Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Осцилллтср псд действием внешней сильв 253 М 'ь Мььь Т = — зх' — —," — у(г)л. (8.136) где у (1) — внешняя сила. Для удобства примем, что эта сила действует только в интервале времени от 1 = О до 1 = Т, так что осциллятор является свободным как в начальном состоянии при г = О, так и в конце при г = Т. Подобная задача была уже нами полностью решена, когда в аадаче 3.11 мы вычисляли амплитуду К (Ь, а) вероятности перехода осциллятора из точки х, в момент времени 1 = О в точку хь в момент 1 = Т. Но для нас сейчас была бы необходима амплитуда перехода 6 „для осциллятора, который первоначально находился в состоянии п, а затем в момент Т оказался в состоянии и. Такой подход часто оказывается более удобным, чем координатное рассмотрение.
В 5 1 мы определили волновые функции у„для свободного гармонического осциллятора, а в задаче 3 11 вычислили ядро, описывающее вынужденное движение гармонического осциллятора. Исходя из этого, можно определить амплитуду 6 „прямыми подстановками в выражение в та =ек~ ~ т ~ ~ ьРт(хь) ~(хьь Т хаь О) сьаа(ха) с(лис(ль. (8 13У) Для случая и = и = О этот интеграл будет гауссовым, несколько утомительным в оценке, но не представляющим никаких особых трудностей.
В результате получим Ссс — — ехр( — — ~ ~ у(~)у(е)е-ьи«-в>сьзйг~ . (8138) Ь Ь Если ль и и не равны нулю, то интеграл оказывается несколько более сложным. Однако можно использовать тот же способ, который мы уже применяли в задаче 8.1. Попытаемся найти амплитуду вероятности перехода вынужденного гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила, из состояния 1 в состояние д, Чтобы быть готовым к рассмотрению проблемы в целом, остается только исследовать поведение отдельного осциллятора под действием внешнего потенциала. Полное рассмотрение проблемы будет дано в следующей главе. Для начала вернемся несколько назад к изучению отдельного гармонического осциллятора, но будем учитывать его линейное взаимодействие с некоторым внешним потенциалом (возмущений).
Лагранжиан для такой системы запишем в виде Гл. 8. Гармонические ссцилллторьь если эти состояния соответствуют условиям эадачи 8Л. Искомая амплитуда будет равна К(Ь, а) = ~~~,», Сти)т(Ь) Уи(а) е 1В'"те" = иь О ь»=О = .Е Х а- ~ Р [ — 4 (а'+ Ь') ~ ~ Х =о =о аиькь С Мо» уст+кпт (8Л39) Р(Ь, а) = ~ ~ ехР [ — 2В (хо — Ь)о [ Х » Ю Х К (х,Т; х„О) ехр [ — — (х, — а) [ ььхь ььхо, Мьо о (8.140) где К (х„Т; х„О) — ядро, описывающее гармонический осциллятор под действием внешней силы [см. (3.66)). Переменные интегрирования здесь появляются только как квадратичные величины в экспоненте подынтегрального выражения, так что все интегрирование легко может быть выполнено. После некоторых простых, но довольно утомительных алгебраических преобразований получаем г (Ь, а) = ~ехр ~ — 4„(а'+Ьо — 2аЬе-ьит)+ ь 1'~/ (аиа [ Ь[ьче-олт) т ь 1 2Мо»В,,] у (1) у (О) Е-Гиа-»1 СЬК»11 [ [.
Е-Олт/2 (8.141) о о где Е[ у(1) е-ьиььй, ~ у(1) е+ь"' Й1. 1 М [»' 2и» (8Л42) (8.143) Величины боо могут быть легко получены из выражения (8.141) подстановкой а= Ь= О. Реэультат совпадает с выражением (8.138). где М вЂ” масса частицы [см. выражение (8.28)[. Если мы сможем вычислить этот функционал, то получим Сти» умножая К(Ь, а) на ехр [(Ма/4й) (а'+ Ь')) и раэлагая полученное выражоние в ряды по степеням а и Ь.
Поэтому нам удобнее сперва вычислить в 9. Осци ллтср под действием внешней силы 255 Умножая далее на экспоненту, как описано выше, и обозначая у = ~/ —,„" б.-е.т, найдем, что ~ '~~~ 6 „* " =(ехр(ху+фх+феу)16оо (8 144) =о =о Раскладывая правую часть в ряд по х и по у и сравнивая члены, получаем окончательный результат: ооо ~е -р'т~п~ м.в (т — г)1г! (и — г)! г! о (Ф)" "('Р') (8.145) где ~, равное и или п, принимает сколь угодно большие целые значения.
Таким образом,мы полностью решили задачу о гармоническом осцилляторе, на который действует внешняя сила. В гл. 9 мы еще раз вернемся к этой проблеме и используем полученные здесь результаты. Глава 9 КВАНТОВАЯ ЭЛБКРРОДИНАИИЙА В этой главе исследуется вааимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем.
Мы уже рассмотрели один пример такого взаимодействия в з 6 гл. 7, где переменные электромагнитного поля входили в потенциальную часть лагранжиана; переменные поля представлялись там векторным потенциалом А. При этом мы имели дело лишь с движением частиц в некотором заданном поле; очевидно, что при таком подходе нельзя ничего сказать о том, как возникает само поле А, или о'том, как движущиеся частицы влияют на него. Другими словами, постановка задачи не включала в себя никакого исследования динамики поля. Подобный подход, основанный на использовании заданных потенциалов, конечно, является приближением.
Он оправдан, когда размеры установок, с помощью которых создаются потенциалы, настолько велики, что движение частиц никак не влияет на величину потенциалов. Теперь мы будем интересоваться не только влиянием потенциалов на движение частиц, но и влиянием самих частиц на потенциалы. Начнем с классического подхода и применим для описания электромагнитного поля уравнения Максвелла; они выражают параметры поля через плотности аарядов и токов окружающего вещества. В предыдущих главах мы уже видели, что квантовомеханпческое описание некоторых классических систем легко дать в тех случаях, когда классические законы можно выразить на языке принципа наименьшего действия. Так, если экстремальное значение действия о, варьируемого по некоторой переменной в, приводит к классическим уравнениям движения, то соответствующие квантовомеханические законы выражаются следующим образом: амплитуда вероятности некоторого заданного события, соответствующая действию о, равна интегралу по траекториям от функции е'ву", взятому по всем возможным путям изменения переменной д, при которых выполнены условия осуществления данного события.
Для такого подхода крайне существенно, что основные законы классической электродинамики, выражаемые уравнениями Максвелла, тоже могут быть сформулированы с помощью принципа наименьшего действия. Пусть существует действие 8, 1. Классинсскал элекоеродинамика которое можно представить через векторный и скалярный потенциалы А и 1р; определение экстремального значения этого действия при варьировании его по переменным поля ер (г, 2) и А (г, э) приводит к формулировке алектромагнетизма, эквивалентной уравнениям Максвелла.
Тогда, рассуждая по аналогии, мы будем искать законы квантовой электродинамики, исходя из правила: амплитуда вероятности какого-либо события равна 2 К(2; 1) = ~ е~е~мзЕ' е~УА(г, 1) Уер(г, С), (9.1) 1 где интеграл по траекториям берется по всем значениям потен- циалов А и у в каждой точке пространства — времени и вдоль всех путей, удовлетворяющих определенным граничным условиям в начальнои и конечной мировых точках события. д" л. Классзечеекаа электродпиамика Уравнения Максвелла. Начнем изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических уравнений Максвелла. Пусть магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для свободного пространства.
Тогда уравнения Максвелла имеют вид ~ Е=4яр, (9.2) " =-' ( †" + . ) (9.3) че В=О, 1 дВ с ХЕ=. сд1' %' 1= —— др д1 (9.6) Из уравнения (9.4) следует, что пока В можно записать как ротор некоторого вектора А: В=и хА. (9.7) Это соотношение еще не полностью определяет вектор А, однако зту неоднозначность можно устранить, полагая 'эе А=О. (9.8) где Š— напряженность электрического поля,  — напряженность магнитного поля, с — скорость света, 1 — плотность тока и р — плот- ность заряда. Эти уравнения справедливы только в случае сохра- пения заряда, т. е.
когда Гл. д. Квантовая влектродиналеика Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырехмернуго симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины Ч ° А; скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приблиакение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака.
Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8). Подставив Е + (1~с) (дА/дд) в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала 1 дА Е= — Чеер — — —. о дВ (9,9) Уравнения (9.2) — (9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов.
Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что (9.10) [так как %' х (ЧГ х А) = й (в А) — ЧеоА). Таким образом, каяадая компонента вектора А удовлетверяет волновому уравнению. Если разложить вектор А в ряд по бегущим плоским волнам А (И, д) =. а„(г) а'"'в, (9.12) то уравнение для амплитуды аа запишется как аи = — с'йоак; отсюда следует, что каждая компонента ак — амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой еа = нс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
