Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 69
Текст из файла (страница 69)
аналогичны аргументам функции распределения многих переменных. Вероятность обнаруясения заданной кривой можно понимать теперь как вероятность получения заданной системы величин 12, 12,... в интервале 221м 2212,..., т, Ое Р (12, 12,...) 22122212, .... Если затем пОдОЙти к пределу, устремляя число дискретных интервалов времени к бесконечности, то получим вероятность обнаружения непрерывной кривой 1 (8) в интервале ес21 (г), стоящую под знаком интеграла по траекториям в выражении (12.3), Определенный таким образом функционал вероятности и соответствующий вероятностный подход мы будем использовать далее в этой главе. у й.
ь арптстеристмчесееие 4утэмц2222 Полезно и дальше использовать аналогию между функционалом вероятности траектории и более привычной функцией распределения. Оба эти подхода имеют некоторые общие понятия, например понятие среднего значения. В случае обычных функций распре- ни, например напряжения на вольтметре или цены на товар, или, в случае двух переменных, какова вероятность формы поверхности моря как функции широты и долготы? Все это приводит нас к необходимости рассмотреть вероятность некоторой функции. Запишем это так. Вероятность наблюдения функции 1 (г) есть функционал Р (1 (~)).
При этом следует помнить, что вопросы относительно такой вероятности имеют смысл, только если определить интервал, внутри которого мы ищем определенную функцию. Так же, как в приведенном выше примере, мы должны были спросить: какова вероятность найти конец временнбго промежутка внутри интервала Агг Теперь аналогично следует спрашиваттс какова вероятность найти функцию в пределах некоторого более или менее ограниченного класса функций (например, среди кривых, заключенных между точками а и 6) в течение всего времени интересующего нас хода событий7 Если мы назовем такую совокупность функций классом А и спросим, какова вероятность найти функцию 1 (с) в классе А, то ответ записывается в виде интеграла по траекториям Гл.
12. )Врувие аадачи теории вероятностей деления дискретных величин, когда вероятность обнаружения некоторого числа и равна Р„, среднее значение определяется как и= ~~ иР„. и=1 Для непрерывно распределенных переменных х = ~ хР(х)с(х. (12.5) Аналогичным образом среднее значение функционала () (1 (1)) определим как ) 0 У(1В РУ(1)) М1(1) ) РИтт(1) (12.6) ~д ( (! ( )) Р И (1)! ~Ч (1) ' И (1В З1(1)' (12.7) Одним из наиболее важных случаев усреднения функций согласно (12.5) является вычисление среднего значения ев"". Это среднее значение называется характеристической функцией и равно ср()с) =(ево") = ~ еы Р(х) свх. о (12 ей) Иногда эту функцию называют также производящей функцией для моментов. Она представляет собой просто преобразования Фурье для Р (х) и очень полезна для оценки различных характеристик распределения, так как ее наличие зквивалентно заданию В последнем соотнощении, как и в гл. 7, мы включили в знаменатель интеграл по траекториям, который напоминает нам, что мы всегда должны иметь дело с проблемой нормировки.
В принципе можно было бы с самого начала вычислить интеграл по траекториям от функции распределения, приравнять его единице и определить нормировочную постоянную. Однако во многих практических случаях удобнее оставлять функцию ненормированной, просто сокращая числовые множители в числителе и знаменателе выражения, которые сами по себе могут оказаться крайне сложными для вычисления. Средний квадрат функции в заданный момент времени, например при 1 = а, так же как и среднее значение функции, можно выразить через интегралы по траекториям. В атом случае получается функционал г 3. Характеристические функции самой функции распределения. Последнее вытекает из возможности выполнить обратное преобразование е Р(х)= ~ е ы"ер((с) ей.
(12.9) Ф [/с(~)[ = ' .. (12.12) ~ р [( (г)) я( (г) Этот характеристический функционал также обладает важными специальными свойствами. Например, Ф (0) = 1, а среднее .значе- ние функции ~ (г), вычисляемое в некоторый момент времени ~ = а, равно (~(а)) = — 1 — „Ф [й(~)[ ~ б (12.13) где используется функциональная производная, определенная в$2гл.7. В принципе можно выполнить обратное интегральное преобразование Фурье по траекториям и записать вероятностный функ- Некоторые важные параметры етого распределения можно определить, вычисляя производные характеристической функции. Так, например, среднее значение х равно (12 10) что легко показать, дифференцируя обе' части равенства (12.8) по 7с и полагая затем 7г = О. В самом деле, существует последовательность соотношений ер (0) = 1, ер' (0) = Е(х), ер'(О) = — (х'), ...
(12. 11) Следующий наш шаг состоит в обобщении понятия характеристической функции на случай функционального распределения. Математическое определение такой характеристической функции можно построить, снова возвращаясь к нашей картине дискретных интервалов времени; затем куя<но выполнить преобразование Фурье для функции распределения большого числа переменных, испольауя ядро ехр (екД) ехр (екА).... При переходе к пределу бесконечного разбиения временнь';х интервалов ядро превращается просто в ехр П ~ й (г) ~ (е) е[е).
Это и есть функционал, среднее значение которого мы хотим вычислить для построения характеристического функционала. Используя равенство (12.6), получаем Гл. Е2. Другие задами гаеории зероятиоетей ционал в форме Р [е (2)1 = ~ е '~ ~"~~'~"'Ф [й (Е)) Юге (Е), (12.14) где интеграл по траекториям берется в пространстве функций Ее. Для дальнейшего использования заметим, что если функция Е (Е) всюду совпадает с некоторой заданной функцией Р (Е), т. е. Р [Е (~)[ равен нулю для всех Е'(Е), кроме Р(Е), то характеристическая функция имеет вид ганг>рог>аг (12 15) гЭ=ехр ~г ~ й(Е) р(Š— ЕЕ) й~~. г=г (12.16) Предполоя1им теперь, что до проведения эксперимента мы хотели бы определить вероятность наблюдения вполне определенного изменения потенциала с течением времени. Допустим при этом, что и событий равновероятно распределены по всему интервалу Т, т. е.
что вероятность события в интервале времени е[8 равна е[геТ. В этом случае характеристическая функция окаэы- Используем теперь развитые выше идеи для изучения конкретных примеров и в ходе этого выработаем несколько новых понятий. Пусть мы проводим эксперимент, в котором считаем сигналы некоторого типа, например импульсы, создаваемые космическими лучами в счетчике Гейгера, или импульсы теплового шума в вольтметре. В таких случаях импульсы проявляются не просто как резкие дискретные всплески энергии, а характеризуются нарастанием и спадом потенциала. Внимательное изучение реального изменения потенциала, вызванного такими импульсами, показало бы, что для сигнала, пришедшего в момент 2, оно имело бы форму д (Е). Точно так же, если бы сигнал приходился на момент Ф = Ео, форма потенциальной кривой была бы д (Š— 8о).
Далее предположим, что мы проводим наши измерения в интервале времени Т, в течение которого регистрируются импульсы с центрами в моменты е,, Ею..., е„. Полное изменение потенциала в течение всего эксперимента было бы ~ я (Š— Ее). Так как г=г нам известно, когда произошли все события, то наша функция распределения просто должна выражать достоверность.
Используя равенство (12 15), получаем соответствующую характеристическую функцию вается равной Ф= ~ ехр ~о '5', й(о) д(г — т~)й~ —" — ' о о=1 т = (~ ехр (1 ~ )о(~+з) ЛР) а)Г~ — ', ~~- о (12.17) Обозначим выраяоение в скобках через А и запишем результат как А". Если число событий в интервале времени распределяется так, что применимо распределение Пуассона, т. е. наступление любого события не зависит от момента наступления других событий и имеется постоянная скорость р появления среднего числа событий за единицу времени, то среднее число событий, происходящих за время Т, равно р,Т = и и характеристическая функция -и оР ~~~ Ао о — д (12.18) и Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложе- ние экспоненты от (А — 1)и, так что характеристическую функцию можно записать в виде Ф =о — н-")"=ехр ~ — )оТ (1 — ~ (о 1~к+оно~') — ) 1 = о т = ехр ( — )о ~ (1 — е'О" '"' ' ') Ио ) .
а (12.19) т т ехр ( ор ~ ~ я (о+о) д(г) Ю Ыг~ = ехр ( 1)гС ~ я (о) о(о ), (12 20) а о а где через С = ~ д (о) Ыо обозначена плошадь сигнала. Это озна- Таким образом, можно теперь вычислить характеристическуао функцию для многих различных случаев. Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев, где можно использовать простые приближения.
Допустим, что сигналы очень слабые, а их среднее число за единицу времени велико. В этом случае д (г) мало и, разлагая экспоненту ехр П ~ й (г+ г) я ($) ой) в степенной ряд, можно аппроксимировать характеристическую функцию выражением Гл. 1З. друвие садани теории вероятностей чает, что характеристическая функция Ф выражается в виде (12 15) с Г (Г) = рвв (постоянной, не зависящей от 1), а зто эквивалентно достоверному утверждению, что ~ (1) совпадает с (еб, или, другими словами, вероятность равна единице при наблзодении функции ~ (1) = рве и равна нулю при наблюдении других функций ~ (г). Таким образом, совокупность большого числа малых слабых сигналов порождает почти постоянный потенциал, величина которого равна произведению числа сигналов аа 1 сел на среднее значение потенциала сигнала.
Перейдем теперь к приближению более высокого порядка и изучим флуктуации около этого постоянного потенциала. Равенство (12.20) дает первое приближение экспоненты ехр (в ~ й ($ + е) я (в) в1в) в выражении для характеристического функционала (12.19). Допустим теперь, что мы переходим к следующему приближению и учитываем члены второго порядка в виде ~ ~ Ус(е) л(ю — е) еИ ~ й(с') б(с' — е) еве' е)в. (12.21) Чтобы получить более простое выражение, введем функцию, определяющую степень перекрытия двух соседних сигналов, ) (т) = ~ а И) й (~+ т) г. (12.22) Эта подстановка приводит член второго порядка к виду т т — -",— ~ ~ й(т)йр р(г — ~)а И'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
