Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение ес/ = '~~ — с/хс, д/ и для первой вариации любого заданного функционала дополучим 6Р = ~ — бх(е)есг, др Ьх (г) (7.24) где бх(е) — вариация траектории х(г). сь Задача 7,1. Для действия, заданного в виде Я= ~ Ь(х, х, с) сй, 1 покажите, что в любой точке г между /с и сз выполняется равенство (7.25) где все частные производные взяты при с = г.
гео Гл. 7. Матричные элементы Нерехэда Задача 7.2. Покажите, что при Р[х]=х(т) — =б(г — г). ор Ьа (э) (7.26) Задана 7.3. Покажите, что если Р= ехР ~ — )... ~ 7(г„тэ)!'(гю ез) Х Г 1 Г Х 17 (Г1 г2 э1 — 12) д ге д г2 иээ е[э2 ) получаем, что член нулевого порядка в точности равен ( Р )з. Поэтому сумма членов первого порядка при любой функции т[(а) должна обращаться в нуль. Отсюда следует соотношение ,Г Ьр '~, а Ьэ (7.89) то производная бР!Ьу(г, а) будет иметь вид = ~ — ~ Л(г — г', г — Р) у(г', Р)е(г'аэб 1Р. (7.27) Заметим, что 7 (г, ~) является функцией четырех переменных (х, у, з, г). Поэтому для описания точки, в которой берется функциональная производная, координату з в интегралах ]вида, например, соотношения (7Л4)] надо заменить набором всех четырех этих аргументов.
Общее соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода функциональной производной бР7бх (г). Сделать это легче всего следующим образом. Рассмотрим матричный элемент (Р)е = ~ Р [х(е)] еиэюа[ к>1лэх(е) (7.28) и в интеграле по траекториям функцию х (~) заменим на х (~) + + т[ (е). Для каждого фиксированного значения г[ (г) выполнено равенство Я [х (С) + т[ (~)] = Ях (е) [поскольку д (х;+ тп) =- = Нх; ].
Отметим, что сам интеграл не должен измениться от такой замены. Разлагая теперь экспоненту в ряд и ограничиваясь членами нулевого и первого порядков (Р) = ~ Р[х(т) [ т[(т)] е67юзбкоечкнЯх(т)— (' [ (' д1) ~*() [' Р [, (т)] ап/ыз[хк)~Ях Я+ (' [ (' — „( ) дз ~ е(пюз[хкпЯх (~) [ + — ' ~ Р[Х(Е)] [ ~ — т[(З) Е[г~ Епреэ[иовЯХ(Г)+ (7 297 2. Фуннэионопьные проиаводные $91 — екжЖхКЦУх (д), дд' дха (7.31) где 2ь — некоторый промежуточный момент, не являющийся концом временнбго интервала, мы видим, что этот интеграл является обычным кратным интегралом по аргументам х;. После одной интеграции по частям получим, отбросив проинтегрированную часть: — е<™1д~хппйдх(в)= — 1 хе' — е®мз~ К>Тих(в).
(7.32) дха В д дхд Задача 7.9. Выясните, почему обращается в нуль проиитегрированная часть. Окончательно имеем аадр'~, а 1' дЯ~, (7.33) Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме (бг)з = — — (г бЗ)з (7.34) так как в этом случае можно не указывать переменных, от кото- рых зависят функции Р и Я. Задача 7.5. Покажите, что соотношение (7.34), вообще говоря, может ввести в заблуждение, поскольку в (7.33) используются только прямоугольные координаты.
Для этого исследуйте соответствующее соотношение в случае, когда используются, например, сферические координаты и отыскивается производная (е(ГЯго)з. Из этого общего соотношения вытекает много вая~ных следствий. Так, его можно было бы использовать в качестве отправной точки для вывода законов квантовой механики; можно было бы вернуться несколько назад и еще раз получить выражение (7.6).
Если речь идет о каком-то обобщении квантовой механики, то можно предполагать, что зто обобщение содержится в функции Я, в экспоненте еоз~п, или же исходить из выражения, подобного соотношению (7.30), и вводить обобщение в дифференциальнойформе. Швингер исследовал различные формулировки квантовой механики, вытекающие из соотношения (7.30). Можно получить еще одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временнбго интервала на з-отрезки, а функцнопалы заменить функциями переменных х„соответствующих моментам г;. Рассматривая далее интеграл по траекториям Гл.
7. Манерннные елеееенеен нерехеда д 3. Матпричньее элементье перехода для ненотпорых специальных 4уннционалов Соотношение (7.34) имеет много интересных приложений. В атом параграфе мы проанализируем некоторые из них. При атом ограничимся частным случаем одномерного движения частицы под действием потенциала 1' (х (1)). Предположим, что вдоль траектории частицы действие задается выражением (7.35) н Если кая<дая траектория сдвигается на малую величину бх(1), то в первом приближении Ы вЂ” = ~ ( х+)Р(х))бхЯдт, (7.36) и Из соотношения (7.34) в этом случае следует (бР> — = — „', Р ~ (тх+'е"' (х)) бх(1) Юле . (7.37) ее Это выражение можно получить и иначе, если встать на точку зрения, применявшуюся нами при выводе формулы (7.33); другими словами, если провести разбиение временнбго интервала на малые отрезки длиной з. Действие Я в атом случае запишется как и-1 Я= ~~ ~т ьм ' — Р(хе)е| .
(7.38) е=1 Если выбрать некоторый момент времени 4 и, как прежде, обозначить через хе соответствующую точку траектории, то — =т1 — )+ е" (Хе)Е. да /ееы ее хе ее — е е еф дхе ~ е е (7.39) Учитывая теперь (7.33), получаем В этом последнем соотношении член, содержащий е' в знаменателе, фактически является ускорением х в момент времени 1ю Поэтому соотношение (7.40) оказывается просто частным случаем выражения (7.37). Оно точно совпадает с последним, если » 8. Элементы перехода длл опециалъных функционалов в93 вариация бх (~) равна нулю для всех моментов Ф, отличных от ~„. Если же в (7.37) положить бх (8) равной ебх«б (~ — ~п)„то получим соотношение (7.40); поскольку оно справедливо для любых 7«, то фактически эквивалентно соотношению (7.37), являясь его более подробной записью.
Пусть теперь в соотношении (7.37) мы положили Р ж 1. Тогда ЬР=Ои — — ~ [лвх+ У' (х)) бх (г) вйл = О. (7.41) Так как этот результат должен быть верен для любого выбора функций бх (8), то в любой момент времени будет выполняться равенство (т,т) = — (У' (х)). (7.42) Х т *"+ — '*"+*'- +У (х«)~)=0. (7,43) [" * е» Из этого соотношения видно, что усредненный по всем тракториям матричный элемент выражения тх + У'(х) обращается в нуль в момент 4 даже в том случае, если усреднение проводится с произвольным весом, лишь бы весовой функционал не зависел от точки траектории, относящейся к моменту 8«.
Допустим теперь, что функционал зависит от этой точки; для простоты выберем его, например, равным хю Применив соотношение (7.40), получаем (1)= а ° влхь +ха'У'(х») ве," хп.и — 2х«+ х«, = — '(л«хь( хлм ~ — ~~ ~в ' )+ех«У'(хь)) . (7.44) Это выражение является квантовомеханическим аналогом закона Ньютона. Если для матричного элемента перехода воспользоваться классической аналогией, рассмотренной в $1, то можно сказать, что в каждый момент времени произведение «средней взвешенной» массы на ускорение, «усредненное» по всем траекториям с весом ем~», равно «среднему» значению сипы (т. е. градиенту потенциала, взятому с обратным знаком) в тот же самый момент времени.
В качестве другого примера рассмотрим случай, когда Р является произвольным (но не равным тождественно нулю) функционалом от всех пространственных переменных, исключая хю Тогда левая часть соотношения (7.40) обращается в нуль (поскольку в1Р/«вх« — — 0) и мы имеем г (хм ххв хй-! х«лм . ~ хн) Х Га. 7. Маенринньее вееееененм нерехеда 194 Если предположить, что потенциал У вЂ” гладкая функция, то в пределе при е — н 0 величина ехай (хь) станет пренебрежимо малой по сравнению с другими членами и выражение (7.44) принимает вид (т*"+' ~ хь) — ~ хат*а " ' = — ((). (7.45) ./ Хе — ае-1 ) хат (7.46) ,е хе+ е — ха ° хь+ет е (7.47) Эти члены отличаются один от другого на величину порядка е, поскольку они представляют собой одну и ту же величину, вычисленную в два различных момента, отличающихся на е.
Поэтому можно подставить выражение (7.47) вместо второго члена соотношения (7.45). В результате получим т ~+' " (ха — хьы) = —,(1). (7.48) Можем записать это и по-другому: /'/аз+1 — хе 12', (7.49) Отсюда следует, что матричный элемент квадрата скорости имеет порядок $/з и неограниченно растет, когда е стремится к нулю.
Последнее соотношение содержит произведение пространственной переменной х и импульса тх. В первом члене импульс линейно усреднен для момента 4 + е/2, а пространственная переменная относится к моменту /ю Во втором члене ее значение снова относится к моменту 4, в то время как значение импульса соответствует моменту 4 — е/2. Таким образом, из этого уравнения видно, что матричный элемент перехода произведения пространственной координаты и импульса аависит от порядка моментов времепи, в которые определялись эти две величины. Позднее, когда мы перейдем к более привычным операторным обозначениям, будет видно, что оба операторных уравнения, соответствующие уравнению (7.42), и правило коммутации операторов (7.45) получаются из одного и того же фундаментального соотношения (7.34). Из выражения (7.45) можно сделать дальнейшие выводы, которые дадут нам лучшее представление о свойствах траектории, играющих важную роль в квантовой механике. Рассмотрим порознь » 8.
Зяеыенльы лерехода дяя елециаяьных едрнвционаяое 495 Позтому можно заключить, что основные траектории квантовомеханической частицы не имеют вида гладкой кривой с определенным наклоном (т. е. с определенной скоростью), а изображаются линией с очень мелкими хаотическими изломами, как показано на фиг. 7.1. На самом деле зта хаотичность такова, что если для ер и г. 7.1. Тикичвые траектории квактовомехаиичеокой чаотиры.
Ови имеют иеретуляриые иаломм, вели раеоматрввать их е доетаточимм увеличевием. таким обрааом, хотя ередвяя скорость может быть вычаелека, ио ередяего квадрата скорости ие оущеотаует. Другими еловами, траектории ве йифферевлируеиы., определения «среднего» воспользоваться классическими понятиями, то «среднеквадратичной» скорости просто не будет существовать. Если для малого промежутка времени Лг среднюю скорость определить, например, как )х(8 + Ль) — хЯ) !М, то «среднеквадратичная скорость» для малого интервала времени конечна, но величина ее будет тем больше, чем меньше ваятый интервал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
