Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Случай больших а соответствует большим п. Выбор и = 0 приводит к интегралу Ю А= я ыеал'!е 1 е-ее(т(1 — е-ее) '~е =, " ( " (И.81) „р и Е; = Зо/4. Это эквивалентно тому, что в выра>кении (И.37) используется потенциал, который соответствует свободным гармоническим колебаниям. При больших о членом е "' можно пренебречь, так что А = (лео) ые оо"е.
Для значений а, меныпих чем 5,8, и при ке = 0 выражение (И.80) не имеет минимума, только если не выполнено условие о = О, так что случай ео = 0 не даст единого выражения для всех значений а. Несмотря на этот недостаток, результат (И.81) сравнительно прост и достаточно точен. Э 4. Медленные олеетротты Е ионном ириетполле 2в ' [(1+в) ы — 1) =Р. (И.84) В этом приближении задача сводится к минимизированию выра- жения Е = — вез — а — аз (1 — Р) 2 4 (И.85) получающегося с помощью подстановок из выражения (И.80); отсюда следует 2а (1 — Р) (11.86) Этот результат справедлив только при малых значениях а, так как мы предположили, что е мало. Окончательно Š— 3 (И.87) Таким образом, наш метод дает поправку даже для малых значений и.
Поправка будет минимальна при в=3, и в этом случае ао та эз Е= — а — — = — а — 123~ — ) . 61 ' Ьо) (И.88) Последнее выражение слабо зависит от в; например при в = 1 коэффициент 1,23 уменьшается только до 0,98. Метод Ли и Пайпса ЦО[ дает в этом приблиткении точно такой же результат, что и выражение (И.88). Разложение по теории возмущений до членов второго порядка было сделано Хага [И[, который показал, что истинное значение коэффициента при члене (а/10)е должно быть 1,26, так что наш вариационный метод очень точен при малых а. При а) 6 фактически существенны только большие значения о и пригодна приближенная формула А=а( — ") '(1+ — ); (И.82) при гт) 4 эта формула выполняется с точностью до 1%.
Однако, например, Фрелих [9) рассматривает разрыв при а = 6 как серьезный недостаток — недостаток, которого можно избежать в нашей теории. Мы сделаем это, выбрав в отличным от нуля. Изучим выражение (И.80) при малых значениях а и в чь О. Минимум будет иметь место, когда в близко к в. Поэтому положим и = (1 + з) в, считая з малым, и разложим радикал в выражении (И.81). Это даст А=а — [ 1 — е [ т-о/ее-е(1 — е"') —,+...
[, (И.83) о интеграл равен Тл. 11. Еариационный метод Таблица 2 15,5 1,15 — 15,710 — 12,41 — 11,88 — 14,7 5,81 1,60 — З,И27 — 7,58 — 7,43 — 6,83 9,85 1,28 — И,486 — 9,95 — 9,65 — 10,31 3,44 2,55 — 3,1333 — 3,10 — 3,09 4,02 2,13 — 5,4401 — 5,30 — 5,24 Ес Еср Ерьс Противоположный предел при больших значениях а соответствует большим р и, как мы увидим, значениям кс порядка единицы. Так как р )> лс, то в первом приближении интеграл в выражении (И.75) переходит в формулу (И.81), асимптотику которой можно использовать без вычислений.
Следующее приближение по ш можно получить, разложив радикал в выражении (И.75), при условии лсlр « 1. Кроме того, пренебрежимо малым оказывается член е "'. В этом случае Е= 4 (р — пс)~ — и ( — ) (1+ — — — ) . (И.89) В рассматриваемом приближении больших р это выражение минимально при ср = 1 и р = (4ае/9я) — (41л' — 1); тогда (см. И2)) Е = — — — 3[в 2 — 4 — — — 0,1061иа — 2,83. (И.90) Эти приближения не определяют верхнего предела Е, так как, к сожалению, последующие члены будут порядка 1!а' и, по-видимому, являются положительными. Детальный численный расчет, основанный на этом приближении, был выполнен Шульцем [13). С помощью счетной машины Шульц вычислил значения р и лс, которые дают минимум Е для различных значений а; он вычислил таклсе энергию Е и сравнил полученную величину со значениями, полученными в различных теориях. В частности, он вычислил собственное значение энергии в теориях Ли, Лоу н Пайпса [14[ (Е„р), в теориях Ли и Пайпса [10) (Еср), Гросса [15) (Еа), Пекара [16), Боголюбова [17) и Тябликова [18] (Ерьс).
В табл. 2, позаимствованной из работы Шульца [13[, приведены результаты вычислений а, р и кс, а также значения энергий из теории Фейнмана (Ес) и других теорий. В этой таблице предполагается, что е и д равны единице. Отметим, что для всех значенийа величина энергии в теории Фейнмана меныпе,чем во всех других теориях. Глава 12 ДРУа ИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕИ В предыдущих главах мы видели, как применяются интегралы по траекториям для решения задач квантовой механики, которые по своей физической природе являются вероятностными задачами.
Кроме того, мы пользовались этим методом для анализа некоторых проблем статистической механики, вероятностная природа которой делает метод интегралов по траекториям особенно эффективным. Можно расширить круг конкретных применений этого метода на широкий класс задач теории вероятностей. Целью данной главы является рассмотрение нескольких таких задач. Зти задачи разбиваются на два типа. Во-первых, мы обсудим непосредственное приложение метода интегрирования по траекториям к классическим задачам теории вероятностей. Это отличает данную главу от предыдущих, где все применения относились к квантовой механике. Во-вторых, рассмотрим смешанные вероятностные и квантовомеханические задачи.
Мы не можем в этой главе углубляться в детали и ограничимся только некоторыми примерами постановки отдельных задач, предоставляя читателю самостоятельно разобрать другие применения метода интегрирования по траекториям. Основное достоинство метода интегрирования по траекториям состоит в том, что он непосредственно содержит представление о вероятности некоторой траектории или функции. Для пояснения этой мысли последовательно рассмотрим хорошо известные понятия теории вероятности в применении к дискретным и непрерывным переменным '). у 1. Случайные еобытяия Для начала предположим, что перед нами стоит задача теории вероятности, в которой переменные принимают дискретные значения.
Пусть в случайно выбранные моменты времени происходит ряд дискретных событий; это может быть, например, прохождение космических частиц через счетчик или падение дождевых капель на выделенную для наблюдений площадку. Хотя известно, что частицы появляются в случайные моменты времени, однако мож- 1) Предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями обычной теории вероятностей (см. например, [19[). Гл. 1Э. другие гадачи теории ееролтиоетей но ожцдать, что в течение любого достаточно длительного промежутка времени Т будут наблюдаться й = Т)г частиц.
Таким образом, р имеет смысл средней скорости счета. Конечно, при любом реальном измерении точное число зарегистрированных частиц и, вообще говоря, не будет совпадать с их средним числом. Однако можно спросить, какова вероятность наблюдения некоторого числа п частиц за время, в течение которого в среднем появляются и частиц. Ответ дается распределением Пуассона Р.= —" (12Л) я! ея С другой стороны, можно интересоваться вероятностными вопросами иного типа.
Например, какова вероятность того, что после появления предыдущей частицы следующая появится в момент ~? На вопрос, сформулированный таким образом, не существует правильного ответа. Если же мы поинтересовались бы вероятностью того, что интервал между появлениями частиц будет равен или больше г, то ответ е ш мог бы быть получен. Это значит, что можно определить лишь, находится ли момент ~ внутри некоторого временибго интервала.
Таким образом, если нас интересует конкретный момент ~, то должны исходить из бесконечно малого интервала и формулировать вопрос следующим образом:какова (бесконечно малая) вероятность того, что промежуток времени между двумя событиями будет лежать внутри окрестности Ю, окружающей момент й Ответ записывается в виде Р (Э) е(г ре-Ш е(е (12.2) Так приходим к понятию распределения вероятности для непрерывной переменной: Р (8) есть отнесенная к единице измерения э вероятность того, что интервал между событиями равен г. Запишем распределение вероятности для х как Р (х), если Р (х) Нх представляет вероятность того, что переменная находится в окрестности ггх точки л.
Можно легко распространить это определение на случай двух переменных и написать вероятность распределения х и у как Р (л, у) о)х егу. При этом мы подразумеваем, что вероятность найти переменные в и у в области В плоскости жу дается интегралом ~ Р (х, у) Ихду. и Хотелось бы расширить концепцию вероятности еще дальше. Желательно рассматривать распределения не только отдельных переменных, но также и целых кривых, т. е.
хотелось бы построить вероятностные функции, или, точнее, функционалы, которые позволят ответить на вопрос: какова вероятность какой-либо конкретной эволюции физического процесса, развивающегося во време- у 3. Характеристические функции ~ Р (1 (г)) У1 (г), (12.3) где интегрирование проведено по всем функциям класса А.
Это выражение можно осмыслить по аналогии с функцией вероятности для нескольких переменных. Вообразим, что точками ~„~2,... время разбито на дискретные интервалы (как мы это делали в гл. 2, когда только что определили интегралы по траекториям). Тогда значения функции в избранных временных точках 1(ге), 1(сз),... =12, 12,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
