Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. раарыаы остаются лишь е производных сущестаенно более высоких порядков, вероятность перехода уменьшается. Кроме того, предположим, что у « (Š— Е„). Покажите что величина вероятности (6.79) уменьшается в этом случае в $ раз, где $ = ( уа/(ут + (Š— Е )а))а. При определении функции Т' (1) в виде (6.80) мы имеем еще разрывы второй производной по времеии; более гладкие фуикции приводят к еще большему умекьшеиию величииы Р (и -ь т).
Может случиться, что значения зиергии Е и Е„будут в точности равны друг другу; в этом случае вероятность перехода Р (и -н т) = ~ У ~аТа/в' и возрастает пропорционально квадрату времеии. Это озиачает, что понятие вероятности перехода 167 о. Вовяущения, вависящие от враиени на единицу времени в данном случае не имеет смысла. Укаэанная выше формула применима только для достаточно малых значений Т, таких, что У „Т « я. Если у нас имеются только два состояния с одинаковой энергией, то окаэывается, что вероятность обнаружить систему в первом иа этих состояний равна соз' () У „) Т/я), а вероятность ее обнаружения во втором состоянии равна эепе ( ~ У „~ Т/й), так что наша формула является всего лишь первым приближением к этим выражениям, Задача 6.21.
Рассмотрим такой частный случай, когда возмущаэощий потенциал У не имеет никаких матричных элементов, кроме тех, что описывают переходы между уровнями 1 и 2; будем считать, что эти уровни вырождены, т. е. энергия Е, = Е,. Пусть Увг = Ум = э, а У„, Уее и все другие матричные элементы У,„„ равны нулю. Покажите, что от оеТе Т Хм= в — — + — —... =сов— 2ле 24ье ' В оТ .
овТв оТ Хвэ= — е' — + е — —... = — ев(п —. В 6ВВ Й (6.82) Задача 6.22. В задаче 6.21 мы имели равенство Р,а = Кое, поэтому матричный элемент е'ее является действительной величиной. Покажите, что и в том случае, когда ве,е — комплексная величина, физические результаты остаются теми же самыми (при этом следует положить л = ~ ввез ~ ). Такие системы колеблются, переходя из одного состояния в другое, и обратно.
Отсюда можно вывести некоторые дополнительные следствия. Предположим, что взмущение действует чрезвычайпо длительное время, так что 4еинТ/д;р $. Тогда, рассматривая систему в проиэвольный момент времени Т (который до некоторой степени является неопределенным), найдем, что вероятности обнаружить систему в первом или во втором состояниях в среднем равны друг другу.
Другими словами, если на систему с двумя состояниями, энергии которых в точности равны друг другу, очень долгое время действует какое-то слабое возмущение, то оба эти состояния становятся равновероятными. Этот вывод окажется нам полеэен, когда в гл. 10 мы будем рассматривать вопросы статистической механики. Особенно важен случай, когда допустимые значения энергии конечного состояния Е не являются дискретными, а лежат непрерывно или по крайней мере расположены чрезвычайно близко друг к другу.
Пусть р (Е) дŠ— число уровней или состояний в интервале энергий от Е до Е + е/Е. Тогда можно поставить вопрос об определении вероятности перехода в некоторое состояние 168 Гл. З. Метод теории еовмри!ений е квантовой механике этого непрерывного спектра. Прежде всего мы видим, что весьма маловероятен переход в любое состояние, для которого разность энергий .Е„ — Е велика; более вероятно, что конечное состояние будет одним из тех, которые расположены вблиаи начальной энергии Е„ (в пределах ~ )г „). Полная вероятность перехода в некоторое состояние 0 (в 4 з(нв [(Ет — Е„) Т/2В) (Ет — Ев)з т=! т=! Ет [в 4 а(пв [(Ет — Ея) Т/2а) (Е т (Е Е )в р в в. (6.83) Величина (4 зшв[(Š— Е ) Т/23 )) /(Š— Е„)' очень велика, если Е ж Е„, и имеет наибольшее значение, равное Тз/Ев. Эта -Зя О н 2гг Згг Ф н г.
6ЛЗ. Поведение нодынтегральной $уницнн. Разность ввергни Ет Ея выражена переменной х. Когда обе вти внергии становятся приблизительно равныма (другими словами, когда х очень мало), фушсция е!и* х/х* достигает своей мансимальной величины. Для ббльших значений разности енергий Ета фупицня станоеатся очень малой. ПОЕтаму во всех выражениях, Е нотОрые входит зта функция, основная часть вклада привносится центральной областью, т.
е, областью, ГДЕ ВЯЕРГИИ Ет И Ея ПРИбЛИЗИтЕЛЬНО РаВНЫ ДРУГ ДРУГУ. величина значительно уменьшается, когда энергии Е и Е„ существенно различны (т. е. Š— Е„>2| Т), как это покааано на фиг. 6.13. Таким обрааом, интеграл по переменной Е почти целиком определяется значениями Е, лежащими в окрестности точки Е„.
Если матричный элемент [г „изменяется не очень быстро, так что мы можем ааменить его некоторым средним значением, и если, кроме того, плотность уровней р (Е ) также изменяется медленно, то интеграл (6.83) можно достаточно точно представить О. Вввмущвиии, вавивищив от врвмвии выражением яви 4~у э Е 1 ( э)ав[(Е„,— Еи)т/2В! 1Е "~Р("'3 ( — „)3 (6.84) Ов Так как ~ ((э1п'х)/хв) Ех = я, то интеграл (6.84) равен яТ/2й и в результате получаем, что вероятность перехода в некотороэ состояние непрерывного спектра выразится в виде Р(п — +вп) =2я~У „)эи ( " (6.85) при атом энергия в конечном состоянии останется той же, что и в начальном. Отсюда вероятность перехода в единицу времени мы можем записать как ) = — ~М„)'р(Е) йв а (6.86) где величина М„называется матричным элементом перехода, а р (Е) — плотность уровней в конечном состоянии. В нашем случае матричный элемент М„совпадает с й „; если же перейти к более высоким порядкам разложения но Х „, то вид этого элемента становится гораздо сложнее.
Выражение (6.86) можно записать иначе, а именно как вероятность перехода аа единицу времени иэ состояния и в некоторое эаданное состояние пм Ер( ) 2 б(Š— Е )!(М„,и))в (6.87) Тогда, после того как мы просуммируем по всем состояниям вп, останутся лишь те, для которых Е„= Е . Сделав замену ~-и ~ (/Е Р (Е ), получим в результате формулу (6.86). Выражение (6.86) мы можем проиллюстрировать на примере (который ранее был рассмотрен с несколько другой точки ирония) рассеяния электрона в потенциальном поле (см. э 4).
Предположим, что на свободную частицу действует центральная сила с потенциалом в' (г) и мы хотим изучить рассеяние этой частицы при переходе иэ некоторого начального состояния с определенным аначением импульса в конечное состояние с другим значением импульса, имеющим новое направление. Будем считать, что начальное состояние и описывается плоской волной с импульсом р„ так что волновая функция ф„имеет вид ехр ((р, ° г/й) (функция нормирована таким образом, чтобы интеграл от квадрата модуля ~ р„~ ' по единичному объему был равен единице).
Допустим, что конечное состояние также описывается плоской волной с им- 170 2оо. д. Метод теории вовмиивений в квантовой механике пульсом р, и, следовательно, его волновая функция 1р есть ехр(врв ° г/й). Тогда для матричного элемента ве „будем иметь в у „= ~ е 6/кжэ'у (г) евякж1' е/вг = э (Ч), где Ч = р, — р1. В процессе такого рассеяния энергия будет сохраняться, поэтому р,'/2 = р,'/2т. Это означает, что абсолютные значения импульсов р, и рх равны. Положим их равными р, т.
е. 1 рай 1Р1! Р Таким образом, плотность импульсных состояний частиц, вылетающих в телесный угол е/Я, 1 дврх тр «К2 «Р (Е) = ~д (2~а]з = (2~в)2 = Р (Е) «(6.96) Подставив эти соотношения в формулу (6.86), определим вероятность перехода за 1 сев в элемент телесного угла 1122: — = ( — ) тр 0 28 ~ э (Ч) (2. (6.91) Обозначим эффективную площадь мишени (эффективное сечение рассеяния в телесный угол Ньв) как е(о (ср.
4 4 и 6). Так как В КаЧЕСтВЕ ИСХОДНЫХ МЫ ВЗЯЛИ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 1Рк, НОРМИРОВаН- ные на единичный объем (другими словами, относительная вероятность обнаружить частицу в каком-либо единичном объеме равна у нас единице), то число частиц, попадающих на площадь Ио в единичное время, равно произведению эффективного сечения на скорость налетающих частиц и1 —— р1/т. Поэтому — Ы1в = и, е/о = Р' е(о. дв 1 (6.92) Для эффективного сечения отсюда следует выражение ( 2нав ) ! и (ч) ! 1 (6.93) которое в точности совпадает с ранее полученным выражением (6.44).
В соответствии с принятым нами соглашением относительно записи элемента объема в импульсном пространстве число состояний, имеющих импульсы в элементе объема Ррх, равно Ррх/(2па)в= = р' Нр Ньв/(2яа)в, где Ий — элемент телесного угла, содержащий вектор импульса р,. Дифференциал энергии ИЕ и элементарный объем в пространстве импульсов связаны соотношением р рдр (6.89) О. Воемущения, еаеиеящие оое времени 171 Задача 6.22. Покажите, что для сечения е/с/е(ее получится тот же самый реэультат и в том случае, если волновая функция ~р„ нормирована на единицу в некотором произвольном объеме $'. Задача 6.24.
Пусть потенциал У вЂ” периодическая функция времени. Например, положим $' (х, 1) = е' (х) (еом + е — "е'). Покажите, что вероятность перехода мала, если только конечное состояние не совпадает с одним иэ следующих двух состояний: 1) состояние, энергия которого Е, = Е, + яю (это будет соответствовать поглощению энергии), или 2) состояние, где Еио = Е „— — лю (что соответствует излучению энергии). Это означает, что вид формулы (6.86) не изменяется, однако плотность состояний р (Е) должна вычисляться для этих новых эначений Е. Аналогично соотношению (6.87) мы имеем аР(и-~не) 2Я ~ ее (е 6, Е )+6 Е Е + (6.94) Задача 6.25.
Явление фотоэффекта покаэывает, что не только уравнениям механики, но и всем электродинамическим соотношениям следует придать квантовую форму. Это явление ааключается в том, что свет частоты ю, попадая на тонкий слой металла, с определенной вероятностью выэывает непускание электрона с энергией аю. Воэможен ли такой эффект, если вещество подчиняется квантовым законам, а свет по-прежнему будет рассматриваться как непрерывная волнаГ Какие соображения (испольэуя реэультаты эадачи 6.24) вы можете привести в польэу того, что нам необходимо отказаться от аппарата классической электродинамики': Р (1-и 2) = ~ е'ш ~~ ~ <р (юо) !е, (6.95) если функцию / (1) можно представить в виде интеграла Фурье /(1) = ~ т(ю)е (6.96) и положить юо — — (Ее — Ее)/й. В случае, когда / (е) — известная иэ теории шумов статистически нерегулярная функция (так называемый фильтрованный белый шум), величина ~р (ео), опре- Задача 6.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
