Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Разложение этого вклада с точностью до величины первого и второго порядков малости относительно взаимодействия с отдельным атомом приводит к функционалу влияния гауссова типа. Как иллюстрацию этого заключения, рассмотрим влияние металлического образца, находящегося в объемном резонаторе. Это влияние можно просто, в линейной форме, выразить одной функцией импеданса, несмотря на всю сложность поведения электронов в металле.
Функционал влияния металла () на объемный резонатор д близок к гауссову, и в атом смысле металл эквивалентен некоторой системе гармонических осцилляторов, которая приводила бы к тому же самому функционалу влияния. Наиболее общий экспоненциальный функционал с линейной зависимостью от координат д (1) и д' (с) имеет вид Р[о (~), д'(О) =ехр (1 ~ д(К) й(е) сне — 1 ~ о'(е) У(г) е(е~, (12.98) где в' (с) и У (с) — произвольные комплексные функции. Однако, чтобы оказаться функционалом влияния, он должен удовлетворять пяти перечисленным правилам.
Правило 1 требует, чтобы У (1) = У* (й), а из правила 11 следует У (Г) = Т~ (1), поэтому У З 8. Функционалы алкании и К должны быть равными и действительными величинами. Таким образом, согласно правилу У, самый общий линейный функционал эквивалентен действию классического внешнего потенциала. Нет необходимости обсуждать этот простой случай далее; онанализируетсядоконца, если добавить член д(г) У(г) к гамильтониану невозмущенной системы. Если в показателе экспоненты содержатся и квадратичный и линейный члены, то последний можно выделить в отдельный множитель, так что правило г'т' позволяет нам утверждать: в данном случае действует классический потенциал плюс эффект чисто квадратичпого функционала. Самый общий экспоненциальный функционал, квадратичный относительно своих аргументов, имеет вид Р[д(г), д'(г)]=ехр ~ — ~ ~ [а(г, г)д(г)д(г)+3(г, г)д'(г) д'(г) + +у(г, г') д(г) д'(г')+ б(г, г') д'(г) д(г')] кг гг') (12.99) с произвольными комплексными функциями а, р, у и б.
(Эти функции достаточно определить только для г) г'.) Интегралы берутся здесь по всему интересующему нас интервалу времени, однако мы всегда выбираем г ) г', это не ограничивает общности и удобно для дальнейшего анализа. Чтобы функционал оказался функционалом влияния, мы должны в соответствии с правилом [ положить р (г, г') = а' (г, г') (12ЛОО) и у (г, г') = ба (г, г'). (12Л01) Правило 11 дает нам больше информации.
Если положитьд (г) = = д' (г) для г ) а и г' ( а, то выражение ~ ~ [а(г, г')д(г)д(г')+5(г, г')д(г)д'(г)+ а + у (г, г') д (г) д' (г') + Ь (г, г') д (г) д (г')] ггг г[г', (12Л02) составляющее часть равенства (12.99), не должно зависеть от д (г) при произвольных значениях д (г') в области г - а и д' (г') в области г' ( а. Для этого необходимо, чтобы б (г, г') = — а (г, г'), у (г г') = — [) (г г') (12.103) до тех пор, пока г ) а и г' ( а. А так как а — произвольная величина, то условия (12.103) должны выполняться для всех г и г'„если только г) г'.
Гл. 13. Друеие аадачи теории ееролтноотей 370 Отсюда следует, что самый общий гауссов функционал влияния аависит только от одной комплексной функции ее (Г, 1') и выражается в форме ! ехр ~ — ~ ~ [д(1) — д'(г)) [д(г)х(г, г') — д'(Г')еео(Г, Г')) йяе7Г')е. (12.104) ~ еюоо1 [ — ~ ~ ее(~, Т)д(г)д(г')й' й~ Уд(~) и представляет гобой матричный элемент е ~ — ~ ~ и (1, б) д (1) д (1') е[Г' ой~. = — 1 $ „(д(х)д(ю'))„(ю, г')ж'й (12.105) (см.
гл. 4). Интеграл по Уд' равен просто ~ еш1очУд' и комплексно сопряжен матричному элементу (1)„. Рассматривая аналогичным способом другие члены, получаем полную вероятность В случае когда и (е, 1') — действительная функция, например, равна А (1, 1'), паш функционал эквивалентен экспоненцнальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах а — комплексная величина. Важным частным случаем является функция ее, зависящая только от разности 1 и Т, а (~, 1') = а (1 — ~'). В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усредненные свойства которой не зависят от абсолютного времени.
Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12Л04), найдем вероятность того, что система д переходит из энергетического состояния и в некоторое другое ортогональное состояние т за время Т. Предположим, что а очень мало и мовене использовать теорию возмущений. Если разложить о, определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний.
Следующий член, линейный по а, состоит из четырех частей. Одна из них это ~ ) а (е, 1') х х д (1) д (е') о)е' Н$. Если подставить ее вместо г' в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при ор .= уо и )( = ор, то видно, что интеграл по Уд (е) н Уд' (~) разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по д имеет вид 1 В. Функционал слал»ил З71 перехода Р(п — эт)= ~ ~ [ — а(д ~') (д(с)д(е')>, (1>„— — аа(1, С')„,(1>»т(д(С) у(е')>»+аа(Г, С')т(д(1)>»т(у(Е)>»а+ +ш(1е С ) т(Д И)>в т(д(1')>»[ И ой.
(12.106) Если состояния т и и ортогональны, то (1>„= 0; если же действие Я [е>[ соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями Еы то т(у (г)>» = д е-"л В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряженных друг с другом, так что 8 Р(п — эт)=2йе ~ ~ а(с, Е)е-цв -в»д' еое[с'о[с. (12.108) (12.107) Задача 12.8.
Проверьте, что для т = и в соответствии с законом сохранения вероятности Р (т -е- т ) = 1 — ~ Р (т -» и). Для однородной по времени среды а (е, 1') = а (1 — т'). Предположим, что мы определили преобрааование Фурье а(т)= ~ со(т)е- тс[т (12.109) о [а(1) не определена для ~(0). Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность перехода Р(п-+ т)и» 1 се»= 2ар (Ет — Е») [ у»т ~~е (12,110) где мы выделили действительную и мнимую части а(т): а(т) = ав(т)+ [аг (т). (12.11Ц и в первом порядке по возмущению [скорость перехода 膻т) = [скорость перехода т — э и[.
(12.113) Можно отметить также, что для возмущения, вызываемого. классическим потенциалом, соответствующим гауссову шуму, а (т) — действительная функция [см. (12.87)[, а действительная часть а (т) является спектральной функцией мощности шума, определенной соотношением (12.32). Следовательно, для таких классических шумовых систем ав (т) = ав ( — т) (12.112) Гя. 23. Друвис вада«и теории вероятностей 372 Обе скорости пропорциональны мощности Р (е») при значении еэ, равном частоте перехода. Таким образом, классические потенциалы с равной вероятностью вызывают переходы вверх и вниз. Другой интересный пример представляет среда, которая не может с какой-либо заметной вероятностью возмещать энергию. Например, если первоначально она находится в основном состоянии или при нулевой температуре.
Мы назовем такую среду «холодной». В этом случае переходы системы д с возрастанием энергии (Е ) Е„) маловероятны. Следовательно, для систем в холодной среде ав(т)=0 при т)0 (12.114) и в первом порядке по возмущению [скорость перехода л †; т) = О, если Е ) Е„. (12.115) Так как любая функция а (т) может быть представлена суммой двух величин [величины, определяемой соотношением (12А12), и величины, определенной в (12.114) [, то очевидно, что любой не зависящий от времени гауссов функционал эквивалентен системе в холодной среде, подвергающейся воздействию флуктуирующего классического потенциала, описываемого гауссовым выражением. Этот вывод следует из правила [Ч и того факта, что произведение двух гауссовых функций тоже есть гауссова функция. Если воздействие одной среды на систему представляется функцией А, (Г, г'), как это сделано в соотношении (12с87), а воздействие другой среды — аналогичной функцией А» (г, г'), то единственный член взаимодействия в парциальном результирующем гауссовом функционале равен Ав+ А».
р 9. Функционал вл«аяння гат»р«оннчеоесого осцт«лоьятпот»а Е 03)ис 2 ~ И(г)'+ '0(Г)Ч (г (12.116) Тогда Е [д М, р' (1)) = ',Е ~ ~ ехр(' ~ — 0 И)'+ — еэ'О(г)'+ Ниже мы дадим пример того, как из выражения (12.90) можно вывести функционал Р для среды, состоящей из гармонических осцилляторов с координатами е',е. Осцилляторы находятся в основном состоянии и их координаты линейно связаны с координатами с, взаимодействие описывается членом Яе (о, е",е) = С ~ д (1) Ч(г) И. Будем считать, что все осцилляторы имеют единичную массу и собственную частоту е», так что л р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
