Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Прн такой терминологии уравнения движения называются уравнениями поля. В данной главе мы будем иметь дело только с линейными уравнениями. поля; лагранжиан назовем лагранжианом поля; нормальные координаты П (й, в) будут координатами нормальных мод поля. Описание этих мод в виде квантовых осцилляторов обычно называется квантованием поля.
Поэтому и сама теория именуется квантовой теорией поля, с тем чтобы отличать ее от классического способа рассмотрения уравнений поля. Как мы уже видели, основная часть усилий в квантовой теории поля затрачивается на решение классических уравнений движения для отыскания нормальных мод, описание которых не выходит за рамки классической физики. Последующее «квантование» в сущности заключается лишь в дополнительном утверждении, что каждая из нормальных мод — квантовый осциллятор с уровнями энергии йва (и + '/,). Изложенная таким образом квантовая теория поля оказывается лишь частным следствием уравнения Шредингера, а не какой-то сверхтеорией, объясняющей все.
Так будет и так должно быть в любом случае, когда переменные самого поля (подобно звуковым волнам или давлению) в итоге Г.с. 8. Гармонические осц яторы выражаются только лишь через некоторые комбинации основных механических переменных. Эти основные переменные описывают положения частиц (атомов, злектронов, ядер и т. д.), реально образующих среду, в которой возбуждается поле. Например, рассматривая звуковые процессы,мы предполагаем, что уравнение Шредингера описывает движение злементов структуры вещества, т.
е. атомов в кристалле. Отсюда ясно, что длинноволновые звуковые колебания подчиняются классическим линейным уравнениям поля, в то время как моды оказываются квантованными. В немногих случаях классические уравнения полей относятся к таким (давно известным) системам, для которых квантовомеханическое исследование на основе уравнения Шредингера до сих пор еще не проделано. Например, применив классическую аналогию, можно получить уравнения для колебательного описания ядерной материи (5). Превосходная идея о том, что моды поля можно в этом случае рассматривать как квантовые осцилляторы, позволила составить и решить квантовые уравнения. Таких примеров в физике осталось немного. В квантовой механике имеется и другой тип уравнений, принципиально отличный от всех рассмотренных выше. Примером может служить система линейных уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
Эта система приводит к волновому уравнению, вполне аналогичному тому, что мы уже вывели для звука, однако в этом случае имеют место совершенно другие поляризационные свойства. Подобно тому, как в трубе органа образуются стоячие волны, электромагнитное поле в замкнутом объеме также имеет, если его рассматривать классически, набор фундаментальных мод. Отсюда естественно предположить, что эти' колебания квантованы и каждая мода определяется знергетическим уровнем, превышающим основное состояние системы на КЕ = йюп, и т.
д. Это — основное предположение квантовой электродинамики. Нельзя сказать, что такой вывод строго следует из уравнения Шредингера, потому что электромагнитное поле не понимается здесь в смысле длинноволнового приближения к среде, имеющей атомную структуру. Сегодня мы уже не думаем о какой-то специальной среде для подобного рассмотрения злектромагнитного поля, а считаем, что уравнения Максвелла описывают некий фундаментальный закон природы. Мы просто предполагаем, что они квантуются и именно тем простым способом, который описан выше. В гл. 9 обсудим этот вопрос более подробно. Гипотеза о квантуемости электромагнитных полей согласуется со всеми экспериментами, проделанными до сих пор, хотя здесь имеются и некоторые теоретические трудности.
Они связаны с необходимостью распространения этой схемы на моды, соответствующие очень малым длинам волн. При этом возникают раз- 8. Нвонеповоя теория полл личные эффекты, которые приводят к расходимости интегралов, если интегрирование по длинам волн распространяется вплоть до нуля.
Подобные же трудности появляются и в рассмотрении вибраций кристалла при попытке исследовать область очень коротких волн, где длины их оказываются сравнимы с межатомными расстояниями, т. е. когда приближение непрерывности уже непригодно. Тогда мы просто отказываемся от такого приближения и этим ограничиваем число нормальных мод в кристалле конечного объема; в то же время в электродинамике количество мод в любом объеме бесконечно, Для обозначения мод различных полей обычно используются разные названия. Кванты звука или колебаний в кристалле обычно называются фононами, кванты в теории электромагнитного поля — фотонами, в теории мезонных полей — мезонами и т.
д. Даже электроны можно представлять себе в виде возбуждений поля, ио это поле будет совсем непохоже на те, которые мы до сих пор рассматривали. Его обычно называют ферми-полем; частицы при этом подчиняются принципу исключения и лагранжиан квантуется не путем перехода к набору гармонических осцилляторов, как это делалось выше, а несколько иным способом. Частицы, возникающие при квантовании полей как моды гармонических осцилляторов, обычно называются бозе-частицами; они подчиняются симметричной статистике (статистике Бозе).
Это означает, что если две частицы имеют соответственно волновые числа Йв и Йз, то для них существует только одно состояние и нет такого состояния, где первой соответствовало бы значение Йю а второй — значение Й,. Это ясно из того, что наше поле имеет только одно состояние, в котором моды имеют волновые числа Йв и Йз и возбуждены до их первых уровней. Такое состояние определяется энергией Аео, + аео„и здесь бессмысленно задавать вопрос: если поменять эти частицы местами, то какой из них соответствует возбуждение? В гл. 9 обсудим этот вопрос более детально на примере фотонов электромагнитного поля. Задача 8.7.
Считают, что нейтральные частицы с нулевым спинам (подобные яо-мезонам) в свободном состоянии можно представить полем ф с лагранжианом Х,= ~ — ~( — ) — с ~ %'ер ! + — ер~ е( го(е, (8 133) где р — некоторая константа. Покажите, что это поле имеет квантовые состояния, соответствующие волнам ехр(Ж г) с энергией возбуждения йю = ф' йзйосз+ р "с". (8Л 34) 252 Гв. Е. Гарэаонические осцилляторы Если й)с=р рассматривать как импульс кванта, энергия запишется в виде к = АСТР (8.135) Это релятивистская формула для энергии частицы с импульсом р и массой р (отметим, что для малого р' можно приближенно положить Е = рса + р'!2р +..., т. е.
Е равно энергии покоя рс' плюс кинетическая энергия рт/2р). Состояние поля, когда мода с волновым числом )г, возбуждена до второго квантового уровня, мода к, — до первого и т. д., мы будем интерпретировать как состояние системы, имеющей две частицы с импульсом Аки одну с импульсом Ьк, и т. д. За основное принимается состояние, в котором нет ни одной частицы; оно называется состоянием вакуума. Переход осцилляторов поля на возбужденные уровни и обратно соответствует рождению и аннигиляции частиц; именно таким образом эти процессы и рассматриваются в релятивистской квантовой теории.
у 9. Гармонический осцнллятор, на иотпормй дейстявуета внешняя сима В этой главе мы изучали простой гармонический осциллятор и системы, которые могли быть сведены к совокупности таких осцилляторов. Однако осцилляторы, которые до сих пор рассматривались, были свободными, т. е. они ни с чем не взаимодействовали и на них не действовала никакая сила. Теперь нужно обобщить наше рассмотрение, включив в него такие линейные системы, которые вааимодействуют с другими объектами или движутся под действием внешних сил.
Примерами такого рода могут быть многоатомные молекулы в переменных внешних полях: сталкивающиеся многоатомные молекулы; кристаллы, через которые проходят электроны и возбуждают моды колебаний осцилляторов; наконец, любые другие вааимодействия мод с внешними полями. Мы не будем здесь обсуждать проблему взаимодействия в общем случае; вместо этого рассмотрим как образец один из примеров взаимодействия атомных систем и аарядов с алектромагнитным полем. Обобщение этого примера выполним в следующей главе. Другие случаи могут быть проанализированы аналогичным образом. Все эти проблемы включают в себя два аспекта: 1) разложение поля на совокупность независимых осцилляторов; 2) взаимодействие каждого из таких осцилляторов с внешним потенциалом или с другими системами. разложение поля на совокупность независимых осцилляторов уя1е было подробно рассмотрено нами в этой главе. 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
