Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 30
Текст из файла (страница 30)
атоме. Поэтому мы ограничимся рассмотрением взаимодействий между отдельными электронами и каким-то одним атомом. с 6> и г. 6.5. Геометрия задачи с рассеянием. Электрон выходит из точки а и дви>кетсп кав свободная частица до точки с, где ап рассеивается атомным потенциалом у (г). После рассеяния он попадает в счетчик, расположевный в точке Ь на конце радиуса-вектора НЬ, проведенного от рассеивающего центра о. В атом случае электрон будет рассеян на угол О, отсчитываемый от начального направления пучка.
Этот процесс соответствует первому борковскоыу приближению. Если учесть амплитуды двух актОв рассеяния, то получим второе борковское прк- ближение, и т. д. Выберем начало координат в центре атома. Пусть в атой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки а в момент времени 1 = О. С помощью счетчика, помещенного в точку Ь, 4. Рассеяние электрона на атоме е т (е с) ~ (ехР ~ ол (1 с) ~ ) $ (г) Х о х ( —,,„, ) ( ехр(' ' "„, ' )1 с(егсВ. (6.28) Через г мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало коор- динат с точкой с, с(эг — произведение дифференциалов всех ком- понент вектора г.
Интегрирование по переменной е дает е Х ~ехр~ вр(га+гь) ~~) Ьк(г)е(ег, (6.29) мы узнаем, достигнет ли электрон точки Ь в момент времени С = Т. Будем приближенно считать, что 1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т. е. электрон рассеивается на атоме только один раз; 2) атом может быть представлен с помощью потенциала г' (г), фиксированного в пространстве и постоянного во времени. На самом дело атом является очень слоя<ной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом е' (г). Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при атом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остается в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.
Пусть К и Кь — векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчетах мы примем, что длина векторов В, и Кь много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал Г (г) становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем ) В, ) и ) Кь !. Следовательно, большую часть времени пролета электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.
Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром Ко (Ь, а) для случая свободной частицы, был уже достаточно подробно нами изучен. Мы интересуемся вторым членом К"'(Ь, а).= — — ~ Ко(Ь, с) И(с) Ко(с, а)дт,= $48 Га. д. Метод теории вовмивиений в квантовой механике где га = ~ К, — г ~ и гь = ! Кь — г ! (см. приложение).
Для этих величин мы можем написать 2иа.г вк 1Чв г,=Л,(1 — а + —,~ Л,+1, г, (6.30) а а 2кь г в авто гь=Вь~1 — нв + в) Вь — 1ь г, (6.31) где 1, и 1ь — единичные векторы соответственно в направлениях векторов К, и Кь (т. е. 1„= — К,/Л„где Л, = ~ К, ~). При выводе приближенных соотношений (6.30) и (6.31) мы воспольаовались тем фактом, что величина Л, намного больше тех расстояний ~ г ~, на которых нельзя пренебрегать потенциалом )е (г).
Члены первого порядка по г необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем (го+го) ~(Во+Во) +2(Во+Во)()а'г )в'г). (6.32) Используя эти приближения, ядро К<" можно теперь представить в виде Х ) ехр ( 2ВТ (Ва+ Вь)'1 ( Х е Х ~ (ехр ) а (Ва+Ль) (~ г — 1ь г)~) 'в'(г)ерг. (6.33) Физическая интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени Т электрон проходит полное расстояние, равное В, + Вь. Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет и = (Л, + Во)/Т, его энергия равна тив/2, а импульс равен ели. При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния.
То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна вт ((В, + Во)'/2аТ)), поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной Т, составляет т (иа+ иЬ)в (6.34) Если скорость и определена так, как это сделано выше, то энер- гия будет равна тпа/2 [ср. соотношение (3.15)). 4. Рассеяние еяеетрона на атоме Дифференцирование фазы но переменной Вь дает волновое число в точке Ь ни т На+ Нь (6.35) в т а это значит, что величина импульса равна льи (ср.
соотношение (3.12)]. Задача б.б. Интеграл по переменной е в формуле (6.28) можно аппроксимировать, используя метод стационарной фазы. Рассмотрите этот метод на примере данного интеграла; покажите, что наибольший вклад в интеграл дают значения г из области, близкой к точке Г = В,/и и представляющей собой время, за которое электрон должен был бы достигнуть центра атома, если бы он двигался но классическим законам.
Используя определение скорости электрона и = (Ва + Вь)!Т. аапишем вектор импульса входящей частицы р, в виде (6.36) ра = гееигае а вектор импульса выходящей частицы рь — как (6.37) рь = ши(ь Тогда соотношение (6.33) можно представить в виде Х"'(Ь, а)= — — „~ —,) ~, ~ехр( — 2в и'Т) ) Х Г Х ~ .( ехР ~ — (Р, — Рь) г ~ ~ ее (г) Рг. (6. 38) Обозначим далее изменение (или передачу) импульса через ч=ра — Рь и введем величину о (е() = ~ ебть)ч.е г (г) еРг, (6.3Я) Вероятность того, что электрон достигнет точки Ь, дается квадратом модуля ядра Ки (Ь, а) и, следовательно, будет зависеть в основном от первого члена разложения этого ядра, т. е.
от величины К, (Ь, а), которая, по-видимому, настолько велика, что полностью перекрывает малый возмущающий член Кое (Ь, а). Поэтому в большинстве экспериментов по рассеянию обычно коллимируют входящий пучок соответствующими экранами, с тем чтобы те электроны, которые не рассеиваются на атомах мишени, не выходили бы за пределы ограниченной области вдоль некоторого направления, как это показано на фиг. 6.6. Конечно з50 Га.
б. Метод теории возмущений е квантовой механике на таких коллимирующих экранах будет происходить дифракция (как это уже обсуждалось нами в гл, 3, 5 3 и 3), и вне области центрального пучка будет наблюдаться некоторое число нерассеянных электронов. Однако коллиматоры можно установить таким образом, чтобы для точек, достаточно удаленных от оси коллимации, число дифрагировавших на коллиматоре электронов было бы очень мало по сравнению с числом электронов, рассеянных на атомах мишени.
и ,гз' Р зги Ф и г. 6.6. Принципиальная схеме фокусировки для исключения влияния члена нулевого порядка в точке Ь. В атом случае из точки а в точку Ь с заметной вероятностью могут прийти лишь те злентроны, которые испытывают хотя бы одно рассеяние. Постону член нулезоге КОРЯДКВ В РаЗЛОжЕНИИ Ку (Ь, а) В РЯД ТЕОРИИ ВОЗМУШЕНИй бУДЕт ВнсоитЬ ЛИШЬ НРЕНЕбрежимо малый вклад и его мок<но отбросить. Вилзд возникает зв счет члене первого нарядна ьх (ь, ах Тогда вероятность обнаружения электрона в такой области, по крайней мере в первом порядке теории возмущений, определяется только квадратом модуля ядра К'ю (Ь, а). Используя соотношения (6.36) и (6.39), запишем эту вероятность как Р(Ь) ( ( ~ь ив ед. объема Вв 'т 2лз г' 2'Взг(ьз ~ (ч) ~ ' Характерные особенности атомного потенциала и зависимость ядра от относительных направлений векторов г(, и г(ь заключены в этой формуле в множителе и (9).
Этот множитель совершенно не зависит от размеров экспериментального устройства; их влияние учитывается остальной частью формулы (6.40). Например, множитель 1И'„каклегко видеть, обусловлен тем, что вероятность столкновения электрона с атомом убывает обратно пропорционально Вз. Может показаться, что в применении к рассматриваемому эксперименту это утверждение спорно из-за наличия коллиматоров. Однако эффект коллимации пренебрежимо мал на расстояниях порядка атомных размеров; по отношению к атому- мишени пучок налетающих электронов состоит из частиц, изотропно испускаемых некоторым точечным источником. Точно так же изотропно по всем направлениям от рассеивающего атома раз- р Е.
Рассеяние влек»прона на атоме летаются и рассеянные электроны. Поэтому отнесенная к единице объема вероятность регистрации электрона в точке Ь изменяется обратно пропорционально В~ь. Поскольку наиболее интересные свойства рассматриваемого эксперимента связаны с функцией и (ц), мы уделим этой функции особое внимание в следующем параграфе. Часть сомножителей в формуле (6.40) определяется выбором способа нормировки нашего ядра.
Поэтому формулу (6.40) более удобно рассматривать и представлять в виде некоторого отношения в 'ч а а Ф н г. 6П. Сравнение точек Ь н д. Если точки Ь и Е заходятся на одинаковых расстояниях от точки О, равных яз, та различие в числе влектроиов, попадающих в ети точки, будет абусловленко лишь працессои рассеяния. Точка а лежит на пути движения керассеявшихся электронов.
Отношение числа влектроиов, попавших в точку а, к числу електронов, которые достигли бы точки Е, если бы йа их пути ие было рассеивающего центра, равно вероятности Рассеяния в точку а. вероятностей. Сравним вероятность обнаружения рассеянной частицы в точке Ь с вероятностью ее обнаружения в точке с/, если точки Ь и г/ расположены за атомом на одинаковом расстоянии Л, + ето от источника (фиг. 6.7). Другими словами, рассчитаем отнесенную к единице объема вероятность Р (Н) так, как если бы на пути частицы не было ни одного атома. Это даст нам величину ) Ка (с/, а) )в, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
