Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Это обстоятельство наводит на мысль попытаться пойти дальше и отыскать некоторый эффективный потенциал У (х), после подстановки которого вместо потенциала й классическое выражение (10.48) стало бы еще более точным приближением к истинной' квантовомеханической функции распределения. Будем исходить из точного выражения ак Я= ~ (ехр[-рй(х)]) дх ~ ехр ( — ~ х див о — — ~ (й[х(и)] — й[х]) Ии) Ях(и). о (10.59) и усреднение производится с весовой функцией ехр [ — (ле/2а) ~ хое]и].
Заменив здесь среднее от экспоненты на экспоненту от среднего (е~) — и е»', (10.61) мы тем самым внесли бы погрешность второго порядка по 1, или, точнее, порядка разности между (~>' и (~'). В гл. 11 мы увидим, что можно определить знак этой погрешности (левая часть окажется больше правой). Найдем среднее значение функции ) для каждого х: Ра Рь (1) =- В ~ [ ехр( — 2В ~ хое]и) ] ~ (У[х(с)] — й [х])4еУх(и) (10.62) и рассмотрим интеграл по тракториям как среднее по траекториям х(и) от функции е', где Вк 1 = — ~ (У [х (и)] — й [х])— (10.60) о р 8. Явамтовоыеханичесхие аффекты в предположении, что начальная и конечная точки совпадают, а сама траектория соответствует ограничению, накладываемому равенством (10.50).
Для вычисления этого выражения рассмотрим несколько отличный, но связанный с ним интеграл за в'(х) = ~ ~ ( ехр ~ — — 2в ~ у сви) ~ (У(х+у(в)) — И (х)) Уу(и)сев', О (10.63) где на траектории у (и) накладывается ограничение ра у(0)=у(рь)=У; ~ у(и) ни=О. (10.64) О Оказывается, что интеграл У (х) не зависит от а.
Убедиться в этом можно при помощи следующего рассуждения. Предположим, что каждая траектория в этом интеграле не является конечной, а представляет собой, как покааано на фиг. 10.1, отрезок Ф и г. 10.х Периодичность траекторий. Все траектории, которые в момент Е = Зд воавращаютсл в исходную точку, соответствующую моменту е = О, мощно рассматривать как отрезки длины ра периодических траектории, период которых равен За. длины рд периодической траектории, период которой тоже равен рд. Из всего семейства таких траекторий рассмотрим две: у (~) и у,(з) = у (й, + е), как это показано на фиг. 10.2.
Точка у (йт) на первой траектории, отвечающая моменту е = 8ю на второй траектории соответствует моменту ~ = О, т. е. ут (0) = у (ев). Кроме того, для любого другого момента ~~ в этом семействе отьпцется анало- Гя. 10. Статистическая механика гичная функция у! ((), для которой у! (О) = р (Ц), и все такие эа траектории дадут одинаковый вклад в интеграл ~ р' с(и. Все эти О рассуждения применимы„конечно, к каждой траектории, учитываемой в интеграле (10.63). Поэтому, не ограничивая общности э Ф н г. 10.2. Выбор нвчвльного момента.
предположвм, что одне ле «ыериодвческвх» треекторла р (!), покввелных не эвг. 10.1, имеет прв ! = 1, свечение у (с,). Тогда совокупность всех «периодических» траекторий должна содержать вту же треекторвю, сдвинутую влево нс Расстояние с, (т. е, в ( ! -( ! э] л првнвмеющую прл ! с, то же внсченке, что в в момент ! = О. Постону интеграл, усредневныа по всем таким трвекторлям, йе должен в«висеть от выбора начального моменте ! О.
рассуждений, можно положить в интеграле 1 =- О, а это равносильно утверждению, что данный интеграл не зависит от переменной Задача 10.5. Используя метод, кратко описанный в задаче 10.2, покажите, что величины ()) и 1 (х) связаны соотношением »» Х(х) =)сс 2 вв ~ []с(х+У) — $'(х)! е-Огжс()в'сП'= —. (10.65) О» Обозначим нашу приближенную функцию распределения через Г, а связанную с ней свободную энергию Гельмгольца через г', так что Я' = е-ЭР'.
Тогда, применяя результаты задачи 10.5 и соот- ношение (10.61), получаем эв Я' = $ (ехр ( — р [т" (х)+ х (х)[)) ссх $ [ ехр ( — — а $ х' с(ы) [ Ух (и). (10.66) з о. Квантовоевеканииеокие вффекти Входящий в это выражение интеграл по траекториям уже вычислялся раньше; он имеет вид (10.46). Таким образом, можно записать е-зг' = з — е-зов>дх $' Злвз,) (10.67) где 0 (х) = ~ 'в'(х+ у) е-зов™1эбв сву )/ —, (10.68) а потенциал 1е (х) в явном виде не встречается. Эти результаты означают, что свободную энергию Р' можно приближенно вычислять классическим методом, т. е. с помощью выражения, подобного (10.48), и при этом получить хорошее приближение, если вместо $' (х) испольэовать эффективный потенциал У (х), определяемый соотношением (10.68).
Отметим, кстати, что эффективный потенциал зависит от температуры. Потенциал У (х) представляет собой среднее значение потенциала У (х), полученное путем усреднения вокруг точки х с гауссовой весовой функцией, среднеквадратичное отклонение которой составляет (рдвЛ2т)пв. Если проанализировать различные неравенства, содержащиеся в нашем приближении, то мы найдем, что приближенное значение свободной энергии Р' превышает ее истинное значение Р. Подробности этого обсуждаются в следующей главе (см.
неравенство (11.9) и далее). Задача 10.6. Покажите, что потенциал, определяемый соотношением (10.68), совпадает с «исправленным» потенциалом равенства (10.57) (т. е. с показателем экспоненты в атом равенстве), если в этом последнем разложить 1е в ряд Тейлора. Р~оч ое — 7в7.' 1п ( 2 зЬ вЂ” ) (10.69) С помощью эффективного потенциала У вычислите приближенное значение свободной энергии; покажите, что (10.70) Рприбк КГ (1п ) + Вв (Вв)з (10.71) Задача 10.7.
Проверьте справедливость нашего приближения на примере гармонического осциллятора, точное значение свободной энергии которого равно Гл. 10. Статистическал механика При различных значениях частоты еи определите свободную энергию или, еще лучше, ее отношение к величине есТ. Предполагается, что дробь йюlйТ может, в частности, принимать значения 1, 2 и 4. Покажите, что, как и следовало ожидать, Р' больше Р и ошибка возрастает при уменьшении температуры. Обратите внимание, что даже если мы уходим очень далеко от классической области (т. е.
когда отношение йсаИТ = 2, так что вероятность пребывания системы в основном состоянии составляет 85%), приблиясепные результаты все еще удивительно близки к истинным. Сравните эти,результаты с классическим приближением, где свободная энергия принимается равной йТ 1п (йюИТ).
Оно приводит к значениям 2Р/есеа, что видно из табл. 1. Таблица 1 кант у 4. Снстнемье с неснольннмн неременньемн Жидкий гелий. В качестве примера рассмотрим задачу отыскания функции распределения в случае жидкого гелия. Предположим, что мы имеем Л одинаковых атомов массы т, заключенных в некоторый объем. Предположим далее, что эти атомы взаимодействуют попарно; потенциал этого взаимодействия К (г, а) на больших расстояниях соответствует слабому притяжению, а на малых— очень сильному отталкиванию.
Для наглядности можно представлять себе Р (г) как потенциал, описывающий столкновение твердых шариков, т. е. положить ( 0 при г)2,7А, (Т(т) = ~со при к~2,7А. (10,72) Коли система зависит от нескольких переменных, то (за исключением специальных задач, связанных с рассмотрением свойств симметрии) формулы, описывающие ее поведение, получаются прямым обобщением уже изученных нами методов. 4. Системы е несколькими иеременными Лагранжиан такой системы имеет вид 7 ~> в> ( К> ~~ н>ь (~> 7) 1 ' > (10.73) откуда следует, что функция распределения ~= 1 ~"К(0) 1 Гехр( — Я ~! К(г) Г й+ о + — „~>', ~ Р(й, Р) — К;Р)) В~ ) ~ Я'"К(г).
(10.74) ь> о В этом выражении символ е>" К означает произведение дей»РВ>оейе... сРКн, аналогично У>ей — произведению ЯВ>ЯВ.ЯК,... ЯВ>е. Мы предполагаем, что все интегралы по тракториям берутся между совпадающими начальными и конечными точками й; (О) и В; (р), т. е. К> (О) = й; (р). На самом деле записанное нами выражение (10.74) неправильно, так как свойства симметрии, упомянутые выше, имеют существенное значение. Здесь мы столкнулись с одной из интересных особенностей квантовой механики тождественных частиц. В гл.
1 упоминалось, что если событие протекает двумя неразличимыми способами, то амплитуды вероятности этих двух возможностей будут складываться. В частности, когда мы имеем дело с двумя неразличимыми частицами, любое событие всегда можно осуществить двумя споссбами, поменяв эти частицы ролями. При этом амплитуды, соответствующие случаю переставленных и случаю не переставленных частиц, должны складываться. Это правило относится к бозонам; в случае фермионов вклады в амплитуду, возникающие при нечетных перестановках, будут взаимно уничтожаться. Атомы обычного гелия, представляющего собой изотоп с массовым числом 4, содержат шесть частиц: два протона, два нейтрона и два электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
