Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Разность этих энергий, как и раньше, расходится, однако теперь только логарифмнчески. Если в соответствующих интегралах провести обрезание тех же длин волн, что и выше, то поправка к массе электрона составит всего лишь около 3%, однако этого сейчас никак нельзя проверить, так как электрон не имеет нейтрального партнера. Аномальный магнитный момент протона так велик, что его магнитная энергия превышает электрическую и поправка может стать отрицательной. Нейтрон также имеет магнитный момент, поэтому поправка для него тоже отрицательна. Однако магнитный комент протона больше, и именно этим можно объяснить тот факт, что нейтрон тянселее протона. Если расходящиеся интегралы Га. 9.
Квантовая влеатродинавеиаа обрезать на величине энергии порядка протонной массы, получается правильное значение равности масс протона и нейтрона, несмотря на очень грубый способ вычисления этой точно измеренной величины егМ = 782,71 -+- 0,40 кэв [25). Массовые различия между различными частицами — протоном и нейтроном, заряженным и нейтральным пионами, положительным, нейтральным и отрицательным Х-гиперонами и т. д.— бросают серьезный вывоз современной физике ') и, возможно, указывают на недостаточность квантовой электродинамики как полной теории, описывающей электромагнитные явления.Мы не внаем, чтб на самом деле ошибочно: квантовая злектродинамика или наше предположение о распределении заряда внутри частиц. Только когда у нас будет завершенная полная теория частиц и их взаимодействий, мы сможем выяснить ограничения нашей теперешней теории квантовой электродинамики (или, во всяком случае, некоторые из них).
у 6. Лэлебоеокита сдваез В соответствии с уравнением Шредингера второй уровень атома водорода является вырожденным. Энергии уровней 2р и 2з имеют одинаковое значение. Из уравнения Дирака также следует вырождение уровней 2рмз и 2амз. В 1946 г. Лэмб и Ризерфорд обнаружили, что в действительности наблюдается небольшое дополнительное расщепление, относительная величина которого равна приблизительно 3 10', вследствие чего уровень 2гмз оказывается сдвинутым вверх на 1057,1 Мге(. Теоретики предсказывали, что такая разность энергий может возникать из-за эффектов, обусловленных членом Х, однако вплоть до работы Бете и Вайскопфа в 1947 г.
бесконечности в расходящихся интегралах сводили на нет все попытки вычислить эту разность. Бете и Вайскопф рассуждали следующим образом. Прежде всего, поскольку — (9 72) Ем — Ек — вас Ьйс Ем — Ек — Вас В)ес ' энергия (9.71) представляет собой сумму трех членов: ЬЕ = бЕ'+ ЬЕ" + ЬЕ, (9 73) г) Разработанная недавно теория ЯУз- и ЯУе-симметрий позволяет вычислить разности масс сильно вааимодейстаующих частиц (меаонов и барионов) не только для ааряженпых и нейтральных партнеров, но и длл таких, кааалось бы, совергпенно рааличвых частиц, как нуклон и Б-гиверов или пи й-мезоны. (Подробнее см., например, монографию: В. С.
Б а р а ш е нк о в, Сечения взаимодействиязлемеитарвыхиастиц, М., 1966.) — Прим. дед. 6. Лэмбовпсий сдвие 279 где 2яез (' ~РЬ ~ (см — Ек)() р1е '~'~(хм+(рте ™н(лм) лРсз,) (2л)заз ~ Ем — ям — Ысс (9.74) — — з„з ~~'.~ (~Р~з ™и(!тм+~ Рте 'в'к(йм), (9.75) 'Е = — "- ~(2.)зь. (9.76) Член ЬЕ и бесконечность, связанная с кулоновским членом ЬЕ„ не зависят от состояния электрона. Они будут (мы надеемся на зто) конечными в будущей теории.
К массе покоя электронов эти члены дают поправку Ьт. Если тз — механическая масса (т. е. масса незлектромагнитного происхождения), то реально наблюдаемая экспериментальная масса т = тз + Ьт, где Ьтс' = ЬЕ'" + ЬЕ,. Такую поправку к энергии покоя, составляющей часть полной энергии атома водорода, можно было, конечно, ожидать заранее, однако мы учитываем ее автоматически, если все энергии связи измеряются относительно энергии полностью ионизованного состояния, когда все частицы свободны. Поправка Ьт относится к покоящемуся электрону, и она совершенно не зависит от его движения или от каких-либо характеристик состояния, в котором находится этот электрон.
Выражение для 6Е'" можно вычислить из суммы по Л', которая в соответствии с правилами матричного умножения дает выражение (р', + р'.,)мм. После интегрирования по всем направле- 2 ниям вектора Й отсюда получается член — (р ° р)мм и, следова- 3 тельно (р.р)~м Ояез ( лзь (9.77) 2т Зтсз 3 (2л)звз ' Опять-таки можно надеяться, что когда-нибудь это выражение удастся сделать сходящимся. Такая добавка к энергии существует уже в случае свободного электрона. Интерпретируется она следующим образом: если меняется масса, то выражение для кинетической энергии рз(2тз следовало бы заменить выражением (9.78) а член ЬЕ'" как раз должен соответствовать добавке — (рз(2тз)бт.
Однако мы уже учитывали этот член, когда с помощью уравнения Шредингера вычисляли значения энергетических уровней и использовали выражение рз)2т с экспериментально наблюдаемой массой Гя. 9. Квантовая электродинамики т. Поправка ЬЕ" однозначно отождествляется с добавкой к кинетической энергии, поскольку она является единственной поправкой для движущегося свободного электрона и пропорциональна кинетической энергии '). Наконец, если даже интерпретация этих поправок является неверной, то при вычислении разности энергий для состояний 2а и 2р эти поправки выпадают, так как значения ЬЕ'" и ЬЕ, одинаковы для всех состояний; одинаковыми являются и значения ЬЕ", поскольку для состояний 2а и 2р матричный элемент (рк/2т)мм один и тот же.
При вычислении поправки 6Е' предполагалось вполне оправданным дипольное приближение. В этом случае матричные элементы не зависят от )г, и, вычислив интеграл с~Чу 1 бк ) В/виаиев (9.79) /вэ Еаг — Ек — Л/вв Да Ем — Ек мы гюлучим ЬЕ'= эдвэ,Е~ ~)п) е "е ) ~ (Ем — Ек) 8 !Ркмl . (9.80) Поскольку для атома водорода известны состояния и матричные элементы, но которым проводится суммирование в (9.80), то сумма может быть вычислена и неясным остается лишь вопрос о выборе значения Ь/г „„с.
Бете обосновал свой выбор этогопараметра тем, что нерелятнвистское приближение становится несправедливым в области больших значений /г, и если проделать последовательно релятивистские вычисления, то значение Ь/гивка с оказалось бы, по-видимомУ, поРЯдка лгс'. ВыбоР значениЯ Ь/гивиас =лесе дал для сдвига 2аг/а- и 2рг/;уровней величину, равнуго приблизительно 1000 Мгц, так что Бете мог рассчитывать, что он находится на правильном пути. Оставалось еще сделать релятивистский расчет, используя дираковские волновую функцию и состояния. Только на этом пути можно было дать точное определение величины /г„эив.
Однако это окавалось совсем не простым делом, так как возникали трудности с идентификацией различных расходящихся членов. Если применить к этим членам процедуру обрезания при некотором максимальном значении импульса и иметь дело с полученными ') Значение Ьт, которое следуеткэ формулы (9.77), равно (8квв/Звв) ~ дв/в//вэ к нв совпадает со вкачеккем Ьвн кэ выражения ЬЕ/в', соответствующего кеподвкжкому электрону. Это происходит потому, что мы огравкчкваемся керелятквкстоккм приближением. Если провести полкоотью релятквкстское рассмотрение, то оба способа вычисления дают одно к то же акачекка Ьж.
1 е. Лсссбсссиий сдсис е — сьс К~ е — сит д г 2ввс вс — йссс+ ~е ' (9.8$) или е- О,р с~с (' 2ЫсйсоУ2и ,) ыс — Ьссз+~е ' Если определить (9.82) у(й,, ю)= ~ у (с)е+'июсЫ= ~ ~ у(К е)е '<и.к- осусКсуе (9.83) то функция 1 запишется в виде ~ !0(й, вН'+1ус0с, в) Р йЧ йсс ыс Ьесс-~- се (2л)с Релятивистская симметрия этого выражения относительно переменных со и Й вполне очевидна, так как выражение све — )гсез— инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Однако токи входят в выражение (9.84) релятивистски несимметрично. Нам была бы нужна релятивистски-инвариантная комбинация типа е'р' — у .
у, так как величины рс и у образуют четырехмерный вектор. Чтобы получить такую комбинацию, положим р ()г, со) = ~ рз (с) е+ом Ю = ~ ~ р (К, с) е-' о'"-"о с(сК Ю; (9. 85) таким образом конечными величинами, то и тогда ситуация не проясняется, так как такая процедура не является релятивистскиинвариантной вследствие того, что с импульсом и энергией мы обращаемся здесь по-разному. (Одно следствие этого обстоятельства уже отмечалось нами в примечании на стр.
280.) Метод, устраняющий эти затруднения, был развит Швингером, который показал, как можно в явном виде сохранить релятивистскую инвариант- ность на протяжении всего расчета и одновременно идентифицировать все бесконечныв члены. Другой метод, разработанный Фейнмапом, сводился к релятивистски инвариантной процедуре обрезания бесконечных интегралов. Рассмотрим этот метод подробнее. Полный эффект от действия электромагнитного поля, которое на этот раз включает в себя и кулоновское взаимодействие, учитывается дополнительным членом 1 + Я, в функции действия. Релятивистская инвариантность функции 1, представленной в форме, подобной (9.64), далеко не очевидна, так как в эту формулу входят переменные й и 2, а не К и г или й и св. Выразим функцию 1, используя в качестве переменных частоту св и волновое число )г.
Для этого прежде всего заметим, что интеграл Гл. д. 11вантсвал влсктрсдин мика тогда часть функции действия, соответствующая кулоновскому взаимодействию, запишется в виде (р ((с, в)]з (ар(д)з — рзсз 9.86) причем последний интеграл образуется здесь умножением числи- теля и знаменателя предыдущей подынтегральной функции на азИз — с'. Закон сохранения тока = (г.д др дс (9.87) запишется теперь как ар((с,в) = й д()г,в). (9.88) О другой стороны, если обозначить через )з компоненту вектора 1 в направлении зг, то /з = врИ и (' )1в()с а)(~+)1з()с вН'+(1з((с а) (з — с~) Р()с ~)( вз — Иск+ зе дз)с 1,с (2;с)з ( ) — Лз вз — Исз — Лз+ве ! где величина Л вЂ” некоторая достаточно большая частота.
При малых значениях величин а и 1с этот множитель близок к единице, в то время как для высоких частот он обрезает подынтегральную функцию. Очевидно, что такая операция не нарушает релятивистской инвариантности интеграла. Теперь все физические величины должны вычисляться нами с учетом того, что действие Х + Я, содержит этот обрезающий множитель. Если, подобно лэмбовскому сдвигу они будут нечувствительны к выбору конкретного значения Л (лишь бы это значение было достаточно велико), то теоретический результат можно считать достоверным.
Если же результат расчета существенно зависит от выбора А (как зто имеет место, например, для разности масс нейтрального и заряженного пионов), то его количественную величину устапо- Сумма трех токовых членов представляет собой не что иное, как скалярное произведение 1 ()г, в) д ((г, а); поэтому выражение (9.89) — скаляр и его релятивистская инвариантность очевидна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
