Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Например, мы интересуемся переходами в атоме, который находится в электромагнитном поле и может излучать. Тогда исследуем только состояние атома и не будем непосредственно измерять его излучение; в этом случае д — атомные координаты, а (е — координаты поля. Если же мы проводим исследование иначе, т. е. наблюдаем только излучение атома, испускаемое, поглощаемое или рассеиваемое, но не измеряем никаких величин, непосредственно описывающих атом, то можно опираться на наш предыдущий анализ, причем теперь г,г — атомные коордипаты, а д — координаты электромагнитного поля.
Если, например, нам хочется рассмотреть теорию коэффициента преломления, то д — снова переменные поля, а переменные (г описывают тело, через которое проходит свет. В качестве еще одного примера предположим, что нужно исследовать поведение электрона в кристалле (или иона в жидкости), причем экспериментальные данные относятся только к положению заряда, но не к материалу кристалла.
Например, можно было бы интересоваться током (или скоростью электронов), возникающим при определенных условиях, и не рассматривать его связи с числом индуцированных фононов. Тогда переменные д будут описывать электрон, а переменные гл — все другие параметры вещества в кристалле. Пусть 5 [д (~)1 — действие для системы д, Яа [г", (г)1 — действие для окружающей среды, а Язззаи [д (г), () (~)1 описывает взаимодействие между средой () и системой д.
Действие для всей системы равно сумме Я [й (1)1+аз [ч (1)1+Лязгам [д (1), ~) (1)1, а вероятность какого-либо события в такой сложной системе можно вычислить из двойного интеграла по траекториям, являющегося, очевидно, обобщением выражения ([2.8[), которое теперь запишется в виде «г= ~ ~ ехР(е(81д(г)1 — Я [д (1))+Баггам [д(С) зчч(г)1 8вззни И'(~) 0'(~)1+8э Ж(г)1 8в [(7 (г)1)) Х х аМ~) уймет т яаия. (12.88) ') ~ обозначает любое число координат. Эта система может быть н. вообще говоря, является очень елагиной. Мы будем оперировать с одной переменной ~, но это нэ ограничивает общности рассужденнй.
й 8. Функционалы влилнил Однако если нам не нужно измерять ~(~), а достаточно исследовать лишь зависимость от д(г), то ответ запишется в форме У= ~ ~ ехр(о (Я [д(г)] — Я [д'(г)])) В [у(й), д'(г)] йг](г) Яд'(г), (12.89) где функционал Г [у(к), д (о)] мы назовем функционалом влияния. Этот функционал зависит от двух функций д(г) и д'(~) и для рассматриваемой частной задачи выражается в виде Р'И(г), Ч'(г)] =.,'~ ~ ~ ехр(] (Во [0Р)] — Юо [ч'(г)]+ 1 +Ввзвим [й (г)~ [~(г)] Ввваим [д' (г)~ Д (~)])) Я~(г) ЯД (г) (12.90) Сумма по )" означает, что мы должны ваять сумму по всем возможным конечным состояниям ~.
Это связано с тем, что не проводится никаких измерений координат ~ и возможны все конечные состояния среды. Поэтому нужно сложить вероятности всех возможных процессов [т. е. все функции (12.88)!. Например, в координатном представлении ~ как раз подразумевает, что, начиная с некоторого момента времени з~, взаимодействие для нас больше не представляет интереса; мы должны ваять Ч (1г) = ~' (1г) = = фг и проинтегрировать по всем Дг.
Резюмируя, скажем, что поведение системы в любой среде можно описать с помощью двойных интегралов по траекториям, аналогичных интегралу (12.89), где функционал Р отражает свойства среды — ее влияние на систему — и учитывает все связанные с этим изменения д (1). Дзе различные окружающие среды А и В, совершенно различные по своему физическому строению, тем не менее могут оказаться неразличимы но поведению системы д, если с ними связан один и тот же функционал влияния Р. Функционал Р— это нечто аналогичное внешним «силам», которые вводятся при классическом рассмотрении поведения одной из взаимодействующих систем.
Мы можем изучать лишь движение системы д, при условии что знаем зависимость от времени сил, действующих на нее со стороны среды. Ньютоновские уравнения движения для д представляют собой грубую аналогию выражения (12.89), тогда как выражение (12.90) соответствует учету сил, обусловленных средой. Дзе различные среды эквивалентны, если они одинаково действуют на д.
Естественно, это — очень грубая аналогия. ЧтокасаетсяфункцноналаР, то он описывает полноевлияпие среды, включая изменения в поведении самой среды из-за реакции со стороны д. Это аналогично тому, как если бы при классическом рассмотрении нам были бы известны не только сами силы, но и их изменение во времени при любом возможном движении иссле- Гя. 1г. Другие задачи теории еероятноегиой дуемой системы д «). Силы воздействия среды, вообще говоря, зависят от движения д «), так как сама среда подвергается влиянию со стороны интересующей нас системы д.
Таким образом, мы приходим к необходимости изучить свойства функционалов влияния. Составим список нескольких правил, определяющих такие свойства, и сформулируем некоторые допущения, при которых они получаются. Правило 1. (12.91) где аначком а отмечено комплексное сопряжение. Правило 11. Если функции д (г) и о'(г) выбраны равными для всех г, больших любого а, то Р не зависит от фактических значений д (е) для г ) а.
Правило 111. Если Рг — функционал влияния для определенной среды г и мы фактически не знаем реального окружения системы, а знаем лишь, что вероятность найти систему в среде 1 равна ю„то эффективный функционал влияния (для расчета всех вероятностей) (12.92) Правило 1У. Если система о одновременно вэаимодействуег с двумя внешними системами А и В и если системы А и В непосредственно не взаимодействуют между собой, а их начальные состояния никак не связаны, то (12.93) рл'г'В где Є— функционал влияния для случая, когда с о взаимодействовала бы только одна система А, и Р — такой оке функционал для системы В. Правило Ч.
Если функционал Р можно с достаточной точностью аппроксимировать выражением р = ехр ~ [ ~ [д «) — г1' «)) У (г) Ж )-, (12.94) то система ведет себя так же, как под влиянием классического потенциала [г (г), который вносит в действие вклад ~ д (е) У (Г) Ю. Если же функционал имеет вид Р (д, а') = = Ф [д (е) — о' (г)[, где Ф [й (г)! — функционал произвольной формы, то окружение энвивалентно классическому случаю, однако с неопределенным потенциалом У (г) [в этом случае Ф вЂ” характеристический функционал для распределения й (г)[.
Справедливость правила 1 очевидна непосредственно иэ выражения (12.90). Это же выражение объясняет также правило И, В. Функционалы влилнил 367 однако гораздо менее наглядным образом. Отметим, что для произвольной системы с некоторым определенным действием Я, (в,в) при любом заданном начальном состоянии ~' ~ ~ ехр(Е(Я, [в',в(в)[ — Я, [вв'(Ю)[)) У~(в) У(в" (г)=1. (12.95) ! Это следует из того, что интегралы и сумма по конечным состояниям ~ эквивалентны соотношению ~ К Ф~, г~, В, г;) К' Мп г~', Я, Ч УОг = б (й — Ж) (12.96) [см. формулу (4.37) [. Таким образом, если бы начальная волновая функция была у (в',),), то, умножая, как ато делалось в выражении (12.79), на ~р (Ч;) уи (();) и интегрируя, мы получили бы ~ (а) р Юба;-Е)~а~Е[=~ [р(Е['(О=1.
(1297) Заметим теперь, что если в выражении (12.90) мы положим д' (т) = д (г) для любого заданного д (г) и всех значений Г, то получим выражение, в точности совпадающее с равенством (12.95), где полное суммарное действие равно 8.[Е(г)) =8.[Е(г))+8 И(г), жг)[, причем 8. Ф' (г)) = Ко Р7 (г)) + Я И (~) 0' (~)), что и требуется, пока д'(г) =д(г). Следовательно, К [7 (~), ~ (г)[ = 1. Те же рассуждения, если их провести применительно к интервалу времени а< в<Гг и использовать соотношение, сходное с (12.96), но где в,, ф заменены соответственно на а н Ч„показывают, что если д (г) = д' (г) для в ) а, то зависимость Р от д (в) при г) а исчезает, так как правая сторона (12.96) при г) а не зависит от д (г).
Правило 1[1 с очевидностью следует из того, что вероятности определяются суммированием всех возможных значений Х. Правило ай' вытекает из выражения (12.90), если в соответствии с условием действие в выражении (12.90) имеет вид 8,. [а(с))+8 [д(г), а( И+8„[Е.«П+8ш[д(г), Ь(г)[. При этом экспоненциальная функция суммы превращается в произведение, дающее интегралы Р, если начальное состояние само представляется произведением волновых функций. Правило й — это просто формулировка наших результатов, приведенных в соотношениях (12.82) и (12.85). 368 Гл. И. Друвис еодачи теории вероятностей Мы рассмотрели некоторые общие свойства функционалов влияния.
Связанные с ними расчеты используют различные методы вычисления интегралов по траекториям (12.89). Закончим этот параграф рассмотрением некоторых важных функционалов влияния. Подобно тому, насколько простыми и важными оказываются гауссово распределение вероятности и гауссово распределение шума, настолько важны и функционалы влияния, содержащие координаты д (~), д' (г) в виде квадратичных форм в экспонентах; назовем их гауссовыми функционалами влияния. Во-первых, если среда представляет собой систему гармонических осцилляторов в основном состоянии (или при заданной температуре), линейно связанных с рассматриваемой системой д, то вычисление выражения (12.90) показывает, что Р— гауссов функционал. Однако гауссовы функционалы влияния (подобно гауссовым вероятностям), дают хорошее приближение для гораздо более широкого класса задач, в которых эффект является суммарным результатом большого числа малых воздействий.
Рассмотрим, например, атом, слабо взаимодействующий с большим числом атомов окружающего газа. Влияние каждого атома А очень мало, так что его функционал влияния Ря немногим отличается от единицы. Однако, согласно правилу Гч, полный функционал Г является произведением многих таких множителей и его можно аппроксимировать экспоненциальной функцией суммы всех малых вкладов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
