Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 63
Текст из файла (страница 63)
10. Статистииеекал мехаиика ного числа атомов (в кубическом сантиметре жидкого гелия содержится 10аа атомов), то вклад от множителей вида у' должен быть исчезающе малым. Однако это первое впечатление не учитывает сото обстоятельства, что прн этом возникает огромное число (г!) возможных перестановок.
Поэтому малость влияния отдельной перестановки компенсируется их количеством. Другой вопрос, возникающий при описании жидкого гелия, касается типа перестановок, которые следует учитывать. Любую перестановку можно описать посредством цикла; так, перестановки 1 — 4, 4 — 7, 7 — 6, 6 — 1 образуют цикл. Вопрос состоит в следующем: длинные или короткие циклы являются существенными? Внимательное исследование показывает, что прн умеренных температурах важны только простые перестановки двух атомов. С падением температуры становятся существенными циклы из трех атомов, потом из четырех и т.
д.; но внезапно при некоторой критической температуре циклы с длиной, превышающей Ь, благодаря своему громадному числу компенсируют убывание величины у". При этой температуре становятся важными очень длинные циклы, в которых участвуют почти все находящиеся в сосуде атомы. В этой точке кривая зависимости теплоемкости от температуры терпит разрыв, и при более низких температурах жидкий гелий ведет себя весьма удивительно: он без всякого сопротивления протекает сквоаь очень тонкие трубки. Благодаря этому возникает бесконечно большая теплопроводность конечного объема жидкости и т.
д. Эти удивительные свойства представляют собой проявления квантовомеханических аФфектов, в частности интерференции амплитуд при аамене одного атома другим, приводящей к увеличению суммарной ампзитуды. Детали поведения теплоемкости в области температуры перехода не слишком надежны в смысле количественного описания, но качественно причина такого перехода ясна г). Выражение, аналогичное равенству (10.77), легко ааписать также и для фермионов, таких, как атомы Неа.
Однако в случае жидкого гелия-3 влияние потенциала очень сильно, что не позволяет производить точные количественные расчеты. Причина этого заключена в том, что вклад каждого цикла в сумму по перестановкам будет либо положительным, либо отрицательным в зависимости от четности числа атомов в цикле. Вклады таких циклов, как, например, Ь = 51 и ю = 52, при низкой температуре прибли- ') Более подробное обсуждение функции распределения для жидкого гелия можно найти з статье Фейпмана (Рйуа. Кои., 91, 1291 (1953)). (Квавтовая теория сверхтекучести была в 1947 г.
разработана Н. Н.Боголюбовым (см. Вестник МГУ, 7, 43 (1947), а также монографию: Н, Н. Б о г о л юбо в, В. В. Толмачев, Д. В. Шарков, Нозыйматодвтеорвясверхпроводимости, АН СССР, 1958).— Прим. ред.) з й. Системы с есислипими переееенными вительно равны по модулю, а потому при суммировании онн почти сокращаются. Приходится вычислять разность близких по величине членов, а это требует очень аккуратного вычисления каждого члена в отдельности.
Известно, что знакопеременный ряд больших и медленно убывающих членов очень трудно суммировать, когда у вас нет точной аналитической формулы для числочлена. Мы могли бы достичь известного прогресса, если бы в математическом описании ферми-системы можно было переходить к сумме положительных членов. Подобные преобразования были испробованы, однако получающиеся при этом выражения для членов ряда оказываются слишком сложны, чтобы оценивать их даже качественно.
Мы видели, что в случае молекул, отстоящих друг от друга на расстояния порядка 1 А, эффекты обмена (нетождественные перестановки) существенны лишь тогда, когда температура снижается до нескольких градусов Кельвина. Рассмотрим противоположный случай — поведение электронов в каком-нибудь твердом металле.
Масса электрона намного меньше массы молекулы, и поэтому критическая температура для них оказывается значительно более высокой. При комнатной температуре электроны в металле точно описываются уравнениями, учитывающими лишь обменные эффекты описанных выше циклических перестановок. О этой точки зрения комнатная температура слишком низка для электронов.
Доминирующее значение имеют обменные эффекты, т. е. электронный газ является вырожденным. Конечно, электроны взаимодействуют в соответствии с законом Кулона, и это взаимодействие довольно сильное; однако поскольку оно является дальнодействующим, его влияние будет усредняться. Мы можем быть вполне удовлетворены приближением, в котором электроны считаются независимыми объектами, хотя реально каждый из них движется в периодическом потенциальном поле, создаваемом ядрами и соседними электронами. Тем не менее, уподобив электроны в металле идеальному ферми-газу (в котором отсутствует вааимодействие частиц), можно многое узнать об их поведении.
Однако ясно, что мы не сможем изучить это явление достаточно детально, поскольку в таком рассмотрении остается загадочной сверхпроводимость, возникающая в металлах при нескольких градусах Кельвина. При сверхпроводимости, по крайней мере у некоторых металлов, играет роль какое-то взаимодействие, связанное с медленными колебаниями атомов; это доказывается тем обстоятельством, что температура перехода для двух рааличных изотопов одного металла зависит от массы атома.
Массовое число изотопа не могло бы влиять на процесс, если бы переход обусловливался взаимодействием самих электронов или их взаимодействием с жестко фиксированными атомами. Поэтому прибли- 316 Га. 10. Статистические механика жение, в котором атомы фиксированы, следует считать неправильным. Но каким образом колебания атомов приводят к внезапному скачку теплоемкости, а ниже критической температуры делают возможной электрическую проводимость без сопротивления? Этот вопрос впервые был убедительно разъяснеп Вардином, Купером и Шриффером ').
Метод интегрирования по траекториям не сыграл в их анализе никакой роли; он фактически никогда не был полезеп при рассмотрении вырожденных ферми-систем. Закон Планка для излучения абсолютно черного тела. Легко получить функцию распределепия для любой системы взаимодействугощих осцилляторов. Такая система эквивалентна наоору независимых осцилляторов с частотами ю;. Величина свободной энергии Р для совокупности независимых осцилляторов равна сумме свободных энергий каждого из этих осцилляторов. Последние, как это видно непосредствепно из (10.69), равны (сТ)п(2зЬ 2 ) . Поэтому свободная энергия всей системы запишется в виде Р=/сТ ,'~~ )п(2зЬ вЂ”,' ) = (сТ ~', )п(1 — е ""~ )+~~1 — '.
(1085) 3 е Последний член в этом выражении представляет собой энергию основного состояния системы. В случае электромагнитного поля, заключенного в объеме $', число мод равно удвоенному количеству значений волнового вектора К; нулевая энергия при этом не учитьгвается. Следовательно, свободная энергия электромагнитного поля, отнесенная к единице объема, равна Р =(сТ ~ 2)п(1 — е-™~зт). (2я)з (10.86) Внутренняя энергия Г7 представляет собой частную производную от рР по р, и после подстановки ю = Кс принимает вид (10.87) Элемент объема в импульсном пространстве можно записать так: (10.88) с(зК = 4яК' ЫК = 4я — з с(ю. сз ') ). Ваге)ееп,Ь.
)Ч. Соорег,у.К. Вс)гг1е1(ег,РЬуэ.кеч., 106, 162; 168, 1175 (1957). (Математически корректная теория этого явления была одновременно разработана Н. Н. Боголюбовым как обобвгевие его работ по теории сверхтекучести; см. литературу в примечании на стр.
314.— Прим. ред.) Э о. О форавукировке основных аоконов теории Поэтому энергия электромагнитного поля, заключенная в области частот от ю до в + с)во, равна 24н Вв (2ис)в оижт (10.89) Это и есть хорошо известный закон излучения абсолютно черного тела, открытый Планком. Он явился первьвч количественным результатом квантовой механики, который описывал наблюдаемое явление, и был первым шагом к открытию новых законов природы. Другим триумфом на заре квантовой механики было объяснение Эйнштейном и Дебаем температурной зависимости теплоемкости твердых тел.
Эта зависимость тоже вытекает из соотношения (10.85), с той лишь разницей, что осцилляторами теперь должны быть нормальные моды кристалла, описанные в гл. 8. Подобно выражению (10.87), тепловая энергия в единице объема такого кристалла (без учета нулевой энергии) будет равна в ~,1 ехр (Ьо» 0с)/)сТ) ( (2н)а Зи мои где ю (й) — частота фонона с волновым вектором й. Во всяком кристалле У будет многозначной функцией (если в единичном объеме находится р атомов, то существует Зрю значений для каждого )г), и мы должны просуммировать по всем возможным со. Интегрирование по )в распространяется только на конечную область, соответствующую данному кристаллу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
