Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 41
Текст из файла (страница 41)
зш«»ззшеэ(Т вЂ” з) при г(з, и твэ зш е»Т В 8(е, г)= . зш«изшеэ(Т вЂ” з) при з(з. (7.66) у м. Общие своз»»ноизен»зя для »евадрам«ичной «йпнк««ии действие« Если функция действия Я имеет квадратичную форму, то очевидно, что матричные элементы перехода для многих функционалов могут быть определены достаточно просто. Стало быть, можно попытаться обобщить наши исследования на некоторые функционалы более общего вида.
Методика такого обобщения была уже описана в э 5 гл. 3. Заметим, например, что если действие Я квадратично, то матричный элемент перехода функционала можно представить в виде еп" ) 7 (з) л (з) Зз, где 7 (з) — произвольная функция времени. Его можно выразить интегралом » 'чехР ~ а« ~ У(з)х(З) е(з~\~ ~ ехР а ~З+ ~ 7(г)х(г)е)З~ Ых(З). а (7.67) торин л (з); в этом случае налицо корреляция с предыдущим большим отклонением. Поэтому «среднее» значение произведения не является просто произведением «средних».
Здесь и в других приложениях классической аналогии нужно помнить, что термин «среднее» относится к величине, определяемой с помощью весовой функции е'зе». Эта экспонента не будет строго положительна, а в общем случае является комплексной величиной. Таким образом, мы получим чисто квантовый результат, подобный соотношению (7.64), где дополнительный корреляционный член является чисто мнимым.
у" а. Слуаай квадратианай функции дейетвиа 201 Если исходное действие Я выражено функцией Гаусса, то новое действие Я =-Я+ 1 т)хам. Теперь интеграл по траекториям в правой части выражения (7.67) может быть вычислен известными нам методами (3 5 гл. 3).
Обозначив через Я'„„экстремум действия Я', вынесем в (7.67) множитель ехр (вЯ„'„И) за интеграл. Под интегралом остается функции, интегрируемая вдоль траектории у (2) от точки у (О) = О до точки р (Т) = О, т. е. от начала до конца интервала (здесь мы полагаем х = х + у, где х — классическая траектория, соответствующая экстремуму действия). Интеграл вдоль траектории у не зависит от функции 7' (~), поскольку она входит в действие Я' как коэффициент перед линейным членом х (г). Мы уже видели (см.
выражение (3.49)), что в оставшуюся часть такого интеграла входят лишь квадратичные члены функции Я', которые представляют собой не что иное, как квадратичную часть функции Я. Поэтому интеграл по траектории в правой части соотношения (7.67) превращается в экспоненту, умноженную на матричный элемент перехода (1). В результате получаем (ехр( — „~ 7(Х)х(8)Ж~ = (ехр( — (Я„'к — Яии))') (4). (7.68) Мы уже рассматривали экстремум функции Я; . Отсюда можно получить экстремум функции Я„„, если положить ((2) тождественно равной нулю. Заметим, что действие для гармонического осциллятора, определяемое выражением (3.68), является частным случаем функции действия Я'„„.
Задача 7.9. Используя полученный вьппе реаультат, покажите, что если функция Я соответствует гармоническому осциллято- ру, т. е. Я= — ) хай — 2 ) х е)Г, 2 то '~~ р Е Ь ~ ~ (~) *(~) ~~1 "= (~) (ехр С Е Л 2аш в(в — в ) 1 ве Х ~ — „к ~ ) (~) з1п ва (в — г,) й+ — ' ~ «(в) з)в ю(га — в) й— 11 н ! —,, ~ ~ г(1) р'(а)з1пве(1,— в)з1пю(в — ва)Нзввв ) ~ ), и и Гв.
У. Матричные ваеееенты нерехвда где х„х,— начальные и конечные координаты для осциллятора. Из матричного элемента перехода, заданного выражением (7.68), можно получить элемент перехода для координаты х(г). Продифференцируем для этого соотношение (7.68) по 7'(г): (х(г)ехр ( — ' ~ ухе(е~~~ = —.— ~ехр ~ — '(5„'„' — Я„„)~) (1) = — ~ехр ~ — '(Юе'„— Ю„а) ~ ~ (1). (7.69) Полагая в обеих частях этого равенства 7'(г) аи О, получаем бЯ' (х(г)) =(1) — ~ ~ .
(7.70) Этот процесс можно продолжить до второй производной: (х(е) х(г)) = ( —,) б ехр ( — „(Лаз — Я„н)1 ~ (1) = =( ) ~ е а!(е)Ь™~(.)+б1(е) б)()Л 1~жг' Действительно, поскольку функция Я; квадратична только по переменной ~ (ср. выражение (3.66)),.то матричный элемент перехода для произведения любого числа координат х' можно выразить непосредственно череа производную бЗ„'аЯ1 (е) и величину беЯ„„/б) (г) б| (г), не зависящую от у. Все это, очевидно, следует иа соотношений (7.64) и (7.65) и позволяет нам записать матричный элемент перехода для произведения трех координат, что н будет сделано ниже.
Задача У.10. Покажите, что если (х(г)) =х(Ю)(1) и (х (г)х(г)) = [х(г) х(г)+л(г, г)) (1), то для любого квадратичного функционала (х(е) х(г) х(и)) = = (х(г) х(г) х(и)+х(е) « (г, и)+х(г) б(е, и)+х(и) д(г, г)) (1). Найдите матричный элемент перехода произведения четырех координат х, допустив,что поскольку Ю; — Я„а квадратичяо по переменкой 7 и равно нулю при у = О, то зто выражение должно иметь вид ~ез — Юа = — ~ ~ «(г)7" (г)д(г, г) дгдг+ ~ х(е) ~(г) дг, где д и х — некоторые функпин. е" д. Эааменты перехода и оператаорные обоеначенип 203 д А Матрнчньее элементах перехое)а и оператпорные обовтеачениа В атом и следующем параграфах покажем, как матричные элементы перехода выражаются в обозначениях, общепринятых для волновых функций и операторов. Это поможет тому читателю, который ранее встречался с другой формой эаписи, выразить реэультаты вычислений интегралов по траекториям в более привычном для себя виде.
Если функция Р зависит только от переменной х и одного момента времени Ф [инымк словами, если функция Р совпадает с функцией И (ха), взятой в момент времени Фа], то иэ соотношения (7.10) мы знаем, как в этом случае оценить элемент перехода. Подобным же образом [иэ выражения (7.15)] можно получить оценку для матричного элемента перехода, если функция Р зависит от одной координаты х (х) и двух различных моментов. Пусть функция Р является некоторым импульсом, рассматриваемым в момент времени 8ю Воспольауемся уже известным нам приближением и раэобьем ось времеви на отрезки длины е; тогда (7.72) Р = — (хл и — хэ) е и, следовательно, )( ! — (хан — хь) ~ зР,е = — (()( [хне ] Фе — (( [хэ] Фэ) (773) Правую часть выражения (7.73) можно записать в виде — [ $ Х (х, т+е)хф(х, е+е)е[х — ~ )(*(х, е)хед(х, т)е[х] .
(7 74) Воспользуемся теперь волновым уравнением. Иэ задачи 4.3 (гамильтониан Н соответствует действию Ю) следует, что аа(х, г+е)=ф(х, 8)+е — =ар — — ', Н~р, (7.75) К (х, ~+ е) = Х'(х, Г)+ е де =")('+ — (Ну„)). (7.76) Тогда в первом приближении по е имеем ~ )(~(х, ~+е)х9(х, е+е)еех= ~ )('(х, ~)хф(х, е)~Ь— — — ~ ~ Х" (х, 8) х[Нф(х, ~)] е[х — ~ [Но~~о(х, 8)] хф(х, 8) е[х) . (7.77) С помощью соотношения (4.30) последний интеграл можно записать как ~ )(а(х, г) [Нхф(х, Г)] ~Ь; упрощая, запишем в оператор- Гл.
У. Матричные елементы нерехода ном виде (д ) тх [ ф) = — ~ ~ )(* (хН вЂ” Нх) 1[1 е[х. Это ничем не отличается от соотношения — — т ~ )(е — — ИХ= ~ У* —.— 1[Х, (7.79) В д 1н дх Е 1 дх где мы применили реэультат аадачи 4.4. Оператор (й/1) (д/дх) обычно наэывается оператором импульса, или, точнее, оператором, представляющим х-компоненту импульса. Структура матрич- ного элемента перехода для величины тх соответствует постановке оператора (дй)(д/дх) между функциями т* и ф аналогично в матричном элементе перехода для величины х мы помещаем х между теми же функциями.
Эти соотношения можно понять глубже, если перейти к импульсному представлению. Пусть т (р) = ~ т (х) е-пло 1'" е[х, (7.80) ф (р) ~ 1[1 (х) е-1са) Рх е[х являются импульсным представлением функций )( и ф; тогда можно покааать, что ~ Х*(х) — ', —,',*' [ = ~ Х*(р)рф(р) [р Задача 7.11. Докажите соотношение (7.81). Есть и другой путь к пониманию этого соотношения. Рассмотрим амплитуду вероятности перехода, определяемую выражением ()([1[ф)= ~ ~ т,'(хн, Гн)К(хк, Гн, х„С1)ф(х„г1)е[хее[хн. (7.82) Предположим далее, что вся ось х, смещена вправо на малый отрезок Л. Обозначив новую координату х,', имеем х, =х,' — Л.
(7.83) Заменив старые переменные х, на новые, мы не иаменим амплитуду перехода, определяемую соотношением (7.82): У 1Ч-$ (2)1[ф)= ~ ~ ~ т.(хх, Гн)ехР ~( — „') '~', Я [хь.„~ее„хю ге[+ — ы х' и г 1 + ( а ) Я [хю 111 х,' — Л, г[ ~ г[1(х1' — Л, с) Ух (8) Ихе' е[хг, (7.84) е Б. Элементы перехода и операторные обоенаненил 20$ где интеграл по траекториям явно выражен при помощи методики, применявшейся ранее в соотношении (2.22). Разложим теперь функции Я(х2, е2, 'х,— Л, 2) и ф(х,— Ь, е) в ряд Тейлора, где сохраним лишь члены первого порядка. Тогда подынтегральная экспонента сведется к выражению ехр ~ ~~ ( — „) Я(ха+„~д+,, хю 4)) Х а=2 (7.85) В интеграле, определяющем амплитуду перехода, можно опустить штрих, поскольку х,' — переменная интегрирования. Тогда соот- ношение (7.84) примет вид (х)1(Х)= ~ ~ уо(2)К(2, 1) 2Р(1)е(х,е(хз — — 'Л ~ ~ Хо(2)К(2, 1) Х д В д Х (фе — 8 (хю 22; х„Ч+ —,— Ф(х„те)) Нхе Ыхз (7.86) хе дхе где мы предположили, что точка х2 находится на траектории х(е) и отстоит на интервал з от точки х„т.
е. что 22 = г, + е. Первый член в правой части соотношения (7.86) совпадает с амплитудой вероятности перехода в левой части. Это значит, что второй член равен нулю; но он представляет собой комбинацию двух матричных элементов перехода. Поэтому Х~ д 8(хз, 22+с, хм ге)~ф = Х~1~ —. ды ~ . (7.87) В согласии с выражением (2.22) мы применили здесь классическое действие вдоль каждого участка траектории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
