Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Гл. (В. Кеантоеая олектродиналеика Задача 9.5. Пусть импульс электромагнитного поля задается в виде (1!4яс) ~ Е х В ее (объем). Покажите, что в вакууме (при атом «»к =- 0) последнее выражение равно ~ )г (а«о. ак)е1»)«7(2я)». Позднее, при рассмотрении взаимодействия вещества с полем излучения, обнаружится, что вещество излучает или поглощает энергию отдельными фотонами с энергией яю. Это, очевидно, согласуется с первоначальной гипотеаой Планка. Тот факт, что и-е состояние осциллятора можно рассматривать как совокупность л «частиц» или «фотонов», кажется очень поразительным и неожиданным; однако значения энергии в обоих описаниях совпадают.
Вместе с тем существует одно обстоятельство, на которое стоит обратить впимание до того, как мы начнем описывать поведение совокупности частиц состояниями осциллятора. Допустим, что из всех чисел пт отличны от нуля лишь два (например, ьа = 1, и» = — 1). Эту ситуацию мы вправе интерпретировать двумя фотонами, один из которых находится в состоянии а, а другой — в состоянии Ь. Однако при таком подходе существуют два допустимых описания, отвечающих одной и той же энергии; в самом деле, ничто не мешает нам считать, что первый фотон находится в состоянии Ь, а второй — в состоянии а. Чтобы найти выход из этого положения, рассмотрим копкретный пример.
Пусть мы имеем две а-частицы, координаты которых обозначим соответственно через х и у; состояние частицы х будем описывать функцией 7 (х), а частицы у — функцией д (у). Тогда волновая функция системы выражалась бы функцией двух переменных: х и у: '«Э(х, у) =7'(х) д(у). (9.36) Обратной ситуации, когда частица у находится в состоянии ~, а частица х — в состоянии д, соответствует другая волновая функция: (х, у) =д(х) г(у), (9.37) которая, вообще говоря, отличается от первой. Но если наши частицы полностью тождественны, как это имеет место в случае а-частиц, то эти два состоянии неразличимы.
Ыы уже говорили в гл. 1, что в квантовой механике должно быть правило (не зависящее от уравнения 1Предингера), согласно которому амплитуды для двух случаев, различающихся лишь перестановкой а-частиц, всегда следует суммировать. При этом система описывается единственной волновой функцией ф (х, у) = 7 (х) у (у) + у (х) 7 (у) (9.38) (нормированной соответствующим образом: если 7 и у ортонормальны, то нормировочная константа равна 1/(/2; если же они 26$ о. Осиоеэое соссооовие равны и нормированы, то зта константа равна г/з).
Вообще ф (х, у) = ф (у, х) для а-частиц и всех других частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Система двух таких частиц всегда описывается единственным образом, и прн этом не различается, какая именно нз них находится в состоянии /, а какая в состоянии д. Нетрудно видеть, что все наши выводы согласуются между собой, если мы будем рассматривать набор возбулсденных состояний осциллятора как набор фотонов, а сами фотоны считать боэечастицами. Тогда единичное состояпие яо = 1, иь = 1 соответствует ситуации, когда имеются два фотона — один в состоянии а, а другой в состоянии Ь. Их перестановка но приводит к новому состоянию. Для электронов с параллельными спинами или для других тождественных ферми-частиц амплитуды, наоборот, вычитаются: ф(х, у) = /(х) у(у) — д(х) /(у) (9.39) Волновая функция системы двух ферми-частиц всегда антисимметрична: ф (х, у) = — ф (у, х). Поэтому такая система не безразлична по отношению к перестановке частиц.
В самом деле, если в формуле (9.39) положить / = у, то получим ф (х, у) = О. К фотонам и а-частицам зто не относится; подобный случай у фотонов соответствует состояниям осциллятора с и = 2. Моясно указать один частный случай, когда с помощью некоторой идеализации электромагнитное поле в присутствии вещества удается описать ненамного сложнее, чем поле в вакууме. Это случай полого резонатора (или волновода), стенки которого можно считать идеально проводящими. Как хорошо известно из классической теории, нри этом возникает набор мод с более или менее сложным распределением электромагнитных полей. Классическая функция действия и в этом случае сводится к функции действия для совокупности свободных осцилляторов, но переменные здесь представляют собой амплитуды различных мод, а не амплитуды плоских бегущих волн.
Далее зти осцилляторы квантуются, и можно говорить о числе фотонов, соответствующем каждой моде. у 3. Основное состояние Энергия вакуума. Состояние электромагнитного поля с наинизшей взамен<ной энергией, которое мы будем называть основным или вакуумным,— это состояние, в котором у всех осцилляторов все и равны нулю и нет фотонов никаких мод. Это значит, что энергия каждого осциллятора равна Лсо/2, где ю — его собственная частота. Коли теперь просуммировать зту энергию основного состояния по бесконечпому числу всех возможных мод с воз- Гл.
9. Квантовая влеатродиналвияа растающей частотой (а число мод не ограничено даже для резонатора конечных размеров), то подобная сумма будет расходиться. Мы натолкнулись на первую из трудностей, которые появляются в квантовой электродинамике. В пашем случае (для вакуумного состояния) зта трудность легко устранима. Предположим, что при измерении энергии мы выбираем различные начала отсчета. Так как постоянная добавка ко всем энергиям не приводит ни к каким физическим эффектам, то произвольный выбор нулевого значения энергии не будет влиять па результаты любого проводимого нами эксперимента.
Поэтому мы положим энергию вакуумпого состояния равной нулго. Тогда полная энергия произвольного состояния электромагнитного ноля определится формулой Е=, 'и дю;, (9.40) где суммирование проводится по всем модам поля. К сожалению, в реальном случае нельзя отсчитывать энергию от совершенно произвольпого значения. Энергия эквивалентна массе, а с массой связана гравитация. Даже на свет действуют гравитационные силы (например, луч света отклоняется притяжением Солнца). Следовательно, если закон равенства действия противодействию справедлив хотя бы качественно, то и Солнце должно притягиваться фотонами, а это значит, что с каждым фотоном, энергия которого равна аеэ, связано некоторое гравитационное поле.
Тогда возникает вопрос: не приводит ли к такому же эффекту и член, соответствующий энергии основного состояния? Физически этот вопрос формулируется так: не образует ли вакуум гравитационного поля, подобного полю массы, распределенной с постоянной плотностью? Так как большая часть пространства — вакуум, то аффект, обусловленный вакуумной энергией электромагнитного поля, был бы значителен. Мы можем оценить его величину.
Предварительно заметим, что в квантовой электродинамике встречается еще одна расходимость, отличная от рассматриваемой и устраняемая при помощи специального предполоягения, называемого правилом обрезшеия. Согласно этому правилу, моды с очень большими частотами (т. е. с очень малыми длинами волн) должны исключаться из рассмотрения. Мы действительно не знаем, выполняются ли законы электродинамики для длин волн, существенно меньших, чем пабшодаемые в настоящее время. К тому же сейчас есть достаточно оснований полагать, что этк законы нельзя распространить на всю коротковолновую область.
Математические выралеепия, которые довольно хорошо применимы при больших длинах волн, приводят к расходимостям о. Основное состояние в коротковолновой области. Предельные длины доступных нам сейчас волн имеют порядок комнтоновской длины волны протона: й/Мс 2 ° 10 'в см. Возвращаясь к нашей оценке, допустим, что мы суммируем по всем волновым числам, меньшим некоторого предельного значения )с „„= Лтс~б; Заменяя приближенно сумму по состояниям на интеграл, получаем плотность энергии вакуумного состояния энико о (заметим, что множитель 2 появился вследствие того, что каждому значению и отвечают две моды соответственно двум возможным поляризациям). Масса, эквивалентная этой энергии, получается делением на се, что дает о 2.10тс г~сме ед.
объема (9.42) Волновая функция вакуумного состояния. Волновая функция совокупности осцилляторов представляется в виде произведения всех волновых функций всех мод. Волновая функция основного состояния осциллятора, соответствующего фотону с поляризацией 1 и волновым числои й, пропорциональна экспоненте ехр ( — (сИ2б) /а~шави]. Поэтому с точностью до нормировочной постоянной волновая функция основного, или вакуумного, состоя- Можно было бы ожидать (по крайней мере так каясется на первый взгляд), что при такой плотности гравитационные эффекты велики, чего в действительности не наблюдается.
Возможно, что наш расчет слишком упрощенный, и если бы мы использовали все выводы общей теории относительности (такие, например, как гравитационные эффекты, обусловленные большими давлениями, которые здесь подразумеваются), гравитационные эффекты могли бы исчезнуть, однако все это никем еще не проделано. Возможно, найдется такое правило обрезания, которое не только даст конечную плотность энергии вакуумного состояния, но и позволит сделать это релятивистски-инвариантным образом. Сейчас совершенно не ясно, к чему все это приведет.
Поэтому будем пока просто считать плотность энергии вакуумного состояния равной нулю. До сих пор не было ни одного эксперимента, который противоречил бы такому допущению. При дальнейшем изучении квантовой электродинамики нам встретятся интегралы с расходимостями других типов, причем устранение будет значительно сложнее. Гл. о. Гсваитовол олокжродииомико ния всей системы равна Фо=-ехр ( — ~ 2а (а1ааж+азаазк)~ (9.43) Задача З.б. Покажите, используя синусоидальные и косинусоидальные моды с действительными переменными, что последнее выражение, в которое входят комплексные переменные, действительно является справедливым (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
