Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Предположим, что мы имеем два дискретных энергетических уровня Е, и Еа и ни один из них не принадлежит непрерывному спектру. Пусть переход вызывается потенциалом вида У (х, 1) = У (х) / (1). Покажите, что вероятность перехода составит (72 Гл. 6. Метод теории вовмуеоений в квантовой механике деляемая обратным преобразованием т (р (е)) = ~ «(е) е-'"' Ю -т (6.97) окааывается зависящей от размеров Т области изменения переменной интегрирования е, Т. Если Т очень велико, то можно показать, что квадрат абсолютной величины ( ф (о)о) )в пропорционален Т. В итоге мы получим вероятность перехода, пропорциональную проиаведению времени и «интенсивностил / на единицу интервала частоты, взятую при значении э)в («интенсивность», или «мощностьл, равна среднеквадратичному значению функции 7' аа время 1 сел).
Таким обрааом, вероятность перехода атома в область непрерывного спектра пропорциональна, во-первых, времени экспозиции и, во-вторых, интенсивности поглощения света с частотой (Ел — Е()('й. т Е+((/Л)(Ет)в-Еп(ъ))п(~) — ~' Р )/„~ ~ ( ~ )( (2) 1 Л о о хе ((/Л)(Ет-ЕЛ)!в ((/Л)(ЕЛ-Еп)(в е т 'У хе хх ( ((/Л) (Кеп-КЛ)(в е ((/ЛНЕЛ-Еп)(е ее ~) вт (е ЕЛ вЂ” Еп Л о ((/л)(к -кл)т ) . (6.98) У У е(е/Л) (к, -кп)т ЕЛ Еп Л Лп /е' Еп Еп Л Первый из двух членов в последнем сомножителе этого выражения зависит от времени точно так же, как и член первого порядка, с которым мы уже встречались ранее.
Следовательно, если мы отбросим второй член, то получим результат, который снова Высшие члены разложения. Интересно рассмотреть второй член ряда теории возмущений. Он особенно важен в тех аадачах, где для интересующих нас состояний т и и потенциал )/ „= О. Допустим, что в такой задаче имеются другие состояния /е ~ )л для которых )/л ~ О. Член первогО порядка равен нулю, а поскольку и ~ т, то член нулевого порядка также обращается в нуль.
Поэтому первый член, который следует учитывать при вычислении амплитуды перехода, является членом второго порядка. Предположим, что потенциал )/ не зависит от времени Тогда член второго порядка в матричном элементе перехода будет равен Х'„, и если Т = зз — е„то из соотношения (6.74) будет следовать, что й. Вавмущения, вавиеивние ат времени с вероятностью, пропорциональной Т, описывает переход в состояния с энергией Е = Е„.
Вероятность на единицу времени здесь опять-таки определяется выражением (6.86), но только матричный элемент М„ принимает вид в ивй в йи Св в — Е й й и (6.99) Если предположить, что состояния системы лежат в непрерывном спектре, то сумма (6.99) превратится в интеграл. Соотношение (6.99) верно лишь при условии, что переходы первого порядка невозможны не только в состояние и, но и в любое состояние л, имеющее ту же самую энергию, что и начальное состояние. В этом случае в'й„= О для всех состояний, у которых Ей = Е„. Таким образом, второй члеп в формуле (6.98) никогда не будет большим, так как он может стать таковым лишь в том случае, когда равность ń— Ей почти равна нулю, но при этом и величина в'й„в числителе также будет близкой к нулю.
Так как все эффекты обусловлены первым членом, то формула (6.99) является математически корректной. Более того, сумма по й в выражении (6.98) может иметь предел и в полюсе (точке Ей = Е ), поскольку числитель этого выражения обращается в нуль при том же значении Ей, что и знаменатель. С другой стороны, может быть такая ситуация, когда станет возможен переход первого порядка в некоторое другое непрерывное состояние (например, распад ядра может происходить различными путями). В этом случае сумма в формуле (6.99) теряет смысл, так как мы должны определить, что нам делать в окрестности полюса.
Для этого в формуле (6.98) надо учесть ранее отброшенный нами второй член разложения, который в пределе при з - О и дает нам математически правильное выражение: (6ЛОО) (для общности здесь выписан также и член первого порядка). Проанализируем теперь, как это происходит. Прежде всего следует ааметить, что при больших значениях Т мы можем получить большую величину вероятности перехода (т.
е. вероятность, пропорциональную Т) лишь в том случае, когда энергии Е„и Е практически равны друг другу (с точностью до величин порядка ЫТ). Это очевидно для первого члена в формуле (6.98). Что касается второго члена, то большие амплитуды могут появиться адесь лишь тогда, когда Ей ж Е; если же энергия Еив не слишком близка к Е„, то коэффициент, стоящий перед всем выражением, является гладкой функцией Ей для всех 17$ Гл.
д. Метод теории вовмуеиений в квантовой механике значений Ею близких к Е . Приближенно заменив эту функцию константой в малой области вблизи Еь = Е, мы видим, что второй член может быть аппроксимирован некоторой постоянной величиной, помноженной на фактор вп/ь)вт ь)е, где е = (Š— Еь). Это выражение интегрируется по малой области, скажем от — 6 до +6.
Имеем ь т ьт)ь ьт)ь еоуь)ет — 1 (' ееу — 1 ) (' 1соз у — 1 1з1в у) ь ,) у,) у -ь -ьт~ь -ьтть (6.101) Первый интеграл в этом выражении берется от нечетной функции и обращается в нуль. Второй интеграл стремится к конечному пределу, когда Т вЂ” к со (так как 6Т/й — + со): т 21 ~ ' " е(у=2я1, у ь так что вероятность перехода невелика.
Эта вероятность может стать значительной только в том случае, когда энергии Е„ и Ет практически равны друг другу, так как совпадение двух полюсов (Е„ — Еи) 'и (Š— Ед) г приводит к возрастанию роли второго члена. Поэтому мы продолжим анализ, предположив, что Ет и Е„ приблизительно равны. Выбрав некоторое малое значение энергии Л, разделим сумму по )е в выражении (6.98) на две части: часть А, для которой ~ Еь— — Е„~>Ьа и часть В, для которой ~ Еь — Е„~ Л.
Величину Л мы выберем настолько малой, чтобы коэффициент у' ив'ь„ был приблизительно постоянен, когда энергия Ек будетпринимать значения в интервале 26 вблизи точки Е„. Выбранная таким обра- зом величина разности энергий А является конечной величиной, и Т можно взять настолько большим, чтобы выполнялось Ъ 1Т « Л, а это означает, что ~ Е„ — Е ~ << Л. Итак, для части А выполняется неравенство ~ Еь — Е„)>Л. Тогда второй член невелик, так как он не имеет полюсов.
Вклад вносит только первый член, и он равен еех 17 (6А02) где х=(Š— Е„) Т~ь и (А) ~ть~ьк Кь — Кк ь т о. Воамтезения, вавиеяи>ие оо> времени Суммирование здесь выполняется по всем значениям Е„, за исключением тех, которые попадают в интервал ~ Л вблизи Е . Эта сумма почти не зависит от Л, и когда Л -+ О, она определяет главное значение интеграла. Позтому в пределе при Л -+ 0 мы можем написать =)в „+ У )е РааРР (6.103) где выписан член первого порядка и символом РР отмечено, что он берется в смысле главного аначения. В части В мы будем считать фактор й ь >еьо постоянным и равным его значению в точке Е„= Е . Другими словами, мы ааменим <в> ~ У ьУа„Г (Еи) выражением ~;;т„„у,„б(Е,— Е )1 ~ Г(Е„)//Е„, (6.104) а Ет-Ь которое аапишем как в 1, где Ь=Ху„„р„„б(Е, Е„) (6.105) и ,~а е«>а><е — .>т < е<п"><к -Е«>т Т= ~ ( В ) .
(6.106) Положив далее (Š— Е„) (Т/ь) = — х и (Ед — Е„) (Т/ь) =у, так что (Е,„— Еь) (Т/а) =х — у, получим ьг>а -ат>а Этот интеграл легче всего вычислить интегрированием по контуру, считая р комплексной переменной и деформируя контур интегрирования. Вместо интегрирования по прямой от — ЛТ/В до ЛТ/л будем интегрировать по полуокружности радиуса ЛТ/В ниже действительной оси. Поскольку отношение ЛТ/й очень велико, а вклад второго члена пренебрежимо мал и поскольку от<а е<<< — = 1пе У -отж мы получим /=<и (Т/а) (ет" — 1)/х.
Складывая части А и В, получаем, наконец, выражение для амплитуды (в<и†<) Г ,.„5) (" — <) г (6.108) 176 Гл. д. Метод теории вовмувиений в квантовой механике Соответствующая вероятность перехода имеет вид (6.86), где Лун =а+1яй=»' н+~~~~ Ф'т»$"»а '(РР +1я(Е» — Ет) ). (6.109) Подобно тому как это уже было сделано в соотношении (6.100), последнюю скобку можно записать как (Е» — Š— 1з) ', где необходимо ваять предел при з -н О. Из формулы (6.100) мы видели, что даже в том случае, когда невозможен прямой переход я -н и» из состояния я в состояние и, тем не менее можно допустить, что такой переход может осуществляться через некоторое так нааываемое яром«леуточное состояние.
Этот процесс можно себе представить следующим образом: система, которая находилась первоначально в состоянии я, переходит из этого состояния в некоторое промежуточное состояние я и затем уже из состояния й переходит в конечное состояние т. Амплитуда такого опосредствованного перехода определяется формулой (6.99). Однако физически неправильно было бы говорить, что рассматриваемый процесс действительно осуществляется через то или иное промежуточное состояние я; фактически это утверждение лишь отражает тот факт, что вхарактеристиках поведения квантовомеханической системы имеются определенные амплитуды вероятности переходов через различные промежуточные состояния й и что вклады от этих амплитуд интерферируют друг с другом ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
