии, которое зазйект от размеров нашего Фиктивного ящика, несущественно для большииотва реальных вадач. То, что действительно имеет значение, — вто соотношение между энергиями раалячных еоетолний. допустимые значения й расположены последовательно с интервалом 2л/Ь, в промежутке Лй расположено х./2лЛй состояний. Все это применимо также и к состояниям с косинусоидальной приолизительно пропорциональна малой величине х/Ь.
Поэтому сумму по и можно заменить интегралом по й = 2ян/Л. Так как 8. Нормировка вокновык функций свободной косовица» $07 волновой функцией, поэтому во всех наших формулах мы можем заменить суммы интегралами О» д()2н и=а а (4.69) не забывая, что в конце нужно сложить результаты для обоих типов волновых функций, а именно )/2!Ь соз йх и у' 2/с, з<п йх. Часто бывает неудобным использовать в качестве волновых функций з)п /сх и соз йх, и более предпочтительными являются их линейные комбинации е'к"=созйх+<з<пйх и е <к"=созйх — сз(пйх.
Периодические граничные условия. Иногда подобный экскурс к косинусам и синусам, а затем обратно к экспонентам удается обойти с помощью следующего довода. Так как введение стенки является искусственным приемом, то ее конкретное положение и соответствующее граничное условие не должны иметь какого- нибудь физического значения, если только стенка достаточно удалена.
Поэтому вместо физически простых условий ~р = 0 мы можем использовать другие, решениями для которых сразу окажутся экспоненты е<"". Таковыми условиями являются (4.70) Однако, вводя ограниченный объем У, мы вынуждены испольэовать синусы и косинусы, а не их линейные комбинации, потому что при заданном значении й решением будет лишь одна из этих функций, а не обе сразу. Но если пренебречь малыми погрешностями, являющимися следствием таких небольших различий в значениях й, то мы можем рассчитывать на получение правильных результатов и с этими новыми линейными комбинациями. После нормировки они принимают вид ~17Бе'к" и ф'1/се *"".
Поскольку волну е ск" можно рассматривать как волну е'к", но с отрицательным значением й, наша новая процедура, включая объединение двух типов волновых функций, сводится к следующему практическому правилу: взять волновые функции свободной частицы ес"", нормировать их на отрезке длины Ь изменения переменной (т. е.положить р = ')/ 1/с'о<к*) и заменить суммы по состояниям интегралами по переменной й таким образом, чтобы число состояний со значениями й, заключенных в интервале (й, й+ <сй), было равно Ьс<й/2я, а само й изменялось от — оо до + со. 108 Гл. а. Шреэкнверовекое окнсание квантовой меканнкн Их нааывают периодическими граничными условиями, потому что требование периодичности ф (л) с периодом Х во всем пространстве привело бы к тем же самым условиям. Легко проверить, что функции )/1/Хег"к являются нормированными на отрезке Х, решениями при условии, что й = 2яи/Х, где и — любое целое (положительное или отрицательное) число или нуль.
Отсюда непосредственно следует правило, сформулированное выше. Что происходит в случае трех измерений, мы можем понять, если рассмотрим прямоугольный ящик со сторонами, равными Х„ Хг, Х,. Используем периодические граничные условия, т. е. потребуем, чтобы значения волновой функции и ее первой производной на одной грани ящика были симметрично равны их значениям на противоположной грани. Нормированная волновая функция свободной частицы будет представлять собой проиаведение / 1 м ХР1 ыг /1 ы 1 где в' = Ь„ХгХ, — объем ящика, и допустимыми значениями будут й„= 2йп„/Х,, /ег = 2яиг/Хт и й, = 2явв/Х„(п„, пю и,— целые числа).
Кроме того, число решений со значениями /в„, /вю /в„лежащими соответственно в интервалах в1/е„, Й/вв, д/в„равно проиаведению (4.73) Другими словами, мы испольэовали плоские волны, нормированные в объеме У. Число состояний в объеме двй (дифференциальном объеме й-пространства) равно Уе)в)с/(2я)в. Применим это к задаче 4 11 и вспомним установленную в 1 1 гл. 3 связь между импульсом и волновым числом р = й/в. В выражении (4.64) мы должны сделать два изменения. Во-первых, поскольку волновыми функциями у нас были ехр ((1р г)/Ь), в то время как теперь мы должны использовать )Х11/в' ехр ((1р г) /к), нужно ввести добавочный множитель 1/Р'. (Выражение (4.64) содержит произведение двух волновых функций.) Во-вторых, символ суммы Х ( ) надо ааменить на интеграл вг ) ( ) е)гр/(2яй)г.
Все это оправдывает то, что было проделано в 1 2 гл. 4, а также результаты вывода в задаче 4.11. Следует отметить, что мйожителп' в сокращаются, как это и должно быть, так как при У-~- оо ядро К не должно зависеть от размера ящика. Л. Нормировка воиновых функций свободной частицы $09 Некоторые замечания о математической строгости. У читателя при виде того, как в конце вычислений объем $' сокращается, может возникнуть одна из двух реакций: либо удовлетворение от того, что он сокращается, как это и должно быть, поскольку стенки ни на что не влияют, либо недоумение, почему все делается так нестрого, «грязно» и запутанно, с помощью стенок, которые не имеют никакого реального смысла, и т.
д., когда все это можно было бы выполнить намного изящнее и математически строже без всяких стенок и тому подобных вещей. Тип такой реакции зависит от того, мыслите ли вы физически или же математически. По поводу математической строгости в физике между математиками и физиками возникает много недоразумений, поэтому, быть может, уместно Дать оценку каждому методу: рассуждениям с ящиком и математически строгому рассмотрению.
Здесь, конечно, содержится более тривиальный вопрос: какой метод для нас более привычен, т. е. требует минимума новых знаний? Прежде чем подсчитывать число различных состояний в ящике, большинство физиков думали прежде всего именно об этом. Наряду с этим математически строгое решение может быть нестрогим с физической точки зрения; иначе говоря, возможно, что ящик существует на самом деле. Им может быть не обязательно прямоугольный ящик, ведь не часто оказывается, что эксперименты ставят под звездами; чаще их проводят в комнате.
Хотя физически представляется вполне разумным, что стенки не должны влиять на опыт, тем не менее такую постановку задачи надо рассматривать как идеализацию. Удаление стенок на бесконечность ничем не лучше, чем замена их достаточно далекими идеальными зеркалами. В первом случае математическая строгость такяге нарушается, поскольку реальные стенки находятся не на бесконечности. Подход с привлечением удаленных стенок справедлив и строг настолько же, насколько оправдан. Он обладает несколькими преимуществами. Например, когда объем в заключительных формулах сокращается, мы видим, что несуществен по крайней мере один из аспектов идеализации — насколько стенки удалены. Этот результат интуитивно еще более убеждает нас в том, что истинное расположение реальной окружающей обстановки моясет быть несущественным.
Наконец, полученная формула очень полезна, когда мы действительно имеем случай конечных размеров. Например, в гл, 8 мы воспользуемся ею, чтобы подсчитать число различных звуковых волн в большом блоке вещества прямоугольной формы. С другой стороны, преимуществом математически строгого подхода является упразднение в сущности ненужной детали, 110 Г*. о. 3Прединеероеское описание кеантоеой механики которая не входит в реаультат. Хотя введение стенок позволяет кое-что узнать о том, почему >ке они все-таки ни на что нв влияют, тем не менее можно убедиться в справедливости этого, не вникая нри этом в детали.
Задача о нормировке волновых функций представляет собой довольно частный пример, но он иллюстрирует главное. Физик не может понять осторо>кности, проявляемой математиком при решении идеализированной физической задачи. Он знает, что реальная задача намного сложнее. Она уже упрощена с помощью интуиции, которая отбрасывает несущественное и аппроксимирует то, что остается. Глава 6 ИЗМЕРЕНИЯ И ОНЕРХХОРЫ До сих пор мы описывали квантовомеханические системы таким образом, как если бы собирались измерять лишь пространственные координаты и время. Все измерения в квантовомеханических системах можно действительно свести в сущности лишь к определению полоя<еняй и моментов времени (например, к определению положения стрелки измерительного прибора или времени пролета частицы). Поэтому теория, сформулированная на основе понятий, соответствующих пространственно-временным измерениям, будет в принципе достаточно полной для того, чтобы описывать все явления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
