Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Все параметры распределения можно вычислить иэ характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7. Здесь мы изучим более детально некоторые фиэические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т. е. изучим распределения с характеристическим функционалом Ф= хр~ — — '~ ~ 7с(1И(г')А(г — г')дгдг'~ . (12.43) Функция А (т) называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции 1(в) равна 1 У (г)) = ехр ~ — — ~ ~ 1(1) У (г ) В (г — г') Йт аг ~~. (12.44) В последнем выражении появилась функция В, обратя л по отношению к корреляционной функции А.
Это означает, что В (г — г) А (г) йг = 6 (г) или, если бв (ю) = ~ А (т) ев"в ат (12.45) является преобраэованием Фурье от функции А (т), то преобрааование Фурье от функции В (т) равно 1/ гг(ю). Мы начнем с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12ЛЗ), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением Ц(а)) = — 1— (12.46) В этом выражении, согласно $2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна — = ( — ~ 7с(г)А(с — а)й ) Ф (12.47) и обращается в нуль, если й (г) = О. Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты а и Ь.
Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равен- Га. 12, Другие аадачи теории вероятнсстей ства (12А2), имеем (У( ) У(Ь» = — „,',,'~„,ц, = А(Ь вЂ”.) ф— — ( ~ сс(с) А(с — а) с(с1 ) ~ Ус(с') А(г' — Ь) сй' ) Ф. (12.48) Вычислив зто выражение для й =- О, получим просто А (Ь вЂ” а).
Отсюда ясно, почему А называется корреляционной функцией. й б. Стсектп1т мст1лсп Наиболее употребительная характеристика распределения шумов — зто спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от фурье-образа шумовой функции, т. е. от у(ю)= ~ 1(с)е' 'ссс. (12.49) Используя наши предыдущие результаты, можно найти () ср(сз)(з) =' ( ((а)еь" с(а ( ~(Ь) е-'"'ссЬ~ = ',д д ~' (с (а) с (Ь)) е™п-и сса ссЬ = ~ ~ А(Ь вЂ” а) езс<'-Ю с~а дЬ=- ~ У (ю) с(а. (12. 50) (12.51) Мы можем применить некоторые из этих общих результатов к нашему специальному примеру шума, вызванного множеством малых сигналов.
Корреляционная функция в этом случае — зто просто функция (сХ (т) из формулы (12.22), т. е. А(т) =)с ~ у(с) л(~+т) дт. (12.52) Это означает, что функция мощности, называемая обычно спектром Здесь мы использовали функцию У (се), фурье-образ корреляционной функции А (см. выражение (12.45)). Если проинтегрировать в последнем иа равенств (12.50), то получится бесконечный результат. Поэтому среднеквадратичную величину, которую мы хотим найти, можно определить лишь для некоторого конечного интервала времени.
Если взять единичный интервал времени, то можно сказать, что средняя мощность в расчете на 1 сея У (со) = среднее аначение ~ср(сз)~', е е. Сеектр астма мощности, так как она определяется частотой, равна л (в)=р ~ а(е)а(е+т)еа'с(тв=р1у(в)1е, (12.53) где у (а) — фурье-образ функции сигнала д (1). В нашем случае этот простой результат можно истолковать непосредственно. Если сигналы приходят в моменты г;, так что 7 (1) = 2 е (à — Г,), то фурье-образ ~ (г) равен р (в) =- ~ у (а) е'"" .
Таким образом, среднее значение квадрата у(в) ((а (а) 1') = ) 2„' ~ у (в) 1' е'">с';-',о (. (12 54) ьэ А так как моменты Г~ случайны и независимы от 1 для 7'~ 1, то при усреднении ни один из членов с 1 чь у' не дает вклада, так как среднее значение ехр (1а (8; — 1,)1 равно нулю: остаются только члены с 1=у. Ках;дый из них равен 1у (в)1', а общее их число рТ, так что средняя величина1 ф (в) 1 ' в расчете на 1 сек равна р 1 у (в) 1 '.
В частном случае, когда характеристическую функцию можно аппроксимировать функцией белого шума из (12.25), А (г — 1') = = сопз$ б (г — г'). Это означает, что д' (в)не зависит от а н при всех частотах на единичный интервал частоты приходится одинаковая «мощность» [средняя величина 1~р (в)1 ' в расчете на 1 сек1.
Рассматриваемые распределения очень удобно описывать, задавая распределение вероятности не для 7 (Г), а прямо для ее фурье- образа ~р (в) и выражая характеристический функционал не через й (с), а через его фурье-образ К (в): К(в) = ~ й(1) е-™Ж. (12.55) Используя зто представление, можно записать характеристический.
функционал для распределения шума, соответствующего равенству (12.43), в следующей форме: ф -Ый) ~хад2Ю(в)ее/2е (12.56) где выражение, обратное (12.55), подставлено непосредственно в (12.43). При этом функционалу (12.56) соответствует вероятностный функционал Р = е (12.57) Этот результат можно получить непосредственно из выражения Гл. И. Друеие еадаии теории еероитиоетея 12.56). Для этого заметим, что ))М))))))е) ))х)и)э!и)еи/2л (12.58) Тогда в соответствии с определением (12.14) получим Р= ~ Фе ')~~")э'")~"~~"УК(в). (12.59) Если теперь допустить, что возможны лишь дискретные значения в, разделонные бесконечно малыми интервалами )ъ, то интегралы в показателе экспоненты (12.56) и (12.57) можно заменить суммами Римана. При атом наши интегралы по траекториям примут вид Р= П ~ е )ам))щи))ио )и)с)ах<и)э<и)с)К(в).
(12.60) Интеграл нри каждом значении в вычисляется независимо (выделением полного квадрата). В результате имеем — В/2дч)и))е Пе (12.61) Объединив отдельные множители в этом произведении, получим функционал (12.57). Ясно, что все происходящее на одной частоте не зависит от происходящего на других частотах, а величина сигнала с частотой в, )р (в), распределяется по гауссову закону со средним квадратом, пропорциональным У (в). й 6. Броутсоэсмое двт)жетэтее Как правило, метод интегралов по траекториям на практике не облегчает решение задачи, если она не может быть решена другим способом.
Тем не менее каждый, кто до сих пор следил за нашими рассуждениями и знаком с интегралами по траекториям, признает этот способ выражения очень простым, если дело касается вероятностных задач. Рассмотрим влияние броуновского движения на некоторую линейную систему, например гармонический осциллятор с затуханием, возбуждаемый случайно изменяющейся силой 7" (т).
Допустим, что масса осциллятора равна единице. В этом случае необходимо решить уравнение х — ух+ в,'х = 7 (е), (12.62) где х (т) — координата осциллятора, Если функция ~ (~) определяется заданным распределением вероятности Р) (7' (г) ), то каким окажется вероятностное распределение Р„(х (1)) для различных у б.
Вроуыовское движение возможных траекторий х (г)? Уравнение (12.62) связывает координату х и силу Т, т. е. для каждого значения?(8) существует х (1). Следовательно, вероятность обнаружить заданную функцию х такова «ке, что и вероятность соответствующей функции?, т. е. Р„(х (г)) Ух (г) = Рг Ц (г)) У~ (г), (12.63) где величина х связана с? уравнением (12.62). В общем случае нужно быть осторожным при переходе от Ух (1) и У?' (1), так как вр и г. е2Л. Движение быстрой частицы перпендикулярно пластинке веще- ства толщиной Т. Пройдя толщину Г в валравлснии вервовачального движения, быстрая частица вследствие вааимодействий с ядрами вещества отклоняется на рассгоявие х.
В конце концов ова вылетает ие лластинки на расстоянии Э от точки х =б, в которой она вылетела бы кри отсутствии вваимодействий, и движется лод углом О к лсрвовачальиому направ- лению. тут существует зависимость, аналогичная якобиану преобразования элементарных объемов. Однако если 1 и х связаны линейно (как это имеет место в нашем случае), то этот якобиан равен константе. Таким образом, как и в обычном методе интегралов по траекториям, если имеется уверенность в возможности нормировать результат, то Р„(х (г)) = сопев Рг (х — ух+ ю,'х), (12.64) что дает формальное решение нашей задачи.
Если Рг представляет собой гауссово распределение, то и Р„имеет такой же вид. В этом случае аадача может быть решена многими способами, причем самый очевидный из них — разложение в ряд Фурье при условии, что ю,',и у не зависят от времени. Многие задачи в какой-то степени можно поставить и частично решить, исходя иэ уравнения (12.64). Рассмотрим конкретный пример.
Быстрая частица пролетает сквозь вещество и вблизи ядер претерпевает резкие, но небольшие по величине изменения скорости. Какова вероятность того, что, пройдя толщину Т, часгица отклонится на расстояние ее от первоначальной прямолинейной траектории и будет двигаться под углом 6 к ней, как это пока- вано на фиг. 12 1? Гл. 1о. Друвис задачи теории вероятностей Предположим, что взаимодействие не приводит к заметному уменьшению продольной скорости частицы и вещество, сквозь которое проходит частица, однородно. Далее, допустим, что угол 0 всегда мал и что движение представляет собой результат очень большого числа взаимодействий, каждое из которых дает малый эффект. Допустим также, что среднее число столкновений в слое бесконечно малой толщины дд равно )в и что в каждом столкновении происходит отклонение на угол Л, определяемый распределением вероятности р (Л) ЫЛ; пусть этому распределению соответствует среднеквадратичное отклонение Л'р(Л) дЛ вЂ”.ае (12.65) налом Ф = ехр ( — [г ~ (1 — И' [)е (е))) с[е), (12.66) где И' [ы[ = ~ р (Л) евой е(Л (12.67) Заметим, что среднее значение углового отклонения Л считается равным нулю, а сами эти отклонения предполагаются малыми.
Если теперь разложить ее(ео), так что И'[ео)= ~ Р(Л)(1+сыЛ вЂ” — Л'+...) ЫЛ, (12.68) и ограничиться только членами не выше второго порядка по Л, т. е. положить Из[а[=-1 — созна!2, то функционал (12.66) будет (мы будем обозначать рое через Л). Ограничимся изучением проекции движения на двумерную плоскость, содержащую первоначальный путь частицы. Движение в плоскости, перпендикулярной ей, будет происходить аналогично, а движение в любой из плоскостей можно рассматривать независимо друг от друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
