Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 37
Текст из файла (страница 37)
у 1. Определение матричных элементов перехода Изменение квантовомеханической системы во времени можно представить себе следующим образом. В начальный момент состояние описывается волновой функцией ф (х<, 8<). В более поздний момент времени 1з это начальное состояние переходит в состояние ф (хз, 1,). Предположим, что в момент ~з мы задаем вопрос: какова вероятность найти систему в некотором состоянии К (хю ~э)? Как мы знаем из общих соображений, развитых в гл.
5, вероятность того, что система будет находиться в определенном состоянии, Гл. У. Матричные элементы перехода пропорциональна квадрату модуля амплитуды, определяемой интегралом (Хх ех) р (ХЮ ээ) НХ2. Из гл. 3 нам также известно, что функция ~р может быть выражена через начальную волновую функцию с помощью ядра К, описывающего движение системы в интервале между моментами времени 1, и 1,.
Поэтому при отыскании вероятности пребывания системы в каком-то определенном состоянии можно исходить из начальной волновой функции ф, учитывая зависимость от времени с помощью ядра К (2,1). Результирующую амплитуду, абсолютная величина которой дает искомую вероятность, назовем амплитудой перехода и обозначим ее так: (т,!1(ф) = ~ ~ 2*(хх)К(2, 1)ф(х,)дх,дх,. (7.1) При описании процесса перехода для нас было бы сейчас предпочтительнее вернуться к более общим обозначениям. Введем для этого снова функцию действия Я, описывающую поведение системы в интервале между двумя моментами времени, и запишем амплитуду перехода в вида (т ) 1(ф)а= $ $ ~ уе(хэ) еат"ф(х) Ух(е) дх, дхэ.
(7.2) х1 Здесь мы применяем более точное обозначение, добавив в амплитуду перехода индекс Я, чтобы указать величину действия, входящего в интеграл. Этот интеграл необходимо взять по всем траекториям, которые соединяют точки х1 и хю результат умножить на две волновые функции и затем еще раз проинтегрировать по всем пространственным переменным в указанных .пределах. Прежде чем пойти дальше, договоримся о новых, лучших обозначениях, с тем чтобы охватить более общие случаи. Введем функционал Р (х (8)), не касаясь пока его физической природы.
С помощью этого функционала определим матричный элемент перехода как (2 (Р ( ф)е — — ~ ~ ~ 2' (х,) Г [х (~)) еж~"чР (х,) Ух(~) дхе дхю (7.3) Здесь р' — некоторый функционал от х (1), не зависящий от значений функции х (8) на границе и вне области изменения переменных хе и х,. В частном случае, когда Р = 1, интеграл (7.3) определяет амплитуду перехода. 1. Определеное матричны елементое перехода 183 Матричные элементы перехода трудно представить себе, если опираться на интуитивные понятия.
Поэтому для того, чтобы хотя бы частично использовать такие понятия, обычно обращаются к некоторой классической аналогии. Рассмотрим, например, картину броуновского движения какой-то очень маленькой частицы. Пусть в некоторый начальный момент ~ = ~е эта частица находится в точке х, и мы ищем вероятность того, что частица достигнет точки хз в момент 1 = ~з.
В случае квантовомеханических частиц мы обычно говорим о переходе из начального в некоторое конечное состояние. Поэтому точка х, для броуновской частицы соответствует начальной волновой функции ф (х,) в выражении (7.2), а точка хе — функции т (хе). Далее, решение квантовомеханической задачи требует интегрирования по переменным х, и хе начального и конечного состояний — шаг, совершенно ненужный в нашей классической задаче. Классическую задачу можно решить, рассматривая все возмоленые траектории движения частиц. При этом мы должны были бы вклад каждой траектории брать с весом, равным вероятности того, что частица действительно следует вдоль такой траектории, и вычислить интеграл по всем траекториям. Весовая функция здесь будет соответствовать члену еее~п, входящему в интеграл (7.2).
Конечное положение частицы в такой задаче не будет определяться отдельной точкой, а выразится некоторой малой окрестностью точки хз (от х, до х, + еех). После соответствующей нормировки результат будет иметь вид функции распределения Р (х,) охю определяющей вероятность достижения бесконечно малой окрестности точки хю Эта функция является аналогом амплитуды перехода (7.2) в случае, когда ф и у являются б-функциями пространственных координат. Допустим теперь, что мы хотим узнать о движении несколько больше, чем просто относительную вероятность достижения точки хз: например, мы хотели бы найти ускорение, которое будет иметь частица через некоторое определенное время (скажем, 1 сел) после начала движения. Для этого нам нужно было бы знать вероятные значения всех ускорений, т.
е. величину ускорения для каждой возмолгной траектории, взятую с весом, равным вероятности движения вдоль атой траектории. Такая усредненная величина будет соответствовать матричному элементу перехода (7.3). Суть этого утверждения заключается в том, что в подынтегральную функцию соотношения (7.3) мы вместо функции Р(х(~)) должны подставить ускорение, взятое в некоторый момент времени ~. С помощью интегралов по траекториям решение классической задачи можно представить в виде, очень похожем на соотношение (7.3). Гл. 7. Матра«пме елемепепм перехода Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние».
Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова. Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как зто было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся еще несколько прояснить смысл матричного элемента перехода. ешж = е«зо!пе ~аж. Учитывая теперь соотношение (7.3), запишем матричный элемент перехода (7.2) в виде (Х Мф);+.=(Х ~ «-" Мзо. а после разложения экспоненты в ряд получим (7.5) (Х)(l р)з.+ =(Хl(~$)Б,+ —,(Х)о!ф)эе — —,,» (Х)о'~ф)зе+....
(7.6) Этот ряд является обобщением разложения (6.3) и может рассматриваться как основа теории возмущений. Отсюда можно получить матричные элементы перехода, встречающиеся в целом ряде квантовомеханических задач. Предположим, что возмущающий потенциал и обусловленная им часть функции действия а связаны соотношением =1 У(Х(е), С) (~. В этом случае в первом приближении получим матричный элемент перехода (7.8) Случай малых возмущений.
Предположим, что действие, описывающее движение системы, можно разделить на две части: Ю = Яо+ о, где Яо приводит лишь к простым интегралам по траекториям, в то время как оставшаяся часть о достаточно мала и мы можем применить метод теории возмущений. Экспоненциальную функцию в соотношении (7.2) представим в виде 1. Онределение матрииних элементов нереаода 185 Чтобы вычислить его, нужно взять интеграл (Х/Т" [х(1), 1) [в[э)з,= = ~ ~ ~ Х" (Х,)е1звэ" е'[Х(1), 1)вр(х,)Их„е(халх(1). (7.9) Первый шаг при вычислении этого интеграла в точности совпадает с тем, что мы делали в соотношениях (6.8) — (6.11) при вычислении ядра К(').
Выражение для интеграла по траекториям получается путем интегрирования по координатам обеих конечных точек х, и хз и по координатам промежуточной точки хэ [обозначенной в соотношении (6.10) через с). Таким образом, (Х [ е [х (1) в 1] [ вр)ло = ~ Х (хэ) Ко (21 3) [ (3) Ко (3, 1) ф (хв) Нхв Нхэ е(хэ. (7.10) Мы получили это выражение, основываясь на трех допущениях: во-первых, применили интегральное правило (3.42) для волновой функции; далее, для написания амплитуды мы взяли выражение (5.31), определяющее вероятность того, что система, находящаяся в каком-то определенном состоянии, может быть найдена и в некотором другом состоянии; наконец, для ядра, описывающего движежение системы, употребили первое приближение теории возмущений (6.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
