Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Учитывая неполноту наших сегодняшних представлений о квантовых законах взаимодействия, предпололсим, что расходящиеся интегралы можно регуляризировать простым введением в подынтегральное выражение релятивистски-инвариантного мно- жителя Пвлучеаие света вить невозможно, поскольку обрезающая функция произвольна, а сам прием с ее введением уже нельзя считать удовлетворитель- Таково состояние квантовой злектродинамики на сегодняшний день. Задача 0.11. Покажите, что метод обрезающей функции действительно не является вполне удовлетворительным теоретически. Для етого покажите, что величина у, вычислявшаяся в 5 4 гл.
9, изменяется после введения обрезания, тогда как вероятность излучения реального фотона не должна изменяться (для него е> = йс и функция обрезания точно равна единице). Таким образом, нарушился бы баланс вероятностей и сумма их по всем возможным событиям (фотон получился или не излучился) стала бы отличной от единицы. Трудность, возникающая в связи с етой проблемой, до сих пор остается неразрешенной. Нам пока не известно никакой модификации квантовой электродинамики в области высоких частот, которая одновременно сделала бы все результаты конечными, не нарушала бы релятивистской инвариантности и сохраняла значение суммы вероятностей всех альтернатив равным единице. Задача 9.13. Используя соотношение е (з, к е) саз)е е>с>/(2з)з (2з)в (а>з — )езсз+!з) (сзсз — Яз — >з) (2>е)з 1 = — бе ((зсз — Лз).
4л (9.90) 1+За= ~ [с Р(В>~ ез) Р(Вю ез) 3 (В>~ ее)'1(Вь ез)) Х Х б~ [(2> — (з)'с — [В, — Вз [~[ РВ, е['Вз е[тз йз. (9.91) у е. Излученне света В 5 4 гл. 9 мы нашли выражение для амплитуды вероятности того, что поведение материальной системы зависит от ее взаимодействия с электромагнитным полем; зто выражается формулой (9.60) и последующими выкладками. Однако наш вывод относился лишь к специальному случаю, когда начальное и конечное состоя- перейдите в функции действия 1 + 3, к пространственным координатам. [Замечание: функцию — яз/(х — зе) часто записывают как б+ (л); мы тоже пользуемся этим обозначением.1 В результате должно получиться Га.
Э. Квантовак аавктродинавеика ния поля являются вакуумными и не содержат фотонов. Мы видели, что при этом действие Я „, в интегралах по траекториям следует заменять на эффективное действие Ячаоа = Ючоое+ в'. В общем случае фотоны поля присутствуют как в начале, так и в конце процесса. Для примера рассмотрим случай, когда в начальном состоянии нет ни одного фотона, а в конечном участвует один фотон с импульсом ьЬ и поляризацией 1. Единственное изменение, которое при этом вносится в наши предыдущие расчеты, касается интеграла для действия Я, т.
е. выражения (9.61). Теперь мы должны пользоваться соотношением Х'= — ~ ехр ~ в (Ячаоа+Якове)~ УашЯазю (9.92) Х(а = ~ (ехр -~ в ~ ( )у 4я(уеьа~ь+ у1ьавь)+ .+а1ьа1ь — уваеаа1ьа1ь — — ~ оуу) ) гаавь. 2 .1 (9.93) Это выражение такого же типа, как и выражение (9.63), за исключением того, что переход осциллятора совершается между состояниями и = О и и = 1, тогда как ранее конечное состояние считалось также вакуумным. В 2 9 гл.
8 мы рассмотрели поведение гармонического осциллятора под действием внешней силы; теперь воспользуемся этим результатом и запишем l Г2лв Р Х~ь = ( 1/ —, ) йь е'ьм о(У) Х1ь, (9.94) где Хе ь — вычислявшееся вьппе выражение для перехода из вакуумного в вакуумное состояние. Мы видим, что появление одного фотона в конечном состоянии выражается в появлении множителя 2яв 1" — ~ у1ь евьо,й.
Х,о Поэтому для амплитуды вероятности мы можем записать Амплитуда = ~г — ~ ехр ~ — (8 оа+в)) ~ у1ьехр(УЬеУ)е(УЯу. (9.95) где интегрирование по траекториям выполняется между начальным состоянием вакуума и конечным, содержащим то же состояние вакуума плюс один фотон. В этом случае каждый осциллятор, кроме осциллятора 1Ь, переходит из начального состояния и = О в такое же конечное состояние; поэтому интеграл Хьч для всех этих осцилляторов не изменяется. Изменится лишь вклад от осциллятора 1Ь, который теперь становится равным 3. Ь'раагаие емеодм Аналогичное выражение, которое мы ранее получили с помощью теории возмущений, эквивалентно матричному элементу перехода ~/ — ~ ехр( л Я ет) ~ 7гьехр(гЬсг)~ИУд.
(9.96) Очевидно, что полученный результат точно совпадает с результатом теории возмущений, если при вычислении амплитуды перехода вместо действия Я'„, применить полное эффективное действие 'Счает = стает + 7 Вылив было показано, что введение действия 1 приводит к неболыпому изменению энергетических уровней; формально значения энергий становятся в этом случае комплексными.
Последнее означает, что излучению соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины, называемой естественной шириной ликии. Не будем углубляться далее в детали всех этих вычислений и оставим их обсуждение, как и обобщение на болыпее число поглощаемых и излучаемых фотонов, тем, кто захочет более детально изучить эти специальные вопросы квантовой электродинамики.
Я 8. Крвтпкие выводы Обозрение подхода в целом. В этой главе мы довольно много занимались исследованием квантованного электромагнитного поля. Стоит потратить некоторое время и вернуться назад, чтобы подчеркнуть основные идеи и полученные результаты. Выделение кулоновского взаимодействия и применение бегугцих волн для наших целей являются лишь техническими приемами; наиболее значительный результат содержится в выражении (9.89) или в эквивалентном ему (9.91).
Рассмотрим этот результат с более общей точки зрения, приняв за основу выражение (9.91). Допустим, что наша система может быть описана с помощью действия 8 =8, (Ч)+8г (Ч, А, ф)+8г(А, ф), (9.97) где член Яг (9) относитсЯ к веществУ, член Я, — к взаимодействию вещества и поля, а член Яг — лишь к полю. Символом «1 обозначены здесь координаты материальных тел, а поле описывается координатами А и ф. Тогда амплитуда вероятности какого-либо события получается в результате вычисления интеграла типа К= ~ ехр ~ л (Яг(е1)+Юг(9 А ф)+Яг(А ф))~ У4ЯАЯф (9 98) причем вопрос о граничных условиях задачи остается открытым. Гя.
У. Квантовая вяектродино ника Будем далее предполагать, что в начальном и конечном состояниях поля фотоны отсутствуют (т. е. поле переходит из вакуумного состояния снова в вакуумное). Такой выбор граничных условий мы сокращенно обозначим как вак-вак. Затем мы всегда будем интегрировать сначала по переменной г(, а лишь после этого по А и ф.
То, что мы делали до сих пор„соответствовало обратному порядку интегрирования: сначала по А и у, а в качестве заключительного шага по г1. Обычно действие Ь'г(в1, А, ~р) линейно зависит от переменных поля А и ~р и может быть записано в виде Яг — — ~ [р(й, с)вр(К, с) — [(К, ~) А(й, т)[е)айсЧ, (9.99) где р и [ — соответственно плотности заряда и тока, зависящие только от «1. Тогда интеграл по А и ф в формуле (9.98) гауссов и легко вычисляется. Основной смысл соотношения (9.91) заключается в том, что оно дает нам значение этого интеграла, а именно вак ~ (ехР— „' [ 8г(А, вР)+ ~ (РеР— 3 А)оввйНг (~) Х вак х ЯАлнр=ехр ( — „Х), (9ЛОО) где действие Х, которое в формуле (9.91) мы обозначали как 1 + 8 „ равно У=в ~ [с Р(йп Сг) Р(йгв вг) — Э(йг Юг) 3(Кю йг)] 6+ [(Кг — Сг) — ~й,— й ~г) е(вй,е(вй а,ст (9Л01) для любил функций р и 1, зависящих от К и в.
В импульсном пространстве соотношение (9.101) запишется в виде (9.89). Функции Р и 1, которые входят в соотношение (9.98), зависят от в1 и в1; поэтому мы получаем результат в виде К(вак-вак)= ~ (ехр ~ — [Я,(г()+У(г[,')~) Ув1, (9.102) где функционал Х (в[) определяется выражением (9Л01), куда предварительно должны быть подставлены требуемые значения Р и [. Таким образом, соотношение (9.102) содержит все основные результаты, относящиеся к переходам между двумя вакуумными состояниями. Изменение действия, относящегося к частицам, под влиянием поля мы учли добавлением функционала У (и).
8. Краткие еыеады 287 Таким образом, главным результатом, получаемым из соотношений (9ЛОО) и (9.101), является эта наиболее важная формула электродинамики. Общая формулировка квантовой влектродинамики. Интересно также провести исследование в другом направлении, интегрируя вначале по всем координатам материальных тел, а лишь потом по полевым переменным. Мы ограничимся кратким описанием того, что при этом получается. Если в выражении (9.98) начинать с интегрирования по е], то множитель ехр[(е/з)Яе] можно опустить, так как он не зависит от «[. Вводя обозначение Т[А, ~р]= ~ (ехр [ — [Я,(е[)+Яз(9, А, ер)]~) Яе[, (9.103) мы можем (9.98) переписать в следующем виде: К= ~ [ ехр [ — „Юе(А, ср)1 [ Т[А, ~р] МАЯМ.
(9Л04) Это выражение описывает амплитуду вероятности определенного движения частицы, причем поле также совершает определенный переход из одного состояния в другое. Как и все другие амплитуды вероятности, эта амплитуда представляет собой сумму по всем возможным альтернативам. Каждая отдельная альтернатива выражается произведением амплитуды Т [А, ф, относящейся к движению частицы в некотором поле с определенными потенциалами А и у, и амплитуды вероятности ехр(еЮе/й) того, что вначения потенциалов поля именно таковы; суммирование производится по всем возможным полям А и ~р.
Этот закон, выраженный математически соотношением (9Л04), является фундаментальным принципом всей квантовой электродинамики. Его формулировка остается в силе даже тогда, когда функционал Т [А, ~р], т. е. амплитуду движения частицы во внешнем поле (А, ~р), нельзя представить в виде интеграла по траекториям.
Так, например, для релятивистской частицы со спином, описываемой уравнением Дирака, этот функционал нельзя выразить в виде простого интеграла по траекториям с какой-либо разумной функцией действия. Однако выражение для функционала Т [А, ер] можно получить и с помощью других методов, например из уравнения Дирака, а затем найти амплитуду К из соотношения (9.104). Формулируя основной закон квантовой электродинамики (ОЛ04), мы рассматривали поведение электромагнитного поля отдельно от поведения частицы (или системы частиц), с которой это поле взаимодействует. Сам факт, что такое разделение может быть проделано', является весьма важным результатом. Напри- Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
