Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. = ~~~ ~е и ~ ~р„(х,)<р„'(х,). «=о Используя соотношения (8.10) 1з(лют ешг(1 — е тает) т 2 сое юТ = — е'"т (1+ е-зьэт), т (8.11) Все зти результаты можно было бы получить и другим путем. Так, например, функции ~у„ мы нашли при решении дифференциального уравнения в частном случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Однако нам уже известно решение и для случая с временнбй зависимостью; отсюда можно получить и эти функции непосредственным образом. Было бы весьма поучительно провести такой вывод, с тем чтобы проиллюстрировать некоторые из формул, выведенных в предыдущих главах. а. Проппой оармоииоооиий оозилевтор левую часть равенства (8.10) можно записать как ( †) ) е-нв™/ (1 е-г т)-а/а Х тв 1а/а в) х ехр ~ — 2в ~(х',+х',) ( мвт) га т ~) .
(8.12) Е„= йв (и+ — ) (8 13) Однако для того, чтобы найти волновые функции, необходимо выполнить разложение полностью. Проиллюстрируем этот метод решения на примере и = 2. Раалагая левую часть равенства (8 10) до членов указанного порядка, получаем ( — "" ) 'е-а т/г (1+ — е-г~ т+...) ехр ( — — (х,'+ага)— — — (х,'+х,') (е-г'вт+...)+ — „х,хге-™+...
) (8 14) или т/о т а/а — (тв/галиа+ха/ овт/г /, 1 ггвтт ( )' в/ ае 2 / Х ~1+ — „х,хге овт+ 2ьа х,'х',е-г"'т— 2 в 4тава в ( л+ а) -мвт (8.15) Теперь мы можем выделить коэффициент при члене низшего порядка. Он равен ( )' тв /а е — сов/ггнаа+*а) -овт/г/ -и/цеот, ~ о,, (8 18) ив/ а ае = е ~ро (хг) ар (ха). ) о1 / Это означает, что Ео — — йв/2 и /тв апо <р (х) — / тв ) о е — (~~в/гг) (8.17) Мы выбрали в качестве <ро действительную функцию.
Можно было бы выбрать и комплексную функцию, включив множитель е'о (где 6 константа), однако это не даст ничего нового для физической интерпретации результата. Ряд, имеющий вид правой части равенства (8.10), получится, если разложить выражение (8.12) в ряд по степеням функции ехр( †/вТ). Так как первый коэффициент адесь равен ехр( — /вТ/2), то все члены этого разложения будут иметь вид ехр( — (вТ/2) ехр ( — /ивТ), где и = О, 1, 2,..., а это означает, что уровни энергии определяются выражением Гл.
8. Гармозичесизе ощильзторы Член следующего порядка в рааложении равен е-' ~~те-'~т — е ~ "~~"и"~+*3~ — х,ха = е-<и"ж~т~р, (хз) у*(х,). яв — ~ а — ~ г (8 18) Отсюда следует, что Е, ='/зйв и 2~Их <р~ (х) = — „яре (х). (8 19) Следующий член соответствует энергии Ез= з/,аа. Его часть, аависящая от х, и хю равна ( — "„„" )'" р ~ — — „(,*+*,') ~ ~~а, *;*,'— — „(;+*,') ~; (8.2()) это не что иное, как произведение функций ф,(хз) ~р,*,(х,).
Так как выражение в скобках может быть переписано как — ( — „х,' — 1) ~ — „х,*— 1), то мы получим функцию у, в виде Фа(х) ~- ( — хт 1) ~ре(х). (8.22) Результаты эти можно сравнить с результатами в соотношениях (8.7) и (8.8), полученными из решения волнового уравнения. В принципе таким способом можно найти все волновые функции. Однако здесь мы встречаемся с трудной алгебраической задачей отыскания общего вида функций ~р„непосредственно из рааложения.
Другой путь, обходящий эту трудность, показан в следующей аадаче. (8.23) ~ (х) = ~~~ ~~„<р (х), я (х) = ~ й„<р, (х). Используя коэффициенты ~„и д„и соотношение (4.59), покажите, что амплитуду перехода можно представить в виде ~ ~ й'(хз)К(хз, Т; х„О)~(х,)дх,дхз= ~'б„*~„е ~п"~ . (8.24) Задача 8.1. Заметим, что амплитуда перехода из любого состояния 7' (х) в другое состояние д (х) равна амплитуде перехода (д)1()), как это определено в соотношении (7.1).
Пусть 7' (х) и д (х) могут быть разложены в ряд по ортогональным функциям х„(х) — решениям волнового уравнения, связанного с ядром К (2, 1), подобно тому как это делалось в з 2 гл. 4. Таким образом, 2. Миоеоатамяаа молекула 221 (8.26) 2 2. Мтгогоатомная молекула В предыдущем параграфе мы получили волповыс функции н энергетические уровни, описывающие простой гармонический осциллятор. Исследование системы взаимодействующих осцилляторов начнем с изучения вопроса о многоатомяых молекулах. Определим сначала координаты, описывающие положение атомов в молекуле.
Положение каждого атома будем аадавать тремя ортогональными координатами: х„у, и г„которые отсчитываются от его положения равновесия. Если масса атома равна т, то яинетическая энергия всей молекулы определяется выражением ~~ — т. (х'+ ра+ г'), а (8.29) Пусть теперь мы выбрали две такие функции ) и д, что для них разложение в правой части соотношения (8.24) является достаточно простым. Тогда после вычисления функций )„можно получить некоторое представление о волновых функциях ~р„иэ вида разложений (8.23). Предположим, что функции 7' и а мы выбрали следующим образом: ~(х)= ( — „) 'ехр ( — — „(х — а)г ), (8.25) а(х) — ( — ) ехр ( — — (х — Ь) ) . Эти функции представляют собой гауссовы распределения с центрами соответственно в точках а и Ь.
Обозначим их как 7„= 7„(а) и а„= („(Ь). Определим амплитуду перехода () ~ 1 ~ я), где у и д заданы соответственно выражениями (8.25) и (8.26), а ядро совпадает с ядром для случая гармонического осциллятора из выражения (8.1). Интеграл в формуле (8.24) преобразуем так, чтобы получить ехр ( — — — — (а + Ь вЂ” 2аЬе-эгт)~ = гвТ то 2 4В = ,'~"„~„(а) Д(Ь)е пгю (8.27) и Исходя иэ этого результата, покажите, что Е = Ью (я+'/г) и г (а)=(2а ) =,ехр( — 4В ) ' (8.28) Подставляя полученный результат в формулу (8.24), напишите для ~р„выражение, которое следует иэ соотношения (8.7), в предположении, что функции Н„(х) нам неизвестны.
Найдите для них отсюда производящую функцию (8.9). Ге. 8. Гармонические осциллтпори где суммирование производится по всем атомам, входящим в молекулы. При общем рассмотрении нам удобнее не польаоваться векторными обоаначениями, а применить другой метод. Предположим, что молекула содержит Дс атомов. Тогда п = ЗЛ' ортогональных координат можно определить следующим образом: рю=7 леала~ ЧЬ= р Шара~ деааУльааа) де =1/ лье хе, Чь =')Гльь уь (8.30) С помощью этих новых координат кинетическая энергия аапишется как кинетическая энергия = ~~~ — д,'. 2 (8.31) р=! Потенциальная энергия г'(д,, дь...) является функцией всех смещений др Разложим функцию У в ряд Тейлора около положения равновесия д~ = 0: Т'(д„дю ..., да) = к" (О, О, ..., О)+ Я~ ддТ'~(0, О, ..., О)+ на 1 а и + 2 ~~ ~~~~ д,дьуеь(0, О, ..., 0)+ ..., (8.32) дан ь=Ь где дьа' дддддь Уд — — —, д$' дтд ' (8.33) Первый член адесь выражает потенциальную энергию в положении равновесия; ата величина не аависит от д.
Можно положить ее равной нулю и отсчитывать все другие значения потенциальной энергии в соответствии с этим соглашением. Таким образом, первый член в рааложении может быть отброшен. Коэффициент У~ (О, О,..., 0) появляется также и в следующем члене, который соответствует градиенту потенциала или силе, свяаанной со смещением о~ и отнесенной к точке равновесия. Этот коаффициент, следовательно, равен нулю, и соответствующий член разложения тоже может быть опущен. Другими словами, поскольку точка равновесия соответствует минимуму потенциальной аиергии, можно отбросить члены первого порядка, связанные со смещениями по отношению к этой точке.
Коэффициенты У;ь (О, О,..., 0), которые появляются в следующем члене, включают в себя систему постоянных, зависящих от структуры молекулы. Обозначим эти постоянные через о~ь. 2. Мноеоатомнал молекула Теперь допустим, что мы пренебрегаем всеми членами более высоких порядков, т. е. будем приближенно считать, что потенциальная энергия содержит лишь квадратичную эависимость от координат. Даже в тех случаях, когда потенциал не является квадратичной функцией координат, наше приближение должно быть достаточно хорошим при малых смещениях; это означает, что в нашем приближении мы представляем рассматриваемую молекулу как систему гармонических осцилляторов.
Комбинируя соотношения (8.31) и (8.32), можно ааписать лагранжиан в виде (8.34) а=1 1=1 Подставим этот лагранжиан в интеграл по траекториям, который определяет ядро, описывающее движение атомов в молекуле: й = ~ ~ ... ~ ( ехр ~ — „~ ~ ~ д', (1) е(1— 1=1 — ~' ож ~ ей~Я ц~(1)111~~)) Яй,(1)Яда(1) ... Яд„(1). (8.35) 1=1 1=1 Все интегралы по траекториям являются эдесь гауссовыми и, следовательно, могут быть вычислены методами, рассмотренными в 2 5 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
