Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Энергия промежуточных состояний не совпадает с энергией начального и конечного состояний; тем не менее закон сохранения энергии здесь не нарушается, поскольку система пребывает в промежуточном состоянии лишь кратковременно. Величина вклада в общую сумму в этом случае убывает обратно пропорционально разности энергий. Об этих промежуточных состояниях мало что можно сказать.
Они возникают лишь при рассмотрении потенциала ве как возмущения системы с гамильтонианом Н, когда реальные состояния системы с гамильтонианом Н+ к выражаются только лишь через состояния системы с гамильтонианом Н. Если в задаче используется другое разбиение на «возмущенную» и «невозмущенную» системы, то в нашем описании появятся другие формулы и другие промежуточные состояния. Много интересных эффектов возникает в случае, когда потенциал зависит от времени (например, периодически). Большинство из них наблюда- ') Иннмн словами, даже в случае, когда ново»ножен прямой переход и -н- т, вне«тая коночная вероятность найти систему в состояннн т, находившуюся первоначально в состоянии н, что можно понимать как переход в состояние т чврвз некоторое промежуточное состояние.— Прим.
ред. Б. Вовмущения, аависяи~ие ото иразени лось в микроволновых экспериментах, где в качестве возмущения Р (х, () применялось слабое и периодически изменяющееся во вре- мени электрическое или магнитное поле. Задача 6.27. Для потенциалов, периодически изменяющихся во времени, получите ряд теории возмущений до членов второго порядка включительно. Иногда переход может происходить лишь через два или большее число промежуточных состояний. Анализ таких переходов требует рассмотрения в ряде теории возмущений членов третьего и более высоких порядков.
Задача 6.28. Покажите, что в случае, когда невозможен ни прямой переход, ни переход через одно промежуточное состояние и требуется рассматривать сразу два промеязуточных состояния, матричный элемент перехода имеет вид у Р'и('ы ~х~ '~ (Ет Кз)(К~и Ку) ь (6Л10) что соответствует члену третьего порядка в разложении теории возмущений. Задача 6.29. Предположим, что одновременно действуют два возмущения: У (х, 8) и У (х, (), которые представляют собой, например, некоторую комбинацию постоянного и переменного электрических полей или комбинацию электрического и магнитного полей. Предположим далее, что ни одно из этих возмущений Р или У порознь не может вызвать переход системы из одного состояния в другое. Это становится возможным, лишь когда оба возмущения действуют совместно.
Полагая возмущения У и 07 не зависящими от времени, покажите, что матричный элемент перехода определяется выражением з,,г С~ у ~Хии+ уььКь Š— Е ь Расчет сдвига энергии состояния. При вычислении амплитуд переходов мы рассматривали лишь те состояния, у которых л -ь т. Обратимся теперь к случаю, когда т = п.
Рассмотрев члены нулевого и первого порядков в разложении теории возмущений, Допустим теперь, что оба потенциала изменяются периодически во времени, но с различными частотами в, и юю Каков будет в этом случае матричный элемент) в78 Га. д. Метод теории вовмитений в квантовой механике имеем (6. 112) ) „=1 — — „' 1 Р (г)гг. Если в'не зависит от времени, то Х „= 1 — (в/Л) е" Т.
Что означает этот результат? Можно ожидать, что добавка к основному гамильтоннану потенциала И приведет к тому, что энергии всех состояний системы несколько изменятся. Новые значения энергий можно записать как Ет + /хЕт. Зависящая от времени часть волновой функции, описывающей зто состояние, будет теперь иметь вид ехр [( — 1/Ь) (Е + ЛЕ ) 1] вместо экспоненты ехр ( — в/й) Е й, которая была раньше. Вследствие этого аа время Т, в течение которого действует возмущающий потенциал, возникает относительная разность фаз, выражаемая экспоненциальным множителем ехр ( — — 'ЬЕ Т) .
ты ~ ~ е Ь(йилй-кто- а1 в// е/е )х )е й о о (6 114) Предположим сначала, что вырождения нет. Рассмотрим первый член ряда при /е = вв, который является членом второго порядка. Интеграл в этом члене равен Та/2. Интегралы в членах с /е~лг могут быть также легко вычислены: — У '~'""Р Т вЂ” ' '"Р' "'" е")!') )-.
(6.115) (Ет — ЕК) Гв ) (!/В) (Еа — Е,„) е~т С точностью до первого порядка разложение этогомножнтеля в ряд по времени имеет вид 1 — (в/Ь) Л Е Т. Отсюда видно, что в первом порядке величина сдвига энергии в состоянии лв, обусловленная потенциалом Г, составляет ЛЕ =И (6.113) Такой вывод выражения для сдвига энергии в первом порядке теории возмущений неудовлетворителен в случае, когда система вырождена, т. е.
если вначале имеется очень много состояний с одной и той же энергией. Оказывается, в этом случае члены второго порядка по р дают эффекты такой же величины, что и члены первого. Учет членов второго порядка в разложении матричного элемента перехода дает е-6!юл Ю =1 — — '$' Т вЂ” ( — ) х т= Ь тт о. Вовмуееения, вавиеявеие оеп времени 179 Первые три члена в правой части этого уравнения представляют собой просто разложение экспоненты ехр ( — ВУ Т/й).
Первый иа суммируемых членов будет пропорционален Т, и его можно интерпретировать как изменение энергии во втором порядке разложения. Это означает, что добавка к энергии не просто равна У м, а содержит еще поправки высшего порядка. С учетом поправок второго порядка выражение для сдвига энергии запишется в виде вяЕ У '~ УпевУьт лаем — ея Афвп (6.116) Во втором порядке это равенство дает точное выражение для сдвигов уровней энергии невырожденных состояний. Следует заметить, что этот результат легче получить обычными методами, т. е.
решая уравнение (Е+ у) вр= Еег (6.117) Л'Е~ = — — ги ~ У6 (Е~ — Еь) К ь$'п~. А (6 118) Однако эта величина не может быть поправкой к энергии, так как она чисто мнимая, а энергия должна быть действительной величиной. Обозначим эту поправку через — 17/2 (множитель '/з Более того, обычный подход, основанный на уравнении (6.117), позволяет проще трактовать вырожденные состояния. Однако нашей целью здесь было привести пример использования амплитуды перехода, а не отыскивать простейшие формулы для расчета энергетических сдвигов. В действительности имеются более сложные задачи, связанные с изменением энергии, в применении к которым метод амплитуд перехода оказывается наипростейшим.
В этих задачах схема, которую мы старались пояснить выше, сводится к нахождению членов ряда, пропорциональных Т, Т' и т. д. Затем, если мы вспомним, что амплитуда вероятности пребывания системы в начальном состоянии пропорциональна экспоненте ехр ( — /й ЕТ/Ь) и что ряд теории возмущений эквивалентен разложению этой экспоненты, мы сможем написать правильное выражение для Л Е. .
До сих пор мы еще не рассмотрели последний член в формуле (6 115). Если состояние Еь лежит в непрерывном спектре, мы должны определить смысл знаменателей в формуле (6.116). Если мы будем понимать их в смысле главного значения, как мы зто делали при рассмотрении членов второго порядка в случае в Ф и, то можно показать, что зги дополнительные члены дадут вклад, пропорциональный Т,и приведут к поправке в уравнении (6.116) е80 Гк. д.
Метод теории еоемущений е кеантоеой механике вводится для удобства) и запишем 2 тт ~Š— Š— оа и (6.119) Отсюда следует, что амплитуда перехода Х, означающая, что система очень долго будет оставаться в состоянии т, пропорцио- нальна экспоненте ехр ( — е (КŠ— 2 ~ Т| = ехр[ — ~(КЕ ) Т)ехр ( — ~ ) . Первый множитель здесь определяет сдвиг энергии. Второй множитель легко интерпретировать как вероятность того, что череэ время Т система по-прежнему будет пребывать в состоянии т; эта вероятность равна ~ Х ) ' = ехр ( — уТ) и убывает со временем, так как в каждый момент времени имеется определенная вероятность перехода системы иэ состояния т в некоторое другое состояние. Это означает, что для полной согласованности следует допустить, что величина у является полной вероятностью (в расчете на единицу времени) перехода иэ состояния т в некоторое состояние, принадлежащее непрерывному спектру при той же самой энергии.
Иэ уравнения (6.118) следует, что у= ~ 2яб(Ет — Ее) ~Ута щи. (6.120) а Итак, мы видим, что полная вероятность, отнесенная к единице времени, в точности совпадает с суммой в формуле (6.87), вэятой по всем допустимым конечным состояниям (допустимым в рассматриваемом приближении по У). Величина, обратная у, называется средним временем жиэни состояния. Строго говоря, состояние с конечным временем жизни не имеет определенной энергии. В соответствии с принципом Гейэенберга неопределенность энергии ЛЕ = (Д/время жизни), т. е.
ЛЕ= у. Коли поставить эксперимент для определения раэличия энергий двух уровней, каждый иэ которых имеет ширину у, то мы обнаружим, что резонанс не является острым, а имеет сглаженную форму. Центр реэонансного пика определяет разность энергий„ а его ширина — сумму значений у для данных двух уровней. Глава 7 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИЕРЕХОДА В гл. 6, рассматривая вопросы, связанные с изменением состояний квантовомеханической системы, мы развивали общие представления теории возмущений. В связи с этим мы рассмотрели и исследовали системы, основное состояние которых описывается настоянным во времени гамильтонианом. Теперь продолжим изучение метода теории возмущений и обобщим его на случай систем, у которых невоамущенное состояние описывается гамильтонианом, изменяющимся со временем.
С этой целью введем более общие обозначения и попытаемся несколы<о шире рассмотреть вопрос о том, каким образом происходит изменение состояния квантовомеханической системы. Эти новые обозначения будут введены в переменные и некоторые специальные функции, так называемые матричные элементы перехода. Всю эту главу моя<но разделить на четыре части.
Вначале дадим определение амплитуд и матричных элементов перехода на основе теории возмущений, развитой в гл. 6. Во второй части, охватывающей э 2 — 4, сформулируем некоторые представляющие общий интерес соотношения для матричных элементов перехода. В третьей части (э 5) покажем, как связаны между собой матричные элементы перехода, определенные с помощью интегралов по траекториям, и величины, описывающие то же явление, но определенные с помощью обычных квантовомехапических операторов. Наконец, в последней части (з 6 и 7) применим результаты предыдущих параграфов к решению двух частных интересных квантовых задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
