Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(8.73) атой частоте, равна (8.74) д =Ае'<Ю- с=ада-" ~, (8. 71) где р — некоторое постоянное. Зто решение может быть проверено непосредственной подстановкой его в уравнения (8.70). Частота здесь определяется выражением оР = та (е13 — 2+ е-Ф) = 4тз з1 пк — . 2 Мы определили величину ю, выразив ее через р. Однако некоторые значения р здесь выброшены. Периодическое граничное условие требует, чтобы р = 2яа/Х, где сс = О, 1, 2,..., Х вЂ” 1 (случай а = 0 соответствует простому сдвигу цепочки, и мы можем, если пожелаем„не рассматривать его; более того, случай а = Ф + а' совпадает с тем, что происходит при и = а ).
Таким образом, для любого частного значения а можно выразить частоту в виде Гл. 8. Гармонические осцилляторы Постоянные а/и, определенные последним соотношением,— комплексные числа. Вместо них можно было бы ввести действительные величины, комбинируя решения для сс и — а (или для сг и М вЂ” а). Однако нам удобнее оставить их в комплексной форме, Кроме того, нам будет удобно рассматривать как положительные, так и отрицательные значения а; при этом следует учесть, что если /г/ является нечетным, то для рассмотрения области изменения а лучше взять пределы от — '/2 (/у' — 1) до +х/2 (/т' — 1), нежели от О до /т' — 1.
Относительные смещения атомов цепочки зависят от величины а. Например, для двух значений и, одно из которых мало, а Ф/2 //елвлгвнае равновесия ) Ф в г. 8.3. Два случая холсбииий. Сдвиг атомов вдоль цепочки воображается смещениями по ординате от лямин равновесного положения атомов г, равномерно распределенными вдоль оси абсцисс.
Наверху длина волны велинв по сравнению с расстоянием между атомами (а мало); вниеу а = = Н/2 и смещения уже не имеют вида гладкой синусоидвльиой волны. а другое соответствует величинам порядка Х/2, мы получим различные картины движения, как это показано на фиг. 8.3. Относительная величина постоянных ау„определена выражением (8.74), но у нас еще остается свобода в выборе нормировки, т. е. в определении константы А. Найдем ее значение из нормировочного соотношения, аналогичного соотношению (8.48), т. е. выберем А так, чтобы к агаауб = баа~ (8.75) /=г отсюда следует (8.76) й.
Одномерннй ириеиеилн Теперь мы уже можем по аналогии с выражением (8.42) вырааить различные моды через нормальные координаты: я Ф Ча =,е~ а1ад1 = "~~ — ' е11изиадт, 1=1 1=1 (8. 77) где д1= ~ с„а; ехр( — 11еа1). а=1 Эти координаты будут также комплексными, но поскольку при подстановке этих величин лагранжиан должен быть действитель- ным, запишем его И виде (8.78) а 1 Видимо, подобное использование комплексных координат Д нуждается в некоторых объяснениях.
Поскольку физические координаты д; — действительные величины, то соотношение (8.77) подразумевает, что Я = Д „. Поэтому, хотя для определения каждой комплексной переменной ее„ необходимо иметь два действительных числа, т. е. всего 21т чисел, нам из них нужны только Ф независимых чисел. Если бы мы предпочли пользоваться действительными координатами, то можно было ввести их следующим образом: (8.79) (8.80) где а изменяется теперь уже только от О до Я вЂ” 2.
В этом случае такие, например, выражения, как кинетическая энергия, будут иметь вид 2 !(1е1а) +(Ж) 1 = Ра0-а = 0а0а ° (8.81) Множитель 1/1 возникает в выражении (8.78), поскольку мы суммируем по всем значениям а, положительным и отрицательным, учитывая при этом каждый член дважды, так как ()'аД = 1~ Я. Таким образом, квадратичное выражение, полученное ранее для действительных величин, теперь выглядит уже как Гя. а. Гармонические осциляяторм произведение сопряженных комплексных чисел (см., например, (8.75)). Задача 8.8. Покажите, что г,г", и ~',>'„— нормальные координаты, представляющие соответственно стоячие волны )Г2 соз (2пау/Лг) и ~/'2 зш (2яа//Л'), т.
е. что для нечетных Х гГгР-г> гагре-О дт= ~ 9')/2соа ~",~ + ),' Щ')г'2з1п — ""~ . (8.82) а=о и Ф= Аехр ( — —, ~ " ), (8.83) а=о где А — постоянная. Задача З.б. Матричный элемент перехода, в котором используется одна и та же волновая функция для начального и конечного состояний, называется ожидаемой величиной ').
Таким образом, ожидаемая величина функционала Р в состоянии Ф, заданном выражением (8.83), равна (Фо! Р!Фо>= ~ ~ ФоРФос)(>осФ ... Й2н (8 84) Покажите, что имеют место следующие ожидаемые величины: (Фо ~ Да ~ Фо) = (Фо ~ (>а ) Фе) = О (Ф,~(;>.*1Ф,>=(Ф,! Д."*~Ф.>=О, (8.85) (Фо!Ра0а! Фо>= 2, (Фо! 1!Фо) (Фо!Яг>з~Фо)=О при а-г-р. Таким обрааом, с помощью лагранжиана, выраженного через нормальные координаты, нам удалось свести рассмотрение системы к рассмотрению набора независимых простых гармонических осцилляторов.
Квантовомеханическая часть решения здесь полу- '> Сравннте это определенве ожидаемой геличияи с определением ожидаемого гночекия оператора в $3 гл. 5 (см., в частности, формулу (5А6)), Задача 8.4. Выразив начальную волновую функцию через координаты (>'„и Ч, покажите, что волновая функция основного состояния, соответствующего лагранжиану (8.78), может быть представлена в виде Б. Приблиисение непреръыней среды чается совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая многоатомной молекулы.
При этом нам необходимо знать только квантовомеханическое решение для свободного гармони- ческого осциллятора. Задача З.б. Покажите, что константы арл будут теми же и тогда, когда связь атомов осуществляется не непосредственно с ближайшими соседями, а имеет некоторое протяжение и данный атом посредством постоянной взаимодействия Хп оказывается связанным с удаленным от него й-м атомом. Предполагая, что величина Ль быстро убывает с ростом /с, определите частоту сй при наличии подобной связи, т. е.
когда потенциальная энергия определяется уже не выражением (8.66), а другим, подобным ему, но учитывающим относительные смещения всех воаможных пар (каждое из которых умножается на соответствующее Х„), т. е. У = = (те/2) Я~к~ Хп (да+~ — д;)е. А е ~ 3. Приближение ненреръевной среды 2п 2псе /с= — = —. й ри (8.86) Параметры мод, которые мы определяли до сих пор, соответствуют случаю, когда каждый атом совершает колебания с некоторым фазовым сдвигом по отношению к другому атому рассматриваемой цепочки, т. е.
когда по цепочке атомов бежит волна колебаний. Если фазовый сдвиг между соседними атомами мал, то длина волны велика. Поведение атомов в таких длинноволновых модах представляет особый интерес. Если длина волны существенно превосходит расстояния между атомами, то этими расстояниями можно пренебречь. В таком случае движение очень хорошо описывается с помощью модели «непрерывной среды». Цепочка атомов здесь может быть представлена как непрерывный стержень с усредненными определенным образом свойствами, такими, как масса, приходящаяся на единицу длины р = 1/с/ (вспомним, что массу каждого атома мы положили равной единице).
Разумеется, с физической точки арения реальный стержень на самом деле является дискретным набором атомов. Однако в этом параграфе мы будем рассматривать приближение непрерывной среды, заменив цепочку атомов сплошной струной. Для некоторой моды с индексом а фазовый сдвиг между смежными атомами равен 2яя/Л', так что волна охватывает Л'/сс атомов; если с( — расстояние между соседними атомами при равновесии, то длина волны равна Х = Л'с(/а. Волновое число Гл. 8. Гармонические осцилллтори Волновой подход позволяет математически более четко представить себе движение, но для этого нужно немного изменить обозначения. Каждой моде мы припишем свое значение /с ваамен употреблявшегося ранее индекса а.
Тогда суммирование по модам (по индексам а) перейдет в сумму по дискретным величинам й, которые будут целыми числами, умноженными на 2я/Ь (где Ь = Рс/ — полная длина струны). Предположим, что х/ = /аг определяет равновесное положение /-го атома. Тогда уравнения, описывающие движение атома, принимают вид а/ь = = Е'"к, )/У Ф ~к== ~~ д е у'У л к -Рк. ч/== ~~~ (/ке / (8.87) (8.88) (8.89) и Ы юь=2тз1п —. 2 (8.90) (8.91) Эта замена основывается на приближенном соотношении ( )» — ~ ( )о/х, /=о о (8.92) Предположим теперь, что расстояние между атомами очень мало по сравнению с длиной, на которой происходит изменение возмущения. Вьппе мы уже видели, что условием такой ситуации является /ое/ « 1. Если обозначить произведение тЫ = о, то для малых Ы имеем в ж /со.
В атом случае можно представлять себе координаты д; как функции, описывающие положение атомов в цепочке, т. е. определять смещение /-го атома, как зто показано на фиг. 8.3. В случае длинных волн смещения д (л/) и д (х/ + 1) приблизительно равны, и мы можем рассматривать функцию д (х) как гладкую непрерывную функцию положения атома в цепочке.
Нормальная координата ()ь является фурье-образом функции д (л), т. е. уравнение (8.88) можно заменить на Прибпи веение непрерывной среды которое выполняется тем точнее, чем меньше расстояние между отдельными точками. Подобное же соотношение, а именно Ю гп/е 2 (8.93) а=в а приводит нас к обратному преобразованию гпсе д (х) = 1 д ()с) ~-е~" с)ес. Чтобы представить величины в их непосредственном физическом смысле, положим реальное аначение смещения у-го атома рав- НЫМ ив, т. Е. дС=)/тиь ГдЕ т — МаССа атОМа, раВНая рос.
ПуетЬ У вЂ” фурье-образ величины и, т. е. (8.94) у(й) = ~ и(х) его*в(х; о тогда обратное преобразование даст и(х) = — ~ У(й) е-'""Нс. 1 2н Ю (8.95) (8.96) Нормальной координатой теперь будет е/(й); через прежшою нормальную координату в/(сс) она выражается так: П(й) = — "-' Е(й) 1/ г. )/Ж Выражение для кинетической энергии, иуда входит величина сс(х, с), можно получить с помощью соотношения (8.92): кинетическаЯ энеРгиЯ= а1 Р~ — ) в(х. 22 1дс) (8.98) Это означает, что потенциальная энергия равна = — — ~ ( — ) с1х= — ~ ( — ) свх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
