Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(10.45) ха о В этом последнем выражении фигурирует такой же интеграл по траекториям, как и в случае свободной частицы. Его можно вычислить тем же способом, каким в гл. 3 вычисляли ядро для движения свободной частицы. В результате получим хе оо ~ (елр [ — —, ~ '(п)с[в~) Ух(и)= хе о ьг [. и (*,— х,) =~Г:- "- (10.46) 2лза [ 28« Если нас интересует только функция распределения, то можно положить хз=х,; тогда р(х, хе) = ~~ е тьг г" 2. Вычисление с ломач«ъю интеграла ао еараеиториам 299 Функция распределения представляет собой интеграл от этого выражения по всем начальным конфигурациям х„ т. е, 2 1l т ( е-зщаг)е(х (10.48) Эта формула определяет искомое распределение в классическом приближении. С точностью до неопределенного множителя ее впервые получил Больцман как следствие классической механики.
В более сложных случаях (например, при большем числе переменных) функция распределения оказывается произведением двух сомножителей. Первый из них — интеграл по траекториям, киторый получился бы, если бы все частицы оказались свободными; второй называется конфигурационным интегралом и содержит е — в~, где у — потенциал системы, зависящий от всех ет описывающих систему переменных. Например, в случае системы Л частиц, взаимодействие которых определяется потенциалом е' (х„хг,..., хк), где ха — вектор положения частицы а, этот интеграл имеет вид (ехр( — рог(х„хг, ..., хк))) Рхе Рхг... е(»хк. Такое простое выражение для функции распределения является лишь приближением, справедливым в случае, если за «время» 'рк частицы системы не могут значительно удалиться от своих первоначальных положений. Предельное удаление частиц, на котором это приближение теряет силу, можно оценить из равенства (10.46). Легко видеть, что если конечная координата отличается от начальной на величину порядка Лх= (10 49) то экспонента в (10.46) быстро убывает.
Отсюда можно заключить, что все промежуточные точки, расстояние которых от начальной илк конечной превышает Лк, окажутся на траекториях, не дающих заметного вклада в интеграл (10.43). Если при перемещении точки х на отрезок Лк потенциал й (к) изменяется слабо, то справедлива классическая статистическая механика. Например, для обычного твердого тела или жидкости с атомным весом порядка 20 Лх при комнатной температуре составляет около 0,1 А, в то время как межатомные силы проявляются на расстояниях 1 — 2 А.
Поэтому смещения, превьппающие 0,1 А, не дадут вклада в матрицу плотности, тогда как потенциал останется неизменным до тех пор, пока смещение не достигнет 1 — 2 г«. Ясно, что в таких условиях классическая статистика будет достаточно точной. Гл. 10. Статистическая механика 300 Все загадочные переходы типа твердое тело — жидкость— газ лежат в области, где справедлива классическая статистика. Математическое описание подобных процессов упирается в проблему вычисления интеграла по координатам всех атомов от экспоненты е — Зг.
На первый взгляд представляется неожиданным, что поразительное разнообразие столь специфических явлений описывается простым интегралом; однако это удивление длится лишь до тех пор, пока не осознан тот факт, что наш интеграл является многократным по огромному числу аргументов. Наш обычный опыт обращения с интегралами, зависящими от одной или самое большее нескольких переменных, ничем не помогает нам при тех качественных различиях, которые возникают при числе аргументов, приближающемся к бесконечности.
Своеобразие задач теории твердого тела, теории жидкостей и сжимающихся газов, как и поведение этого многократного интеграла, заклгочается в том обстоятельстве, что простые описания огромного множества простых систем, объединенных вместе, дают такое обилие явлений. Только воображение может помочь нам понять, каким образом объединение систем приводит к подобным результатам.
Грубое качественное рассмотрение легко предсказывает многие из этих эффектов, однако и проблема количественного описания их тоже должна быть заманчива для физика- теоретика. Существует много важных явлений статистического характера, для описания которых классическое приближение становится неприменимым. Трудности, вызываемые большим числом аргументов интеграции, усугубляются здесь еще и слоя<костью квантовомеханических понятий. Строго говоря, выражение ($0.48) открывает для нас несколько больше возможностей по сравнению с классической статистикой. Доказательством этому служит появление постоянной й в, коэффициенте перед интегралом. В классической механике функцию распределения можно было получить лишь с точностью до постоянного множителя; поэтому и логарифм ее определялся только с точностью до произвольной аддитивной константы.
Поэтому в выражении для свободной энергии появлялся член, пропорциональный температуре, а в энтропии — аддитивная константа, называемая иногда химическим потенциалом. Ее удалось вычислить лишь после того, как появилась квантовая механика. у 3. Квантовомеханнчесмне эффекты Как мы уже упоминали, существуют случаи, когда классическое приближение не является достаточно точным. При этом необходимо учитывать изменение потенциала, возникающее в резуль- з 3. Кваитоеомехаэичеакие эффезтм тате движения частицы вдоль «траектории». В этом параграфе мы рассмотрим подобные влияния в первом приближении теории возмущений.
Вместо того, чтобы в выражении для матрицы плотности (10.43) заменять потенциал постоянной величиной К (х~), можно было бы попробовать разложить его в ряд Тейлора в точке х,. Однако проще и точнее было бы проделать это разложение в окрестности средней точки траектории, определяемой равенством , Вз х= — „~ х(и)ои, (10.50) о которая существует для каждой траектории.
По этим средним точкам можно интегрировать точно так же, как это делалось в выражении (10.48) по начальным точкам хь При атом функция распределения принимает вид ю аь зз Е= ~ Их ~ ] ехр ( — — „( — ~ х~ди+ ~ К(х(и)] Ыи) ) ~ Ях(и). ш а о В силу равенства (10.50) второй член в правой части обращается в нуль. Таким обрааом, мы пришли к выражению, в котором первая отличная от нуля поправка будет поправкой второго порядка.
Применяя зто разложение и отбрасывая все старшие члены (третьего и высших порядков), получаем для функции распределения ю Вз я ~ е-зш">с(х ~ ~ехр( — $ ( — хз+ ю о + (х(и) — х]зу" (х)~ — „) ~ ух(и). (10.53) (10.51) Здесь для интеграции выбраны траектории, удовлетворяющие двум условиям: 1) х, определяемое равенством (10.50), фиксировано и 2) начала и концы траекторий совпадают (зто означает, что интеграл включает также и интегрирование по всем точкам х~). Разлагая потенциал Г (х) в ряд Тейлора в точке х, получаем аь эь ~ К (х (и)] г]и = рИ'(х) + ~ ]х (и) — х] У' (х) Ии+ Ъ о аь + — ~ ]х (к) - х]' г" (х) о .
(10.52) о Га. 30. Сеааеиисксиксскаа механика Интеграл по тракториям в этом выражении отличается от предыдущих тем, что на траектории интегрирования наложено ограничение, выражаемое равенством (10.50). Для дальнейшего перепишем это равенство в виде Во (х — х) Ни=О. о Подставляя в качестве координаты траектории у = х — х, запишем это так: Во ~ ус)и=О, о а сам интеграл преобразуем к виду х1 — к ао (ехр ~ — ~ ( — уо+ — уЧ" (0)~ — ) ) Яу(и). (10.54) хс-х о Подынтегральная функция в этом выражении та же, что и в случае гармонического осциллятора, если его частота определяется соотношением ео' = — Р"к (О) /т. Теперь применим к этому интегралу ограничение на траектории следующим образом.
Умножаем весь интеграл по траекториям Вк на 4-функции б ( ~ уНи) . Для того чтобы оперировать с б-функо цией под знаком интеграла, произведем над ней преобразование Фурье б(х)= ~ (ехр(Ит))— дь и запишем хс х ха-х '( — — „~ ( ™ у'+ — рку+ ')су)" ))~Уу(и). о (10.55) Интеграл, представленный в такой форме, уже содержит в себе ограничения, накладываемые равенством (10.50), и мы можем прямо перейти к стандартным методам его вычисления, чтобы получить искомое решение. Отметим, что наш интеграл имеет тот же самый вид, что и в случае гармонического осциллятора, если ло и у" считать мнимыми.
Мы интересуемся лишь Г е. Квантеввввеканиаеекие вффеквни зоз случаем малых У" и в любой момент можем перейти к приближению, содержащему лишь члены первого порядка. сопзг ~1 — — У (х) ) (10.56) Функцию распределения, которая соответствует решению задачи 10.2, лучше всего записать так (тоже с точностью до членов первого порядка по г "): В=~/ — „в ~ (ехр ( — р( У(я)+ — в'"(х))~) еЫ. (10.57) Неизвестная константа определяется здесь простым сравнением с результатом классического рассмотрения (10.48).
Мы видим, что функция распределения имеет тот же самый вид, что и функция, вычисленная в чисто классических предположениях. Разница состоит лишь в том, что теперь к потенциалу добавлена поправка (рве/24т)Рв (х), которая по своей природе является, очевидно, квантовомеханической, как это можно понять из появления в ней постоянной Планка й, Задача 10.8.
Покажите, что поправка к потенциалу в случае трехмерного движения нескольких частиц (которые мы будем различать по индексам; тв — масса ечй частицы) равна (10.58) На практике результаты етого вычисления оказываются не очень полезными. В большинстве задач (например, при рассмотрении газа сталкивающихся молекул) потенциал растет довольно быстро, так что на малых расстояниях происходит сильное отталкивание и вторая производная очень велика. В тех случаях, когда это не так, полученная формула может оказаться полезной. Ее преимущество состоит в том, что она допускает обобщение на члены более высокой степени точности. Задача 10.2.
Вычислите интеграл (10.55), воспользовавшись методами гл. 3 и, в частности, соотношением (3.66). Напомним, что все траектории в этой задаче имеют одинаковые начальные и конечные точки и для завершения вычисления интеграла необходимо проинтегрировать по всем этим точкам, а затем по всем значениям 7е, после чего решение с точностью до первого порядка по У" имеет вид Га. 10. Статистических механика Задача 10.4. Покажите, что поправка к функции распределения, учитывающая четвертую степень й, содержит множитель 2е ( )+8к720то[ ( )] 24х48то ( )+'''1 Мы уже видели, что для описания квантовомеханических эффектов можно вычислить функцию распределения по классической формуле (10.48), подставив вместо истинного потенциала У (х) модифицированное выражение У + (рао/24ле)У".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
