Главная » Просмотр файлов » Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям

Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 70

Файл №1120470 Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям) 70 страницаР. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470) страница 702019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 70)

(12.2З) о о Характеристический функционал с учетом членов первого и второго порядков приобретает вид Ф = ехр ~вФ ~ ве(~) евг) ехр ~ — 2 ~ ~ й Р) л(Р)) (~ — г') 1т от') . (12.24) Первый множитель в етом выражении соответствует постоянному среднему уровню шума, который, если иметь в виду импульсы напряжения, можно назвать уровнем постоянного тока. Мы можем при желании пренебречь этим уровнем и интересоваться только изменениями потенциала, сдвинув начало отсчета ~ (в).

Это означает, что путем изменения начала отсчета функции 1 (1) всегда можно освободиться от множителя ехр (1 ~ й (в) г' (е) Ю) [т. е. записать 1 (Ц = г" (г) + ~' (в), изучить распределение вероятности и характеристическин функционал для 1' (1)). Если мы сделаем такое изменение начала отсчета, то будем изучать лишь флуктации напряжения относительно уровня постоянного тока. Отметим одно приближение к функционалу (12.24), которое часто оказывается точным. В общем случае Х (т) — уакая, пико- образная функция от т.

Нарастание и спад формы сигнала а (г) характеризуется конечной шириной, так что если два сигнала разделены достаточно большим промежутком времени, то у них нет области перекрытия. Другими словами, Х (т) быстро стремится к нулю при увеличении т. Поэтому, если Х (т) имеет достаточно узкий профиль, второй член в уравнении (12.24) может быть аппроксимирован выражением — мл>5мт'а (12.25) где обозначено д = )г ~ь ат. Это эквивалентно распределению вероятности р у (г)) -иы~уя1м~ (12.26) Флуктуации, подобные тем, что мы сейчас рассматриваем, часто называют гауосовим шумом.

Характеристики функционалов вероятности, описывающих шумовые функции, последнее время широко обсуждались в теории связи, причем многие характеристики шумового спектра были определены и вычислены. Аналогичное рассмотрение проведем здесь и в следующем параграфе, где рассматриваются гауссовы шумы. Покажем еще на одном примере, как выводятся характеристические функционалы.

Рассмотрим сигналы, которые приходят в случайные моменты времени и для которых задана характеристическая форма, например, в виде и (г), но различен масштабный весовой множитель, так что типичный сигнал запишется, как аи (1), Можно также допустить, что вес а может быть либо положительным, либо отрицательным. Пусть сигналы приходят в какие-то моменты времени гт, а их веса принимают случайные положительные и отрицательные значения а,.

Тогда результирующая функция представляется выражением ( (г) = 'Я~ ати (1 — гт). (12.27) г Если отвлечься от случайной природы событий, то мы получим характеристический функционал, эквивалентный функциона- лу (12 16); Ф=ехр ~1 ~,' ат ~ Ус(й)и(й — гт) г(г| . (12.28) Гя.

22. другие гадачи теории оероятиоотеа Если учесть теперь случайную природу весовых масштабных множителей сигналов и обозначить вероятность обнаружения весового множителя, соответствующего 1'-му сигналу, в интервале е[а5 череа р (а5) «1а5, то характеристический функционал будет иметь вид Ф= ~ ~ ... ЕХр ~5 ~ а5~ 5Е(5)и(5 е5)М~ Х Х р(а,) 5[игр(аз) 51аг (12.29) (12.30) Ф=П и ~ 1 5е(5)и(е — 55)е)г ~. 5 (12.31) Далее мы можем действовать как при выводе выражения (12.17) и допустить, что моменты появления сигналов случайно распределены по интервалу 0 (5 (Т. Если мы предположим, что в атом интервале имеется точно и импульсов, то получим характеристический функционал =9Г (12.32) где у= ~ Иг [ ~ й(5)и(5 — г)ей [ 51г.

(12.33) Если теперь, как и при выводе (12.18), предположить, что распределение числа сигналов во времеви описывается фувкцией Пуассона, то выражение (12.32) надо умножить на и" е-"!и[, где, как прежде, и=-[5Т вЂ” среднее число сигналов за время Т. Суммируя по и, получаем Ф = е к<т Ю = ехр ( — [5 ~ [1 — Иг '[ ~ 55 (5) и (5 — г) Шг 1 [ е[г) .

(12.34) В качестве конкретного примера использования полученного реаультата рассмотрим очень узкий сигнал. Более того, предположим, что его форму можно аппроксимировать Ь-функцией, Конечно, каждая иа вероятностных функций для величин а5 обладает соответствующей ей характеристической функцией (или проиаводящей функцией для моментов). Назовем зту функцию И" [ео) и определим ее равенством Иг [в) = ~ е'"'р(а) 5[а. Тогда выражение для Ф можно записать в виде г 4.

Гаугговм мумм т. е. и(г)=б(г). Тогда характеристический функционал Ф=ехр( — р ~ (1 — Иг(й(г)Цда) . (12.35) Предположим далее, что весовые множители имеют гауссово распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением, равным с; другими словами, допустим, что эти множители имеют обычное нормальное распределение р (а) да — г-муза» ла 1 г' 2л о В атом случае характеристическая функция И1 [ю) е-агама (12.37) (12.36) приводит к следующему выражению для Ф: Ф(й(г))=ехр ( — )г ~ (1 — е — шг/здмйп)Ыг) . (12.38) Итак, мы снова установили, что, выбирая исходные предположения, можно вывести соответствующий характеристический потенциал.

На любой стадии вывода допустима обоснованная аппроксимация, сводящая функционал к квадратичному виду. Например, в только что описанном случае малая величина среднеквадратичного масштабного множителя о соответствует слабым сигналам. Если к тому же среднее число сигналов, приходящихся на временной интервал, велико, то (12.38) достаточно хорошо аппроксимируется выражением Ф=ехр ( — о —', ,~ (й(г))зй~. (12.39) Такое распределение называется белым шумом. у А Уауссовьг таумы Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; зги распределения мы теперь и рассмотрим. Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.

е. с зкспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение, Мы пришли к гауссовым фупкционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями.

В обычной теории Гл. 12. ~7ругие задачи гпеории вероятноствл вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала: Ф=ехр '( 1 ~ Ус(Ю) Р(й) дг~ Х хехр( — — ~ ~ к(с)й(г')А(е, с')ЙЮ'~.

(12„40) Первый множитель в этом выралшнии можно устранить сдвигом начала отсчета 7 (1), как это ул<е отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию ~' = 7' — Р (~). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро А (1, $') должно иметь форму А (8 — г'), В конкретных физических задачах вид функции А можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближенной картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведенный выше вывод шумового спектра дает пример такого приближения.

При этом А (г, 8') = рХ (1 — $'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.

Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя 1 отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в 3 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.

Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид (12.41) где теперь функция В (~, Ф') представляет собой ядро, обратное 333 г 4, Гаусссвы ыумм ядру А (г, т'), т. е. функции А и В связаны равенством ~ А(д т)В(т, г) с(т=6(г — г). (12.42) Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,64 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6508
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее