Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда формулу (6.70) можно записать в виде вз ЛП> = — — ' е-Ргл>втезепгл )влез ~ 'а'тп (1з) е®лнв -кида сИз. (6.72) тп а вз где Л вЂ” коэффициенты, зависящие от 1з и св. Будем называть эти коэффициенты амплитудами перехода. Б нулевом порядке по а' ядро (6.68) должно совпадать с ядром Кп, так что в этом порядке Лт„=- бт„ехр [ — (еЕп/Ъ) (Гз — зв)). Если коэффициенты Л разложить в ряд по возрастающим степеням потенциала а', то получим Л = б е-пвп/лдвз-ез>+ 34~и+ Л„'еп.+ .
(6 69) Сравнивая это выражение с формулой (6.67), получаем далее ез Лтп= и ~ ~ фт(хз) е (хзв "з)фп(хз) Х Г з Х Нхзехр ~ л (Ет(Зз — зз) — Еп(1з — зв))~ е(Зз (6.70) Задача 6.15. В аадаче 5.4 мы определили некий интеграл как амплитуду перехода из состояния ф (х) в состояние т (х). Покажите, что функция Л „удовлетворяет этому определению, если начальное состояние описывается собственной функцией фп (х), а конечное состояние — собственной функцией ф (х). 162 Г». 6.
Метод теории вовмусеенпй в квантовой механике Мы получили важный результат нестационарной теории возмусцений. Коэффициент Лт„ представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени са система будет обнаружена в состоянии т, если первоначально она находилась в состоянии и. Предположим, что волновая функция в момент времени 1« была равна ср„ (хс). Спрашивается, какой она станет в момент я+1 н+1 Начальное конечное состояние состояние Ф н г.
6.11. На систему,нахсднщуэ)ся вначале на я-м энергетическом уровне, действует потенциал р, который «рассениает» систему во все возможные для нее состояния. ПРИ атОМ амилп»УДа РаЕЕЕЯЯЯЯ Е а-Е Еестоаиав СУДЕтПРЕПОРДИЕпапаиа Уа . В Чав»- ности, амплитуда рассеяния иа состояния я в еое»ояиие т еа ярема т (рааиа — (срв У1»» (с) аь времени са? Используя соотношение (3.42), можно представить эту функцию в момент времени 1а как Ю г у (2, 1) (р» (хс) ссхс = ее = ~~ ~ ЯЛас(рд (ха) ~ (рс'(х,) (р„(х,) с(хс = У*, Ла»(ра (хз). (6.73) а с — О а Это означает, что волновая функция в момент времени са имеет внд ~ Ст(рт (ха). Такое разложение по собственным функциям впервые применялось в формуле (4.48). Теперь можно придать более глубокий смысл постоянным С, а именно интерпретировать их как амплитуды вероятности обнаружения системы в состояниях (р .
В этом з о. Воянтвовнав, вавивввоив от времени частном случае С~ равно Лев и представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени ве система будет находиться в состоянии у, если в момент времени в', она была в состоянии ~р„. Если система находится в состоянии и и на нее не действует потенциал, то она будет всегда находкться в этом состоянии с амплитудой, которая иаменяется со временем. Таким обрааом, в нулевом порядке Лт„= Ь „ехр ( — (вЕнlа) (ве — в,) ). Член первого порядка мы можем интерпретировать в соответствии со следующим правилом (фиг.
б.в1): амплитуда вероятности рассеяния ив состояния п в состояние т ва промежуток времени Н1 равна — (вИ) Ф'„,„ав. Задача 6.16. Интерпретируйте соотношение (6.71), рассмотрен его как сумму по всем альтернативам, т. е. укажите эти альтернативы.
Задача 6.17. Интерпретируйте формулу (6.72), объяснив значение каждого члена. После этого выведите и объясните смысл соответствующей формулы для коэффициента Л во втором порядке теории воамущений: и Л" = — — „, ~ (~ .Я ехр ~ — ( — ') Ет(са — с,)|р„,а(ю,) х в Х ехр ~ — ( — „) Кь('вв — св) ) ра (~з) ехр ~ — ( в ) Е„(вв — ~,) 1 вП )вгП„ (6.74) Задача 6.18. Получите и объясните интегральное уравнение Л (сю вв) =6 ехр ( — ( в ) Е„(е,— ~~))— — — ~ ехр ~ — ( — „' ) Е (~е — ~в)1 «~ гв ь(тв)Лье(вв, вв)дев.
(6 75) и ь Задача 6.19. Будем считать, что коэффициент Л (~,) является функцией конечного момента времени сз. Покажите, используя уравнение (6.75) или ряд (6.69), что о г в Лтв (~в) = а,~~~ ехр ~ в (К,„— Ея) «з~ Х вв, Х р ~ ь(йз) Лов(йз) — в ЕиЛщи (йз) ° 1 Дайте физическую интерпретацию этого результата.
Затем получите этот результат непосредственно из уравнения Шредингера. $64 Гк. 6. Метод теории возмущений в квантовой механике 3 а м е ч а н и е. Для этого следует воспользоваться формулой (6.73), подставив ее в уравнение )Предингера. Отметим, что уравнение (6.76) вместе с начальным условием Х „(44) = а „может быть использовано для непосредственного определения коэффициента Х. Мы можем рассматривать все члены ряда (6.69) в соответствии С ПРаВИЛОМ, КОТОРОЕ ГЛаСИт: ВЫРажЕНИŠ— (4/й) вв „(~) Ж ЯВЛЯ- ется амплитудой рассеяния (или индуцированного перехода) иа состояния я в состояние и в течение промежутка времени 4/г, вызванного потенциалом г'. Переход из состояния и в состояние т может произойти посредством О, 1, 2,... и большего числа рассеяний.
Прямой переход из одного состояния в другое беа рассеяния может происходить только в случае, когда т = л; именно позтому первый член в рааложении (6.69) пропорционалена „. Второй член, определяемый формулой (6.72), представляет собой амплитуду вероятности перехода, обусловленного единичным рассеяниам. Амплитуда вероятности обнаружения частицы в момент времени Зв в начальном состоянии и равна ехр [ — 4Е„ (агав «4)!6). (В этом случае выражение «вероятность обнаружить частицу в состоянии л» следует понимать как «возможность рассеяния частицы из состояния и под действием потенциала Рв.) Амплитуда рассеяния частицы потенциалом У иа состояния и в состояние т равна — (4/й) в' „. Наконец, амплитуда вероятности обнаружить частицу в момент времени ~, в состоянии т (что в данном случае зквивалентно амплитуде вероятности перехода частицы в состояние лв за время, в течение которого происходил процесс рассеяния) пропорциональна ехр ( — 4Е (~а— — г,)/я].
Это рассеяние может иметь место в любой момент времени в интервале между 84 и $з, поэтому выполняется интегрирование по времени 1в между этими двумя конечными точками. Третий член формулы (6.74) является амплитудой перехода, происходящего вследствие двух актов рассеяния. Первое рассеяние переводит систему иа начального состояния и в промужуточное состояние /в в момент времени 8а. Далее, система остается в этом состоянии вплоть до момента времени 44 т. е. до тех пор, пока ее способность к рассеянию не будет снова определяться экспоненциальной функцией ехр [( — 4/Ь) Еи (44 — ~,)1.
Следующее рассеяние происходит в момент времени ~4 и переводит систему из состояния /в в состояние п. Мы интегрируем по всем возможным альтернативным временам рассеяния Ф«и ~„ требуя лишь, чтобы момент времени фв предшествовал моменту ~4. Далее мы суммируем по всем возможным промежуточным состояниям /в, в которые может перейти наша система. 3. Воамущения, аавиеящие от времени Члены ряда (6.69), для которых мы только что дали интерпретацию, представляют собой основной реаультат нестационарной теории возмущений. Этот реаультат применим в случае, когда невозмущенная система имеет постоянный гамильтониан и, следовательно, определенные значения энергии. Перейдем теперь к более подробному изучению некоторых частных случаев этой теории.
1в ))~„в = — — ~ гЯв) 1кп-вт)1)а, ~ц) )71г-1пв) 1лп)а-к еа) (6.77) Это очень важный частный случай нестационарной теории возмущений. В качестве первого примера предположим, что )а (х, г) = = У (х), т. е. что потенциал не содержит явной зависимости от времени. Если мы рассмотрим теперь интервал от г = 0 до г = =- Т, то (поскольку матричный элемент $' и не зависит от времени) получим )~тв ЕХР ~" — (Е»12 Ет (~1) (1) ( л (' Г в,Е Е, ) ) Р ехр((1)И)(Е» — Е )Т) — 1 Ь ~п ') ЕХР~ Ь ( в т)1) 1= тп т — Еп о (6.78) Следовательно, вероятность перехода за интервал времени, равный Т, Р(п — вп))=(Х в)'=))атп)з ( 4з)вв и в ((Еп — Е ) е. (6.79) Мы видим, что по крайней мере для большого интервала Т зта вероятность является быстро осциллирующей функцией от рааности энергий ń— Е .
Если значения энергии Е„и Е достаточно сильно отличаются друг от друга, т. е. если ~ У „( << « ~ Š— Е„(, то вероятность Р (и-и л)) будет очень мала. Это означает, что чрезвычайно мала вероятность найти значительное различие в энергиях начального и конечного состояний системы, подверженной действию очень слабого стационарного возмущения. Можно спросить, каким образом вообще малое возмущение аа „может привести к значительному иаменению знергии Е— — Е„? Ответ таков: мы рассматриваем возмущение )а, внезапно Переходы первого порядка. Рассмотрим прежде всего случай, когда конечное состояние системы и отличается от ее начального состояния и, и ограничимся только первым борковским приближением, т. е.
вторым членом ряда (6.69). 9'акой подход оправдан для малых значений потенциала )г. Амплитуда перехода из состояния )и в состояние и 166 Гл. 6. Метод теории вовнребений в квантовой механике возникающее в некоторый момент времени 1 = О, поэтому точное указание этого момента уже само по себе в силу принципа иеопределеииости допускает большую неопределенность значения эиергии [см. формулу (5.19) и связаииое с ией обсуждеиие). Задача 6.20. Предположим, что потенциал У сначала плавно возрастает, а затем плавно уменьшается. Пусть, например, У (х, 1) = У (х)/ (1) — гладкая функция, определяемая условиями — если 1= О 1 2ет' 1 — — если 0(1(— 1 Т 2ет~ 2 (6.80) у(с) = если — «1( Т, Т 1— 2 -т<т-и если 1) Т 2е (фиг.
6.12). Допустим далее, что фактор 1/у, определяющий времепкой рост функции 1 (1), намного меиыпе величины Т (1/у « Т). О Т <о и г. 6.12. Зависимость от времеви потенциала, обуслонлинающего пере- ход на состояния т н состояние п. Как только аакнснмость от аремени 1 и) станоентся более слабой, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
