Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Итак, мы знаем, что квантовомеханические траектории весьма хаотичны. Однако, будучи усредненными по разумному отрезку времени, зги хаотичности приводят к разумной величине дрейфа, 1зз Гт У. Матричные ее«менты лерехеда т. е. к «средней скорости», несмотря на то что для коротких временных интервалов такая «средняя» величина скорости очень велика. Задача е.б. Покажите, что для частицы, движущейся в трехмерном пространстве (х, у, г), справедливы соотношения Ье ((хды — хд)') =((уд„— уд)') =-((гд+,— гд)') = — —, (7.50) ((хд„, — хд) (уде, — уд)) = ((хды — хд) (гд„, — гд)) = = «уде, — уд) (г, — гд)) = О. (7.
51) Отсюда видно, что матричный элемент кинетической энергии нельзя написать просто как 1 " / хд+ — хд 12', (7.52) поскольку эта величина неограниченно растет при стремлении е к нулю. Как же получить правильное выражение для кинетической энергии? Сделаем эвристическое предположение, что нам будет достаточно ограничиться рассмотрением тех функционалов У, которые исследуются методами теории возмущений. Тогда возникает вопрос: как ввести понятие-возмущения в кинетическую энергию? Пусть за малый интервал времени Лг масса частицы л» изменяется на величину цт (где Ч тоже очень мало); тогда изменение действия, пропорциональное кинетической энергии, будет равно величине «)Лг (т?2) х'.
Итак, мы пришли к вопросу: какой вид (в первом приближении по возмущениям) имеет выражение для (о)з„если на короткое время масса частицы т принимает величину ш(1 + ц)? Для простоты интервал Ы можно положить равным е, как это было уже сделано нами в определении пространственных переменных хю и т. д.; тогда в разложении по возмущениям член первого порядка, поделенный на ец, будет равен кинетической энергии частицы.
Ясно, что изменение действия 3 будет равно ец (т/2) (хд„, — хд)д(з» (если в выражении (7.38) в члене с индексом 1 = й массу т заменить на л» (1 + Ч)). Однако это не единственное изменение в интеграле по траекториям, вызываемое вариацией массы. Дело в том, что, кроме величины самого интеграла, изменяется также (на величину») !2) коэффициент нормировки А, пропорциональный т'~».
Следовательно, полное изменение интеграла по траекториям, обусловленное малой вариацией т, после деления на ц з запишется (с точностью до первого порядка) в виде Г'т (х»Е« — хд) л '~, (7.53) д. Элементы перехода длл епециаланых функционалов $97 а это не что иное, как кинетическая энергия, умноженная на величину в!З. Из равенства (7.49) можно было бы заключить, что это выражение равно нулю. Однако само равенство (7.49) выполняется лишь в пределе при з — н 0 с точностью до членов порядка 1/е, в то время как (7.53) при таком же предельном переходе остается конечным. Это выражение можно переписать иначе, если разложить квадратичный член. В уравнении (7.40) положим Р равным хпв„— хю Сохраняя члены низшего порядка по з, получаем — " '1 '=' — (*"+' и 1 ' — $ (7 54) Так как в рассматриваемом случае все потенциалы, действующие на частицу, постоянны в пространстве (поскольку отсутствуют силы), то вторая производная от матричного элемента перехода для пространственной координаты равна нулю в соответствии с уравнением (7.42) и, следовательно, результатом интегрирования будет (Х (1)) = (Хв+ — (Х, — Х,) ~ ($).
(7. 56) Таким образом, левую часть уравнения (7.54) можно рассматривать как матричный элемент кинетической энергии. Отсюда видно, что простейший способ написания матричных элементов перехода, содержащих различные степени скоростей, заключается в замене этих степеней произведениями скоростей, в которых каждый множитель немного отличается от другого небольшим сдвигом во времени.
В простых задачах матричные элементы перехода иногда можно вычислить непосредственно. Тот л<е самый результат в этих задачах можно получить, воспользовавшись соотношениями для матричных элементов перехода, которые мы нашли в з 2. Из этих соотношений получаются разрешимые дифференциальные уравнения для матричных элементов. Для иллюстрации рассмотрим теперь несколько примеров применения пашего общего метода, однако, как будет видно, все задачи, для которых этот метод окажется результативным, настолько просты, что и непосредственное вычисление матричных элементов фактически вряд ли будет сложнее.
В качестве первого примера рассмотрим случай свободной частицы, которая переходит из точки х, в точку хх за время Т. Найдем матричный элемент перехода для пространственной координаты в момент времени 8, т. е. для х (~). Конечно, он будет некоторой функцией от Ф, поэтому ясно, что (х (О)) = хв (1) (х (7')) = ха (1). (7.55) Гг. 7. Матричные вггмгктм иерехгда Заметим, что выражение в скобках есть как раэ величина х (з), вэятая вдоль классической траектории х (З).
Задача У.У. Покажите, что для любой квадратичной функции дей- ствия (х (з)) = х (г) (1). (7.57) В качестве несколько менее тривиального примера попытаемся вычислить матричный элемент перехода (х (г)х(г)) для того же случая свободной частицы, что и выше. Поскольку этот матричный элемент есть уже функция двух моментов времени, можно записать его как 7 (з, г). Вторая производная по времени в этом случае равна (7.58) Этот матричный элемент можно вычислить с помощью подстановки Р = х(г) в уравнение (7.40).
В случае г ~ г, используя те же соображения, которые приводят к уравнению (7.42), получаем — (1/т)(з" (х(з)] х(г)), тогда как при г = з, повторив соображения, приводившие нас к соотношению (7.44), найдем, что матричный элемент перехода (7.58) является величиной порядка 1/е. Переходя к пределу при е-~ 0; имеем т —,, = (тх(з) х(г)) = —. 6(С вЂ” г) — <У' [х(з)) х(г)).
(7.59) дз) '' Л Поскольку в рассматриваемом случае свободной частицы потенциал не зависит от пространственных координат, то второй член в правой части выражения (7.59) равен нулю. Получившееся при этом уравнение можно решить, раабив область интересующих нас значений З на две части. В области, где з ( г, 7 = а (г) з+ Ь(г), (7.60) а при з >г у =А(г) з+В(г). (7.61) Таким обраэом, в точке г = г первая производная функции по времени претерпевает скачок, равный А (г) †а(з); в соответсвии с уравнением (7.59) А(г) — а(г)=й/тз. Кроме того, следствием граничных условий являются равенства (х(0) х(з)) = т, (х(г)) =х,х(г) (1), (7.62) (х(Т) х(г)) = хзх (з) (1).
Этого еще недостаточно для определения всех четырех функций а, А, Ь и В, однако мы можем дополнительно испольаовать г 8. Элементы перехода длл опециалъных функционалов 199 соотношение д =( — ) 6(г — г) (7.63) полученное дифференцированием функции 7' по переменной г, или учесть, что функция 7'(е, г) должна быть симметричной относительно переменных г и г.
Отсюда следует, что а, А, Ь и В должны быть линейными функциями переменной г. Теперь граничных условий уже достаточно для определения решения, и мы получаем ( х(г)х(г)+ —.т г(т — е)~ (1) при г(г, (х(е) х(г)) = (7.64) ( х(е)х(г)+ — г(Т вЂ” г)( (1) при г(г. Легко видеть, что этот результат является правильным. Произведение двух классических траекторий х (е) и х (г), взятых в разные моменты времени, представляет собой решение, удовлетворяющее необходимым граничным условиям однородных уравнений, которые получаются, если приравнять нулю правые части (7.59) и (7.63).
Последние члены в правой части соотношений (7.64) являются частными решениями неоднородных уравнений (7.59) и (7.63), обращающимися в нуль на концах интервала. Матричный элемент перехода от произведения двух пространственных координат, взятых для двух различных моментов, является не просто выражением для проиаведения двух соответствующих положений на классической траектории. Он содержит малый добавочный член, который имеет чисто квантовую природу. Этот дополнительный член вполне совместим с нашей картиной квантовомеханического движения. Хотя частица, движущаяся между фиксированными точками на концах интервала, в среднем будет находиться на классической траектории, тем не менее она имеет определенную амплитуду вероятности для движений по каждой из возможных траекторий.
Этот факт необходимо помнить, когда рассматривается матричный элемент перехода от произведения пространственных координат, взятых для двух различных моментов. В этом матричном элементе должны быть учтены все возможные положения частицы на альтернативных траекториях; это обстоятельство и дает нам дополнительный член. Альтернативы совпадут лишь в фиксированных точках интервала. Можно лучше понять смысл этого утверждения, если снова применить нашу классическую аналогию. Предположим, что траектория частицы проходит через некоторую точку с координатой х, абсолютное значение которой велико в момент времени г.
Тогда «среднее» значение переменной х для более позднего момента времени г не является уже обычным средним значением траек- Гл. 7. Матричные алелеенты иерехада Задача 7.8. Найдите матричный элемент перехода от произведения х (з) л (з) = 7' (г, з) в случае, когда потенциал не остается постоянным, а соответствует потенциалу сил, действующих на гармонический осциллятор. Получите дифференциальные уравнения для функции 7' и попытайтесь найти решение (7(з, г))= ~х(з)х(г)+8(з, г)) (1). (7.65) Получите уравнение для 8 (г, з), показав, что д не зависит от значений координат конечных точек х, и зг и вида силы (производной от потенциала у (з)). Покажите, что вообще при Т = гз — З, е(з, г)= .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
