Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 58
Текст из файла (страница 58)
9. Квантовая олаатродиналвиаа мер, функционал Т (А, у) может быть связан с поведением атомного ядра, свойства которого известны неполностью. Однако для квантового решения электродинамических задач нам вполне достаточно знать лишь поведение этого ядра в известном внешнем поле. Разумеется, для непосредственного применения формулы (9.104) необходимо знать функционал Т при всех значениях переменных А и у; к сожалению, такая подробная информация редко имеется в нашем распоряжении. Но и тогда, когда мы располагаем точным выражением для функционала, само вычисление интеграла по траекториям может вызвать трудности.
Все же практически зта формула очень полезна. В некоторых случаях функционал Т может быть аппроксимирован экспонентой типа (9.99) с линейной зависимостью показателя от переменных А и ~р. Тогда интересующий нас результат следует непосредственно из общих выражений (9.100) и (9.101). Чаще функционал Т можно представить в виде суммы или интеграла экспонент, зависящих от различных величин р и В тогда формула (9Л04) приобретает вид соответствующей суммы или интеграла от выражений, содержащих экспоненту ехр ((НД)Х), где У определяется соотношением (9Л01) после подстановки надлежащих значений р и ).
В большинстве практически важных случаев функционал Т можно представить в виде степенного ряда по потенциалам А и <р. Если считать влияние поля на движение частицы достаточно малым, то несколько первых членов этого разложения могут быть вычислены методами теории возмущений. Найдя таким образом функционал, подставим его в (9.104) и проинтегрируем по А и у; в результате получится разложение амплитуды К по возмущениям (по степеням параметра еа(яс). Необходимые для этого интегралы вида ~ А~ (К» ~в) Ав(Кю ~а) ~ехр [ — „Яа(А, ~р) ) ~ ЯАЯвр = =2И,((гв — Га)'с — ~К,— К ~а! можно вычислить, раалагая по степеням р и ) выражения (9ЛОО) и (9Л01), а затем сравнивая соответствующие члены. Мы не будем углубляться в зти вопросы квантовой электродинамики и отсылаем интересующегося читателя к работе (7). Глава лО СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В предыдущих главах мы рассмотрели переходы системы из одного известного состояния в другое. Однако для большинства реальных физических ситуаций начальное состояние полностью не определено: система может с некоторой вероятностью пребывать в рааличных таких состояниях.
Тогда и конечное состояние является в такой же степени неопределенным, поскольку набору исходных ситуаций отвечает набор возможных реаультатов процесса с соответствующими вероятностями. О другой стороны, нас может интересовать не вероятность определенного результата, а распределение вероятностей целого набора таких результатов. Особенно интересным случаем статистичности состояний является тепловое равновесие при некоторой температуре Т. Квантовомеханическая система, находясь в тепловом равновесии, занимает определенный энергетический уровень.
Как показано в квантовой статистике, вероятность найти систему в состоянии с энергией Е пропорциональна ехр ( — ЕТТ), где йТ вЂ” температура в естественных энергетических единицах (коэффициент перехода л, называемый постоянной Больцмана, равен 1,38047 х10 ы эрг/град, или 1 эв на 11606' К). В нашей книге мы не станем ни выводить это экспоненциальное распределение, ни обсуждать его; подчеркнем лишь, что энергия Е представляет собой полную энергию системы. Если уровень энергии вырожден, то все состояния, отвечающие такому уровню, равновероятны. Это означает, что полная вероятность найти систему в состоянии с данной энергией умножается на кратность вырождения энергетического уровня.
Упомянутый выше экспоненциальный закон еще не представляет собой распределение вероятностей, поскольку он не нормирован. Запишем нормировочный множитель в виде 1Я; тогда вероятность пребывания системы в состоянии с энергией Е, (которое пока предполагается невырожденным) равна р~ = — 'е (10.1) где р=ЧйТ. Зто означает, что Я=~ е (10 2) Гл. Тд. Статпистыааакак мекаиика Подобную же нормировку можно осуществить, введя в показатель экспоненты некоторую энергию Р: рг=е В1 4 (10.3) Величину Р называют свободной энергией Гельмгольца. Очевидно, что ее значение зависит от температуры Т, хотя сами уровни энергии Ег от Т не зависят.
Отсюда Я = е-дэ. (10.4 у л. Фунгсц~я распределения Из зкспоненциальиой функции распределения можно вывести физические свойства системы, находящейся в тепловом равновесии. Пусть А — оператор некоторой величины, и ее среднее значение в 1-м состоянии равно А= ~ %7А%лЖ где интеграл берется по объему системы У.
Тогда статистическое среднее от А по всей системе есть А '~~~ р~А~ 'Я А е-~~В е Например, среднее (или ожидаемое) значение самой энергии равно У= Я р~Е~ —— — ЯЕ;е В~1= ЯЕ1е В1~' ~1. (10.7) Сумму (10.7) легко вычислить, если известна зависимость от температуры нормирующего множителя Е. Иэ равенства (10.2) следует; 'Е Е;е Ви1 = — ~~ =Ьтз ~~ . до дТ (10.8) Поэтому 'кгг дЯ д1а2 др д У = — = — йТ вЂ” — Р— Т вЂ” — — (~Р). (10. 9) Я оТ дТ дТ дэ Производные по температуре мы записали в виде частных проиаводных,поскольку все другие переменные, такие, как объем системы или внешние влияния, фиксированы.
Интересно посмотреть, что происходит с ожидаемым значением энергии, если иаменяется какая-нибудь другая переменная, например объем системы. Пусть система находится в определенном состоянии Еп и мы немного изменяем величину какого-то 1. Функция риеиредеяения 291 Е +ЕЕ = 1 едУ(Н+Ьее')Ъ Ле, ЬЕ; = ~ д,*ЬН«д, Л'.
(10.10) ~а языке классической фиэики мы бы скавали, что отношение ЬНИа представляет собой «силу», соответствующую изменению параметра а. В случае, когда этот параметр — объем, такой силой будет давление (вэятое с обратным знаком). Таким образом, мы вводим понятие силы посредством соотношения сила х изменение параметра = иэменение энергии, или дН еа— да (10.11) Тогда, например, если Р— давление, а У вЂ” объем, — РЬ»'=ЛЕ.
(10.12) Запишем ожидаемое эначение силы в виде ( ~Н~ ~Ч~ ~ дН ~ ~ч~~ Ы, = ~', — — е ' = — — — ~~~~~~ е ' ) = — — — (10.13) 1 дЕ~ -Лдят 1ег д 1 — Вивт'е МТ д2 2 да 2 да к 1 Я да' так что 1 д1вЯ еи— да (10.14) где р и все другие параметры постоянны. Используя выражение (10.4), можно переписать это как (10.15) Если параметр а представляет собой объем Г, то величина — ~„будет давлением Р и ду ' (10.16) Когда объем системы иэменяется на бесконечно малую величину при постоянной температуре, одновременно воэникают два эффекта.
Во-первых, каждый иэ уровней энергии слегка сдви- параметра а. Применив методы теории возмущений, находим, что в первом приближении иэменение энергии равно ожидаемому изменению гамильтониана, т. е. Гл. ад. Статистическая механика гается. Во-вторых, если система остается в равновесии при постоянной температуре (например, благодаря какому-то резервуару), то вместе с энергиями уровней должны измениться и вероятности. Если бы возникал только первый эффект, то мы могли бы, усредннв энергетические сдвиги по всем уровням, получить изменение полной энергии системы; в предыдущем рассмотрении это соответствует произведению давления на изменение объема. Однако поддержание постоянства температуры требует некоторого перераспределения населенности состояний.
Поэтому полная энергия системы дополнительно изменится на величину, которую мы обозначим через ске. Эта дополнительная энергия, называемая энергией теплообмена, отдается или отбирается той внешней системой (резервуаром), которая поддерживает постоянство температуры. Таким образом еШ = — Р аЧ'+ Щ. (10.17) Величину о() можно легко найти из выражения для У, определяемого равенством (10.7). Когда объем г' изменяется на с(У, каждый уровень энергии Е; испытывает изменение на ЙЕ;, а свободная энергия Гельмгольца на с(Р.
Следовательно, полная энергия меняется на величину с)е)'= 2,' с)Есе В' с ~'+'()с)Р-,",хх~~Е,е В~в' Ю— — ~~~~~~ Е;с)Еье В<к;-Ю (10.18) Первый член в этом выражении представляет собой ожидаемое значение е)Е;, которое, как мы уже выяснили, равно — Рй г. Остальные два члена составляют И® их также можно выразить через производные суммы (10.2) и в конечном итоге через Р. Действительно, (10.19) Справедливость этого легко видеть и из равенства (10.17), которое дает ОС ОС д ( дГ ') дР даГ дУ <В' др ~ дТ ) дг дТ дг' — = — +Р= — (Р— Т вЂ” ) — — = — Т .
(10.20) Выражение (10.19) определяет энергию теплообмена ес(е, если объем системы изменяется на Ий при постоянной температуре. Варьируя какой-либо другой параметр, мы получим аналогичный результат. Например, при изменении температуры Т и постоянном объеме К энергия теплообмена равна изменению полной энергии, т. е.
Л~ = — ЬТ= — ~Р— Т вЂ” ~)ЬТ = — Т вЂ”, ЬТ. (10.21) е У. Фдиявия раеяредемния В общем случае имеем М= -Т(дт'ду йр+д,"д' й" +'-'д7 ЕТ) . (10.22) Правая часть этого последнего выражения представляет собой произведение температуры Т ( на полное изменение величины 8= — (дР/дТ), называемой энтропией. Таким образом, запишем ЛЧ'= ТЬЬ, (10.23) дг (10.24) У=Р— ТЯ. (10.25) Р(х) = — ~~~~~ <р,а(х) Чн (х) е дк'. (10.26) В общем случае, когда нас интересует какая-то величина А, ее ожидаемое значение определится выражением А = — Я А,е Зв1 = — ~ ~ ф~Я (х) Агу, (х) е ~~ е(х.
г г (10.27) Очевидно, что можно получить ожидаемыв значения любых пара- метров, если известна функция р(х', х) = ~ <(ч (х') ~р~ (х) е ~ '. (10. 28) Очевидно, что все обычные термодинамические характеристики системы (такие, как внутренняя энергия, энтропия, давление и т. п.) можно вычислить, если известна одна-единственная функция — функция распределения Я, выраженная через температуру, объем и параметры внешних воздействий. Искомые величины получаются простым дифференцированием функции Я, или, что равнозначно, дифференцированием свободной энергии Р. Существуют такие физические параметры, определение которых (даже в случае термодинамически равновесной системы) требует больше информации, чем содержится в функции распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
