Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Все это в совокупности определяет матричный элемент перехода (7.10). Квадрат модуля этого выражения представляет собой вероятность того, что система, находившаяся в исходном состоянии ф, может под действием малого возмущающего потенциала У (х, 1) перейти далее в состояние Х (если это последнее не является состоянием системы при У = О, т. е. если (Х 1[18) = О). оотношение (3.42) позволяет нам ввести сокращенные обозпачевия подобно тому, как это было сделано в соотношении (6.23) при переходе к выражению (6.25). Определим функцию ф (хэ, гэ) как ф(3) =- ~ К,(3, 1)в[э(х,)е[х,.
Это — волновая функция в момент 1э, возникающая из начальной волновой функции в случае, когда нет возмущения. Аналогично определим функцию Хв(хз 1з)= ~ Х*(хз)Ко(2, 3)е[хю (7.12) комплексно сопряженную волновой функции, которая (при отсутствии возмущения) в момент 1э будет совпадать с функцией Х (хз) з момент 1з [см. уравнение (4.38) и задачу 4.7[. 186 Гл. 7. Матричные элементы перехода С помощью вновь введенных волновых функций член первого порядка теории возмущений можно записать более просто: Х ( ~ У[х(г), Ц ей~а~ = ~ ~ Х'(3)У(3)ф(3)аЪ йе, (7.13) откуда видно, что амплитуда перехода, представленная в такой форме, является обобщением амплитуды перехода )о „, введенной в з 5 гл.
6. Если волновые функции в правой части соотношения (7.13) являются собственными функциями, то результирующая амплитуда перехода будет просто совпадать с амплитудой Х'„, определяемой соотношением (6.70). Таким образом, вычисление элемента перехода для функционала Р [х (~) [, зависящего от времени 8 только через х (1), как и вычисление интеграла по времени от такого функционала, не вызывает затруднений. Легко вычисляется и элемент перехода для функционалов, зависящих от функций х, определенных для двух разных моментов времени. Такая задача встречается, например, при рассмотрении члена второго порядка ряда теории возмущений.
Этот член можно записать в виде 2В' Х[оа[ер)эе 2В, ~ ~ (Х[У[лИ) ц)У[к(г) х)[ф)е[ееЬ. (7.14) Подынтегральное выражение в этом соотношении само по себе является матричным элементом перехода и может быть представлено как (Х [ У [х (к), Е) У [х (з), г)[ ф) = = ~ ~ Хо(4)У(4)Ко(4, 3)У(3)ф(3)е[хздхм (7.15) где мы обозначили Гз=г; й,=С для случая з(д и Гэ=т; Ю а-л для з>1. Таким образом, член второго порядка в разложении теории возмущений имеет вид —,'„.(Х~~У[*(), ) [г~У[*(), И ~ф~~= = ~ ~ Хо (4) У (4) Ко (4, 3) ф (3) е(хз е[~з е(х, Жм (7.16) что можно понимать как обобщение амплитуды перехода (6.74).
Нетрудно написать также выражения, содержащие три или более функций. Соотношение (7.4) соответствует и более общему виду теории возмущений. Для примера рассмотрим частицу, взаимодействующую с каким-либо осциллятором. После интегрирования по координатам осциллятора результирующую функцию действия можно Е. Определение матричных элементное перехода 18т написать как Юа + о, где (см. $10 гл. 3) сэ с о=- ., ~ ~ д[х(с), с]д[х(г), г]япв(са — с)япв(г — 8с)с]гесс. сс сс (7.17) Функционал я [х (с), ~] здесь характеризует взаимодействие частицы и осциллятора; Т = Ц вЂ” ес. Как уже отмечалось, практическое вычисление интегралов по траекториям, содержащих такую сложную функцию действия, очень затруднительно, однако если можно ожидать, что эффект, вызываемый сложным членом о, невелик, то искомый результат легко получить, разложив экспоненту (7.4) в ряд по возмущениям.
Для иллюстрации найдем член первого порядка в таком разложении (т. е. первую борновскую поправку). Используя для Ь выражение (7 17), можно вычислить член (сИ) ( у. ~ Ь! с[с )в„ записав его в виде с †' <)< ~ ] ]с)з, = ~ . „ ~ ~ < ) д [ (<), С] 8 [* ( ), ~] ] [с)~. Х сс сс х зспв(с~ — с) япв(г — 1с) есгст<, (7 18) так что наиболее трудная часть задачи сводится к отысканию выражения <)< ] г [х (~), с] д [х (г), г] ] ф)з . Но зто выражение мы уже встречали в соотношении (7.15), с той лишь разницей, что вместо д там стояло ст.
Поэтому мы можем написать <;<] г [х (8), с] д [х(г), г] ] с]с)ге = = ~ ~ ]<а (4) г [х(С ), Сс] ]г (4, 3) г [х(8э), Ц с[с(3) с(хэ с]хс. (7.19) Подставив результат в соотноспение (7.18), получим окончательное выражение для первой борновской поправки (с,сй) < у ] о ] ф )г,. Заметим, что с матричными элементами перехода мы будем часто встречаться в дальнейшем и в каждом случае их можно будет вычислить так, как только что было показано. Поэтому лиспь малая часть излагаемого ниже окажется существенной для дальнейшего рассмотрения. Тем не менее существуют веские соображения, исходя из которых мы и включили этот материал в пашу книгу.
Во-первых, возникает возможность получить весьма общие соотношения между матричными элементами перехода, которые можно было бы рассматривать в качестве отправной точки для нового построения квантовой механики. Во-вторых, для тех, кто хорошо знаком с более привычньпм операторпым изложением квантовой мехнаники, мы предлагаем нечто вроде Гл. У. Матричные элементы перехода пособия для перевода с одного языка на другой, что поможет перейти от обычного представления к представлению, используемому в данной книге, т. е. к выражениям, подобным (7.3).
Пользуясь этими правилами перевода, содержание последующих глав, изложенное на языке интегралов по траекториям, можно понять и перевести на язык более привычных символов. Соотношения, рассматриваемые ниже в данной главе, не зависят от вида волновых функций, описывающих начальное или конечное состояние системы; вид этих функций важен лишь при определении интеграла для матричного элемента перехода. Поэтому применим сокращенные обоаначения, опустив все, что характеризует волновые функции; матричный элемент перехода будет теперь обозначаться как ( Р )г вместо старого обозначения ( х1Р[ф )я у" 2.
Функтепональньее производные Обратимся теперь к рассмотрению математического аппарата, который позволит нам в дальнейшем установить интересное соотношение между ыатричными элементами перехода. Это соотношение приобретает наиболее иашцный вид, если воспользоваться понятием функциональной производной. Поскольку с этим математическим понятием знакомы далеко не все, мы целиком посвятим этот параграф его обсуждению. Численное значение функционала Р [х (1)1определено для каждой заданной функции х (е). Зададимся вопросом: как изменится это значение, если немного изменить аргументную функцию х (е)? Другими словами, как велика будет разность Р [х (е) + т[ (~)1— — Р [х (е)1, если Ч (э) мало7 В первом приближении по т[ (предполагая, что таковое существует и т. д.) эта разность представляет собой некоторое линейное относительно Ч выражение типа К (г) т[ (г) е[г.
Определенная таким образом величина К (г) называется функциональной производной функционала Р по функции х (~) в точке г и обозначается как ЬР/Ьх (г). Поэтомус точностью до членов первого порядка можно записать соотношение Р[х+т)) =Р [х[+ ~ — т[(г) е(г+.... (7.20) Понятно, что производная бР/бх (г) зависит как от вида функции х (е), так и от значения переменной г, т. е. она является функционалом от х (т) и функцией времени г. Можно посмотреть на все это и с другой точки зрения. Предположим, что время разделено моментами г, на очень многомаленьких отрезков М = е (~е+, = е+ ~;).
В этом случае функцию Е 3. Сденачионааьные ароиаьедные (ве х (ь) моясно приближенно задать ее значениями хс -=х ((с) в моменты ьс. Функционал Р (х (ь)] будет тогда зависеть от всех величин х;, т. е. он превращается в обычную функцию многих переменных х;: Р(х(8)) — +Р(..., хо хьь„...). (7.21) Рассмотрим теперь дГ/дхс — частную производную этой функции по одному из переменных х,. Наша функциональная производ- ная есть не что иное, как в точности эта частная производная, поделенная на е и взятая в точке сс = г, т.
е. — + дР ! дР (7.22) дх(с) е дх; ' В этом легко убедиться следующим образом. Если траекторию х (с) заменить на х (с) + Ч (г), то все значениЯ хс заменЯтсЯ на х; + Ч;, где Чс — — Ч (ьс), поэтому в первом приближении получаем г (. ° ° хс+Чс хс+с+Чс+с ° ° ° )— — К( хо хсьс.
)=~ дх Ч дР (7.23) что следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь обозначить (с/е) (дР/дхс) = К;, то сумма в (7.23) запишетсЯ как ~ КсЧсе и в пРеделе пРи е-ы О пеРейдет в интег- рал ~ К (ь) Ч (ь) сьь, так что если этот предел существует, то он равен функциональной производной 6К/Ьх (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
