Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Обозначим через г глубину проникновения частицы в пластинку; пусть 0 — угол мгновенного направления движения в рассматриваемой плоскости, а х — отклонение частицы от первоначальной траектории, как указано на фиг. 12 1. Эти параметры связаны соотношением с[х = 0 с[с или х = О. Мы предполагаем, что отклонения частицы па угол Л происходят внезапно, так что 0 = г (г), где функция ~ представляется суммой б-функций со случайными значениями времени и случайными относительными коэффициентами.
Это означает, что х =- ~ (г) и Рг[~ (1)[ обладает характеристическим функцио- 1 С. Броунавекое движение иметь внд Ф=ехр ~ — — А ~ [Й(г)]'еез) . А зто в свою очередь означает, что Рг И И)[ = ехр ~ 2я ~ У И)1 е[~) (12.69) (12.70) и, следовательно, Р„[х(1)[ =-совет ехр ( — — ~ [х(~)[ей) . 2В о (12.71) Р(Р, 0) = ~ ехр ( — — ~ я е[З) Ях(1), о (12.72) где все траектории, по которым берется интеграл, удовлетворяют предполагаемым граничным условиям. Этот интеграл гауссовой формы можно вычислить методами, развитыми в 1 5 гл.
3. Он имеет экстремум для траектории х (з) =О. (12.73) Решение этого ура впения, удовлетворяющее нашим граничным условиям, имеет вид х(в)=(3Р— ОТ) ( — ) -[-(ОТ вЂ” 2Р)( — ) . (12.74) Подставив его в показатель экспоненты в (12.72), получим а (12.75) Отсюда следует искомое распределение Р(В, О)=сонэ~ хр '[ — — е(~ 2 ) 2ит [ . (12.76) 6 От з Ое На практике в некоторых случаях для нас может представлять интерес не точное линейное смещение частицы от предполагаемой Мы должны вычислить распределение Р (Р, О), определяющее вероятность того, что частица будет выходить иэ пластины под углом 0 и смещением Р, если при входе в пластину она имела л (0) = 0 и х (0) = О. Пас интересует не точная траектория частицы в веществе, а только условия выхода л (Т) = Р и х (Т) = О. Поэтому выразим искомое распределение в виде интеграла по всем траекториям: т Гл.
12. друеие садани теории вероятностей начальной точки, а угол О, под которым частица вылетает из пластины. Обладая полной функцией распределения (г2.76), легко вычислить функцию распределения углов, проинтегрировав по всем значениям Р. Результат равен ехр [ — (Ое/2ЛТ)). Этого можно было ожидать, поскольку мы уже предположили, что среднеквадратичный угол отклонения при прохождении единичной толщины равен Л, так что эта же величина для полной толщины Т должна быть ВТ.
Предположим теперь, что мы наблюдаем только частицы, вылетающие под фиксированным углом О, и рассмотрим для этих частиц функцию распределения по положениям точек вылета Р. Найдем, что распределение вероятностей имеет максимум при Р = ОТ/2. Этого можно было бы ожидать, если бы конечный угол отклонения О нарастал пропорционально толщине пластины; тогда среднее значение угла во время пролета через пластину было бы равным О/2. Задача 12.2. Покажите, что нормировочный коэффициент для функции распределения Р (Р, О) Ю сеО равен ($2.77) у Т.
Квактковая механика В этом и следующих параграфах нам хотелось бы посмотреть, как формулируются статистические задачи в квантовой механике. Вероятности неотделимы от квантовой механики, так как даже объект, находящийся в известном состоянии, одновременно с некоторой вероятностью находится в других состояниях. Кроме того, неопределенность может вноситься иавне. Например, исходное состояние объекта само может быть задано с какой-то вероятностью. Такая ситуация аналогична ситуации в классической механике, в которой неизвестны начальные условия, а задано лишь распределение вероятностей для таких условий.
В классической механике мы уже сталкивались с подобной проблемой, но это был сугубо частный случай, когда состояние с энергией Е имеет соответствующую вероятность е Я1ет. Здесь мы рассмотрим более общую картину. Пусть квантовомеханическая система находится под влиянием ааданного внешнего потенциала г' (1).
Что можно скааать, если потенциал описывается распределением вероятностей Р ('в' (е)] УУ (1)7 Нужно ли нам в действительности решать задачу для каждого потенциала У (1) и затем усреднять, или же имеется способ сформулировать задачу уже после усреднения по ве (1)7 Хотелось бы надеяться, что это именно так, потому что 7. Квантовая меааниаа Збв часто оказывается намного легче решить статистическую задачу после предварительного усреднения, чем искать общее решение первоначальной задачи с очень большим числом условий. В атом параграфе покажем, что такая формулировка действительно возможна, После этого рассмотрим случай, когда квантовомеханическая система возмущается не классической, а некоторой другой статистически неопределенной квантовой системой.
Основная цель этой главы — показать, как можно сформулировать зти и другие подобные вопросы. Мы не будем заниматься детальным решением упомянутых частных задач; они нужны нам лишь для того, чтобы помочь понять способы постановки более общих проблем. Прежде всего обсудим аналогию броуновского движения для квантовомеханической системы, т. е. предположим, что квантовая система, которой соответствует невозмущенное действие Я (д), испытывает влияние внешнего потенциала )е(г) и при этом действие я становится равным г) 8,(д)=8(д)+ ~ д«)р())в. (12.78) Допустим, что нас интересует вопрос: какова вероятность того, что, отправивпгись в начальный момент времени Гв из точки д (ве) = ды мы достигнем в конечный момент уГ пололгения дгу Эта вероятность определяется квадратом амплитуды ~ к (дг, ге, 'дв, в;) ( '.
если начальное состояние системы задается волповой функцией ~р (д), а конечное — волновой функцией )( (д), то вероятность перехода между этими состояниями Р(Х(д) р(д)) =) ~ ~ К*(дг)К(д, ) д ) ) р(дв))д )дв~ =- = ~ ~ ~ ~ у*(д,) у„(д,') К (ду, ~,, ды г,) К'(д'„гг, д',, «в) х Х ер(дв) д*(д() е)де М е(дг е)д' (г2,79) Очевидно, что все подобные задачи могут быть решены, если вычислить произведение К(дп гг', д;, г;) Ка (дг, 87, 'д';, г';).
((2.80) Здесь первый множитель содержит интеграл по траекториям ехр ()Я (д (1))) Яд (г), тогда как второй, комплексно-сопря- ') Все операции мы проделаем так, как если бы аргументом была только одна координата а. Читатель может непосредстаенно получить обобщение на случай нескольких координат рл (при атом )е ааменнетсп набором потенциалов )е;) и на случай, когда коеффициеит при у (в) в действии яг не равен просто а, а является более сложным оператором. 362 Гя. 12. Друвис вадачи еиеории вероятностей женный г), включает ~ ехр ( — 18 [д (1)]) Уд (1).
Каждый из интегралов взят по траекториям с заданными конечными точками. Во втором интеграле выражения (12.80) обозначим переменную интегрирования по траектории через д' (1). При этом произведение (12,80) можно выразить как двойной интеграл по траектор илам ~ ~ ееэ1ч118 — еэ1о'101Уо(1) Уд' (1) (12.81) Суммирование таких интегралов по различным конечным точкам даст искомую вероятность. Если потенциал»" отличен от нуля, то мы должны Я в выражении (12.81) заменить на Я». При этом получим ~ ~ ехр ( 1 ~ Я [д (1)] — Я [д' (1)] + ~ д (1) $'(1) с[1— — ~ д'(1) У(1) с[1~ ) Уд(1) Уд'(1).
(12.82) Предположим теперь, что потенциал известен только в вероятностном смысле, т. е. задана вероятность Р» []с (1)] У1' (1) того, что потенциал равен р (1). Тогда для того, чтобы получить вероятность перехода между состояниями ~р и т, нуягно взять выраженно (12.79), рассчитанное для данного»' (1), и усреднить его по всем» (1) с весом Р» [[г (1)] У»' (1). Это даст вероятность (гр -+ )() = =- ~ ~ ~ ~ Х*(й~) Х (Ь) Х (7~, 7~; Чэ д') р(Ч1) р* (Ч~) йд. ЧАД Иь (12.83) где Х вЂ” среднее от выражения (12.82) по всем» (1) с весом Р» [Р (1)] У'»'(1); таким образом, Х= ~ ~ ~ ехР(1(Я [д(1)] — Я [у'(1)])) К :; ехР (1 ~ [е (1) — д' (1) [» (1) а))Р» [Р(1)] Уд(1) Уд'(1, УР (1), (12.84) где интегралы берутся между заданными конечными точками д (1~) = де, д' (11) = д1ч д (11) = дт, д' (11) = д).
заметим, что выбор граничных точек и интегрирование по различным перемен- ным с учетом распределения волновых функций, зависящего г) Кэи и в гл. 11, предполагаем, что Л = 1, э 5 [о (1Ц вЂ” действительпал величина. т. Нванквавая механика 363 от вида задачи [как в выражении (12.83)], дает только сумму Х для'разных граничных условий. Здесь и дальше мы будем рассуждать таким образом, будто уже само к дает нам искомую вероятность, причем читателю не следует забывать, что эту работу еще нужно выполнить. А теперь можно сконцентрироваться на главном — вычислении двойных интегралов по траекториям, необходимых для расчета з'. Интеграл по й (1) в формуле (12.84) можно получить явно. Видно, что для нахождения вероятностей после усреднения надо вычислить двойной интеграл: э = $ ~ ехр (1 (Я [д (~)] — Я [д' (~)]) Ф [д Я вЂ” у' (~)] УЧ (К) Уд' (в), (12.85) где Ф [ее (е)] — производящий функционал, принадлежащий рас- пределению вероятностей Ри, так что Ф [ее(~)] ~ е' э Рг [Р(~)] У ее(~) (12 86) Выражение (12.85) соответствует нашему стремлению выразить ответ в форме, справедливой и после усреднения.
В него входит вычисление двойного интеграла по траекториям. Как его вычислить практически,— другой вопрос. В этих параграфах мы рассматриваем лишь возможную постановку различных аадач; методы, обсуледаемые здесь, могут оказаться полезными в приложениях. В качестве примера применения выражения (12.85) предположим, что й (8) — гауссов шум с нулевым средним значением и характеристической функцией А (1, 1'), как в выражении (12.46). Нужно вычислить двойной интеграл: Х= ~ ~ ехр е(Я [4е(~)] — Я [д'(~)]) м х ехр ~ — — ~ ~ [д (8) — д' (~)] [р (~') — д' (~')] А (~, ~') ей еИ' ~ х Х Уд (в) Уд'(в).
(12.87) Так как во всяком случае либо новый множитель содержит д, либо д' входят в новый экспоненциальный множитель только квадратично, то могут быть полезны некоторые методы, обсуждавшиеся ранее для квадратичных форм. Конечно, если действие Я (д) само квадратично, как в случае гармонического осциллятора, то интегралы по траекториям можно вычислить точно, используя методы 3 5 гл. 3. Гл. 12. другие задачи теории вероятностей у 8. Футемцмонылы ваэеянэея Рассмотрим теперь поведение квантовомеханической системы, обобщенную координату которой мы будем обозначать через д, во взаимодействии с другой системой, характеризуемой обобщенной координатой г, '). Допустим, что все предполагаемые измерения должны проводиться в системе д и никакие прямые измерения не будут сделаны в системе г,г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
