Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(12.2З) о о Характеристический функционал с учетом членов первого и второго порядков приобретает вид Ф = ехр ~вФ ~ ве(~) евг) ехр ~ — 2 ~ ~ й Р) л(Р)) (~ — г') 1т от') . (12.24) Первый множитель в етом выражении соответствует постоянному среднему уровню шума, который, если иметь в виду импульсы напряжения, можно назвать уровнем постоянного тока. Мы можем при желании пренебречь этим уровнем и интересоваться только изменениями потенциала, сдвинув начало отсчета ~ (в).
Это означает, что путем изменения начала отсчета функции 1 (1) всегда можно освободиться от множителя ехр (1 ~ й (в) г' (е) Ю) [т. е. записать 1 (Ц = г" (г) + ~' (в), изучить распределение вероятности и характеристическин функционал для 1' (1)). Если мы сделаем такое изменение начала отсчета, то будем изучать лишь флуктации напряжения относительно уровня постоянного тока. Отметим одно приближение к функционалу (12.24), которое часто оказывается точным. В общем случае Х (т) — уакая, пико- образная функция от т.
Нарастание и спад формы сигнала а (г) характеризуется конечной шириной, так что если два сигнала разделены достаточно большим промежутком времени, то у них нет области перекрытия. Другими словами, Х (т) быстро стремится к нулю при увеличении т. Поэтому, если Х (т) имеет достаточно узкий профиль, второй член в уравнении (12.24) может быть аппроксимирован выражением — мл>5мт'а (12.25) где обозначено д = )г ~ь ат. Это эквивалентно распределению вероятности р у (г)) -иы~уя1м~ (12.26) Флуктуации, подобные тем, что мы сейчас рассматриваем, часто называют гауосовим шумом.
Характеристики функционалов вероятности, описывающих шумовые функции, последнее время широко обсуждались в теории связи, причем многие характеристики шумового спектра были определены и вычислены. Аналогичное рассмотрение проведем здесь и в следующем параграфе, где рассматриваются гауссовы шумы. Покажем еще на одном примере, как выводятся характеристические функционалы.
Рассмотрим сигналы, которые приходят в случайные моменты времени и для которых задана характеристическая форма, например, в виде и (г), но различен масштабный весовой множитель, так что типичный сигнал запишется, как аи (1), Можно также допустить, что вес а может быть либо положительным, либо отрицательным. Пусть сигналы приходят в какие-то моменты времени гт, а их веса принимают случайные положительные и отрицательные значения а,.
Тогда результирующая функция представляется выражением ( (г) = 'Я~ ати (1 — гт). (12.27) г Если отвлечься от случайной природы событий, то мы получим характеристический функционал, эквивалентный функциона- лу (12 16); Ф=ехр ~1 ~,' ат ~ Ус(й)и(й — гт) г(г| . (12.28) Гя.
22. другие гадачи теории оероятиоотеа Если учесть теперь случайную природу весовых масштабных множителей сигналов и обозначить вероятность обнаружения весового множителя, соответствующего 1'-му сигналу, в интервале е[а5 череа р (а5) «1а5, то характеристический функционал будет иметь вид Ф= ~ ~ ... ЕХр ~5 ~ а5~ 5Е(5)и(5 е5)М~ Х Х р(а,) 5[игр(аз) 51аг (12.29) (12.30) Ф=П и ~ 1 5е(5)и(е — 55)е)г ~. 5 (12.31) Далее мы можем действовать как при выводе выражения (12.17) и допустить, что моменты появления сигналов случайно распределены по интервалу 0 (5 (Т. Если мы предположим, что в атом интервале имеется точно и импульсов, то получим характеристический функционал =9Г (12.32) где у= ~ Иг [ ~ й(5)и(5 — г)ей [ 51г.
(12.33) Если теперь, как и при выводе (12.18), предположить, что распределение числа сигналов во времеви описывается фувкцией Пуассона, то выражение (12.32) надо умножить на и" е-"!и[, где, как прежде, и=-[5Т вЂ” среднее число сигналов за время Т. Суммируя по и, получаем Ф = е к<т Ю = ехр ( — [5 ~ [1 — Иг '[ ~ 55 (5) и (5 — г) Шг 1 [ е[г) .
(12.34) В качестве конкретного примера использования полученного реаультата рассмотрим очень узкий сигнал. Более того, предположим, что его форму можно аппроксимировать Ь-функцией, Конечно, каждая иа вероятностных функций для величин а5 обладает соответствующей ей характеристической функцией (или проиаводящей функцией для моментов). Назовем зту функцию И" [ео) и определим ее равенством Иг [в) = ~ е'"'р(а) 5[а. Тогда выражение для Ф можно записать в виде г 4.
Гаугговм мумм т. е. и(г)=б(г). Тогда характеристический функционал Ф=ехр( — р ~ (1 — Иг(й(г)Цда) . (12.35) Предположим далее, что весовые множители имеют гауссово распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением, равным с; другими словами, допустим, что эти множители имеют обычное нормальное распределение р (а) да — г-муза» ла 1 г' 2л о В атом случае характеристическая функция И1 [ю) е-агама (12.37) (12.36) приводит к следующему выражению для Ф: Ф(й(г))=ехр ( — )г ~ (1 — е — шг/здмйп)Ыг) . (12.38) Итак, мы снова установили, что, выбирая исходные предположения, можно вывести соответствующий характеристический потенциал.
На любой стадии вывода допустима обоснованная аппроксимация, сводящая функционал к квадратичному виду. Например, в только что описанном случае малая величина среднеквадратичного масштабного множителя о соответствует слабым сигналам. Если к тому же среднее число сигналов, приходящихся на временной интервал, велико, то (12.38) достаточно хорошо аппроксимируется выражением Ф=ехр ( — о —', ,~ (й(г))зй~. (12.39) Такое распределение называется белым шумом. у А Уауссовьг таумы Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; зги распределения мы теперь и рассмотрим. Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.
е. с зкспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение, Мы пришли к гауссовым фупкционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями.
В обычной теории Гл. 12. ~7ругие задачи гпеории вероятноствл вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала: Ф=ехр '( 1 ~ Ус(Ю) Р(й) дг~ Х хехр( — — ~ ~ к(с)й(г')А(е, с')ЙЮ'~.
(12„40) Первый множитель в этом выралшнии можно устранить сдвигом начала отсчета 7 (1), как это ул<е отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию ~' = 7' — Р (~). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро А (1, $') должно иметь форму А (8 — г'), В конкретных физических задачах вид функции А можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближенной картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведенный выше вывод шумового спектра дает пример такого приближения.
При этом А (г, 8') = рХ (1 — $'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.
Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя 1 отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в 3 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.
Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид (12.41) где теперь функция В (~, Ф') представляет собой ядро, обратное 333 г 4, Гаусссвы ыумм ядру А (г, т'), т. е. функции А и В связаны равенством ~ А(д т)В(т, г) с(т=6(г — г). (12.42) Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).