Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Цля атома гелия при температуре 2' К эта ширина порядка 0,7 А, однако прн комнатных температурах она составит не более 2о4 от 2,7 А (диаметр атома гелия). Величину б теперь можно записать в виде б— )е [И'(х) — )с(х)] (ехр [ — [)Ис(х)]) дх (И.24) ) (ехр [ — рИ'(х)]) дх Следующий шаг состоит в вычислении Л'(х), исходя иэ того, что в соответствии с выражением (И.13) мы должны получить наименьшее значение величины Р' — б. Значение Г' определено выражением Р— ~Е) = ~ евЯх(е)= ~ ~ехр ( — ~ — х'е[г — р]4е(х)~~ Ях(е)= о в = ~(ехр[-рИ'(х)]) ~ ( ехр~ — ~ — маей) ) ух(()г[х. (И.25) х фииеииао иаио 828 Гх.
11. Вариационныа метод Интеграл по траекториям здесь несложен и равен [Гт/2лр, так что получим ехр ( — []Е;) = )/ — ~ (ехр [ — рИ~ (х)]) еЫ. (11.26) Следующий шаг — оптимальный выбор функции И1 (х) — требует, чтобы мы определили влияние малых изменений функции И'(х) на значение величины Р' — б и приравняли его нулю. Поэтому, представив И~ в виде И И (х)+ц(х), найдем иа выражения (11.26) вариацию Р'.
(11.27) дЕ;= ]е Н (х) (ехр ] — ]]И' (х) П Нх ] (ехр] — рИ (х]]] ох (11.28) а из выражения (11.24) определим вариацию 6: дб— ] (ехр ] — рИ' (х)]](]]Ч (х) [И(х)] — И'(хЦ+Н (х)] ах ] (ехр [ — Э(У(х)]) лх х [И'(х) — У(х)] Нх ~ ]]е] (х) (ехр [ — ИИ'(х)]) е]х. (11.29) Для нахождения экстремального значения правой части вырахсения (11.13) необходимо, чтобы дЕ; — д6= 0, (11.3О) что имеет место, если выбрать И'(х) = К (х). (11.31) Это в свою очередь озпачает, что 6 = 0 и что функция Р' имеет такой же вид, как и классическая свободная энергия, определен- ная выражением (11.17).
Однако потенциал в выражении для Р' был заменен на К(х), поэтому ехр ( — рЕ;) = )/ — ~ (ехр [ — 9" (х)Ц дх, (11.32) где У (х) — эффективный классический потенциал, заданный выражением (11,24). При больших значениях р свободная энергия системы по существу совпадает с нижним уровнем энергии Ео, г Ю. Стандартный аариацианный нринцин 329 поэтому выражение (11.32) мы можем интерпретировать как аппрок- симацию Е,. Это означает, что вариационный подход приводит к тому же результату, что и подход, изложенный в гл. 10 (см. выражения (10.67) и (10.68)!.
д 3. Сгаандартный варнаг1гаонный н1гннг1игз В квантовой механике существует стандартный вариацнонный принцип, называемый методом Рэлея — Ритца. Он состоит в следующем: если Н вЂ” гамильтониан системы, у которой наименьшее аначение энергии равно Ею то для любой произвольной функции у имеет место соотношение Еэ~( ~ 1*Н(й(обьем) ( ~ у*Уй(объем)( (11.33) Это соотношение довольно легко доказывается и имеет весьма. широкое применение.
Если функция г разложена в,ряд по соб- ственным функциям гамильтониана ~р„, т. е. если ~ = Уа,~р„, то очевидно, что ~ 1'Н1й(объем) ~ ~ 1'1й(объем)1 = Х ~аа ГЕн ~Х (ла Р ~ и а (11.34) Последнее выражение является усреднением по значениям энергии (с положительными весами (а„~ ') и больше (или равно) наименыяему значению энергии Е,. Смысл соотношения (11.33) совпадает с содержанием выражения (11.13); фактически это соотношение является частным случаем выражения (11.13) (чтобы быть более точными, ограничим этот вывод теми случаями, в которых гамильтониан Н не содержит зависимости от магнитного поля; тогда наше заключение является вполне точным). Для иллюстрации связи между этими двумя соотношениями рассмотрим следующий пример.
Предположим, что действие Я соответствует лагранжиану вида (11.35) где потенциал г' (х) не зависит от г (в противном случае, конечно, не существует никаких стационарных уровней энергии). Ограничимся одной переменной х, но обобщение на любое количество их не составит труда. Здесь же отметим, что если лагранжиан содержит член хА (например, если лагранжиан описывает частицу в агнитном поле); то соотношение (11.33) все еще остается в силе, Га. 11. Вариационний метод хотя действие Е будет комплексным. Мы ожидаем, что в этом случае выражение (И.13) или же некоторые его простые модификации все еще останутся справедливыми. Однако это не доказано, поэтому ограничимся случаем, когда никакого магнитного поля нет.
Тогда в пределе при больших значениях р будем иметь а Р ~ (ехр [ — ~ — тх' е[Е+ ~ )е [х (С)] Нг ~ ) Ях (Е) — ехр (- [)Ео). (И.36) о о Предположим теперь, что в качестве пробного мы используем действие Р Р Е' = ~ —, тхойг — ~ й' [х (С)] е[1, (И.37) о о которое содержит некоторый новый потенциал У'(х). Это означает, что (И.38) (И.41) = ~ ф„'о (х) 1 (х) ф' (х) Нх.
(И.42) или Р б= — ')ее'р') (К[х(~)] — Г [х(е)])е[еЯх(1) [ ~ее'Ях(е)[ . (И.39) о Если бы нам было нужно определить среднее значение любой функции, которая зависит от траектории х(г) таким же образом, как и в данном случае усреднения, то мы обнаружили бы, что это среднее значение слабо зависит от г, пока г не очень близко к нулю или к [). Поэтому с достаточной точностью можно написать б= — ) ез'(е'[х(е)] — Г [х(е)]) Ях(е) [ ') еэ'Ях(1)1 =(У [х(г)] — Ъ" [х(1)]).
(И.40) Следуя методам, изложенным в гл. 2, можно вычислить этот инте- грал по траекториям в предположении, что известны функции ф„' и значения энергий Е„', соответствующие Я'.,Пусть, например, наша траектория проходит между точками х, и хз; вэтом случае (1 [х (е)]) = ',~~~ (ехр [ — (р — е) Е' О Х Х [ехр ( — 1Еп)] фн (хз) фт (хе) унт Х Х (~ [ехр ( — рЕ„')] ф„'* (хз) фн (х,))-', п З" Ю. Стандартный аариацианный иринции Если ясе р стремится к бесконечности и г тоже велико (например, 8 =р/2), то все экспоненты будут пренебрежимо малы по сравнению с экспонентой, содержащей наименьшее значение энергии Ка. Таким образом, в пределе 11ш (7) =У (И.43) З ы Этот результат можно записать в виде б = — ~ фГЧ'(х) ф', йх+ ~ фа*т' (х) ф, 'й .
(И.44) Мы, конечно, должны вычесть зту величину из Е;. Однако если Н' — гамильтониан, соответствующий действию Я', т. е. если Н = — Р'+Р(), (И.45) то Н фа Еафа~ (И.46) так что Е; — 6= ~ ф,"Н'ф,'дх+ ~ ф,'Кф,'с(х — ~ ф,'"Гф,'Их. (И.47) Но точный гамильтониан можно записать в виде Н= 2' + р= —," +Р'+ р — Р'=Н'+У-У, (И.4З) а это означает, что Еа < ~ р,*Нф,' (х, (И.49) где ф,' — нормированная волновая функция, соответствующая низшему энергетическому состоянию системы с гамильтонианом (И.45). Отметим, что оценка наименьшей энергии (И.49) зависит от произвольного потенциала г" (х) только лишь через волновую функцию ф,'.
В силу неопределенности потенциала произвольной является и функция ф,'. Поэтому вместо того, чтобы подбирать потенциал Г, находить по нему соответствующую волновую функцию и потом переходить к вычислению соотношения (И.49), мы могли бы подобрать волновую функцию и нотон вычислить правую часть (И.49), совершенно не заботясь о потенциале, которому отвечает эта волновая функция. При таком подходе переменной является скорее волновая функция ф,', а не потенциал У' (х).
Отсюда видно, что полученный результат — просто другой способ толкования соотношения (И.ЗЗ). Если бы все задачи были такими, как в данном примере, когда оказывается применимым выражение (И.13), то не возникало бы оснований для столь длинных рассуждений, Однако существуют Га.
11. Вариаэианный маааад значительно более сложные интегралы, для которых выраягениэ (11.13), по крайней мере в той степени, насколько мы можем сейчас об этом судить, не столь просто преобразуется к соотношению (11.33). Такой пример мы рассмотрим в следующем параграфе. у А Медленные электроны в монггом криста.г,ге ') Пусть электрон движется в ионном кристалле, например в кристалле хлористого натрия. При этом он взаимодействует с ионами, которые не являются жестко закрепленными, и создает вокруг себя искажение кристаллической решетки. Вели электрон движется, то область возмущения перемещается вместе с ним.
Такой электрон вместе с возмущаемой им окрестностью был назван лоллроном. Вследствие возмущения решетки энергия электрона уменьшается. Кроме того, поскольку электрон перемещается и попы должны двигаться согласованно с возмущением, то эффективная масса электрона (или, применяя общепринятый термин — масса полярона) превосходит значение массы, которое получилось бы, если решетка состояла бы из ягестко закрепленных точек. Точный квантовомеханический анализ движения такого полярона чрезвычайно сложен, и мы сделаем некоторые допущения, удовлетворить которым в реальном случае, вероятно, весьма трудно. Тем не менее мы вслед за рядом физиков будем рассматривать такую идеализированную задачу [9[ не только потому, что она, возможно, отражает реальное поведение электрона в кристалле, но также и потому, что она является одним из простейших примеров взаимодействия частицы и поля.
Вариационный метод вычисления интегралов по траекториям оказывается в этом случае весьма плодотворным. Сначала отметим, что даже если бы ионы были жестко закреплены в кристалле, тем не менее электрон двигался бы в очень сложном потенциальном поле. При этом можно показать, что существуют решения уравнения Шредингера для электрона с определенными волновыми числами й. Энергетические уровни в этих решениях обычно являются весьма сложными функциями волнового числа. Тем не менее мы нредпололгнм, что связь между энергией Е и волновым числом [г квадратична: Е= —, (11.50) где вг — постоянная величина, не обязательно равная массе электрона в вакууме.
Далее заметим, что при воздействии злектро- ') См. работу [8[. е а. Медленные влектроны в ионнолв кристалле то плотность заряда ионов равна Р = 7 Р = /саксов.е. Если У вЂ” потенциал, то (11.52) РеР=р, (11.53) Поэтому если а„— амплитуда а-й продольной бегущей волны, то поляризация ак пропорциональна ае и взаимодействие между волной поляризации и электроном пронорцинально сумме членов вида (акен) ехр (Рй х) по всем й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
