Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Функционал влияния еармониаеекоео оецилляявера буй + Ср (') О (1) ) "') ехр ( — 1 $ ( 2 Ф (')'+ 2 ю'0 (')'+ +С) (1М (1) ~ а~ Мр.й)О (1), (12.117) где т — конечное состояние, а первоначальным является основное состояние. Легко видеть, что интеграл но 9 гауссов, и фактически мы уже вычисляли его. Он точно совпадает с амплитудой перехода 0 „полученной в $9 гл.
8 для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила. Сила, обозначенная там через у (1), здесь равна Сд (1) х). Поэтому амплитуда определяется выражением (8.145) при и = 0: 6 о=(т!) "(Ф') С (12.118) причем Сов определяется равенством (8 138), а ро†равенством (8,143) с заменойу (1)на Сд (1). Аналогично интегралпо ь)'является комплексно-сопряженной величиной для такого же выражения, где у (1) следует лишь заменить на Со' (1).
Величины, полученные после такой замены, будем отмечать штрихами. Тогда сумма по конечным состояниям в выражении (12.117) даст нам Е Й ак ) = ХлСявсС о = Х (т() (Ф ) Схоо (т)) ( — Ф ) Соо = вя и = Сесбооеа а'. (12.119) Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу Р типа (12.104), но при этом а (1, 1') = — „е-ьак — и>. (12.120) ') Возможно, для читателя будет првдпочтителькве представить выражение (12.117) в форме Р(ч(Е),ч (ен= ~ 101К(Е,,Гг, .Оь ЕОК*(ОВ Е,; Ое, Е)чае>ч1(0(ИОвй0~), где К вЂ” ядро вида (3.66) для осциллятора, движущегося под действием впешией силы ( (е) = Сд(е), а К' — аналогичное ядро для ((е) = Сд'(е )' 'ро Щ— волновая функция осциллятора в основном состоянии.
Тогда всв перемеивые Он О; и Ог входят в простой гауссовой форме и интегрирование можно выполнить непосредственно. Очень просто рассмотреть случай коивчкой температуры. При этом вероятность обнаружить систему в начальном состоянии и — ал„ пропорциональна е ", так что, согласно правилу 1г, окоичатвльиое выражение функционала р найдем, если в полученном выше выражеиии волновые функции <рв (О,)ие (О;) запевать иа СОПЯ1 ~ Ия (0~) Чйв(01) Е т. е. иа матрицу плотности р (Он ®), выведеивую в $1 гл. 10.
Интегралы по-прежнему остаются гауссовыми. Га. 12. Друеие вадачи теории вероитиоетей Например, члены с дд' в выражении (12Л04) получаются прямо из члена рвр' в экспоненте; соотношение (8Л43) для этого случая дает — ~ $ д(Ю) е' 'в(в1 ~ $ д* (1) е-ви'а1 ~= = — ~ $ [д (1) д' (С) е'ин-г>+д' (Г) д (Г') е-'ип-'1) аТ еИ. (12.121) Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина а (т) равна а (т) = — ~~ е виве ввв й = — '[ — 1РР— +яб(ов+т)~ (12.122) Св г Св г 2ео 3 2е ~ ео+ч о [см. равенство (5Л7) и приложение), так что действительная часть ~С 5 (ю+ т) (12Л23) Для положительных т зта величина обращается в нуль.
Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12Л14). ' Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу [Ч, их функции ав (т) складываются. Поэтому в таком гауссовом ярнблвя<ении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии.
Это — следствие того, что для отрицательных т любую функцию ав (т) можно построить нз Ь -функций в форме (12Л23). Другой интересный пример — это взаимодействие с осцнллятором при конечной температуре. Если температура равна Т, то начальное состояние — это состояние и с относительной вероятностью е л жт. В нашем случае абсолютная вероятность ю = а вигьт (1 е втЛа) (12.124) Если бы начальным было состояние и, то функционал влияния имел бы вид )ги = Х бтибзив, (12,125) а не (12.119).
Используя правило П1, сложим этн функционалы с весами лв„, так что окончательное выражение для функционала г' равно Р = Х Стибтие иви~вт (1 — е-'и~"т). (12. 126) Эту сумму трудно получить непосредственно нз выражения (8Л45). У. Функционал влияния еарееоникеского осциллятора 375 Она равна Р= бсобосез*с' ехр [ — (~ ]„„) (] ~ ) 1 .
(12.127) Вместо (12,123) для ап(т) получается выражение пн(т)= 2 [ а кт б(ш+т)+ а кт 6(ю т)1, (12Л28) а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим (ю ( 0), так и к большим энергиям. Заметим, что если т > О, то обратится в нуль первая б-функция, тогда как при т < 0 равна нулю вторая б-функция; кроме того, как и следовало ожидать, ая ( ] т ]) = еаМ/атан (+ ] т ]).
(12.129) Это соотношение означает, что в теории возмущений, когда Е„ ) ) Е вероятность парохода эа 1 сок н болыпим энергиям (ес-е-к) вероятность перехода за 1 сек н меньшим энергиям (к-+-ке) — е — (еи-кеанат (12.130) при атом мы воспользовались выражением (12.110). Таким образом, если система и занимает различные состояния и с относительнымн вероятностями е-якает, то средние числа переходов к большим и меньшим энергиям будут выравниваться и в случае слабого взаимодействия с окружающей средой система будет находиться в статистическом равновесии.
Именно это и следовало ожидать из принципов статистики. Любая среда с температурой Т, приводящая к квадратичному функционалу влияния, будет обладать свойствами, описываемыми соотношением (12Л29). Для атома, рассматриваемого в качестве системы д и взаимодействующего с электромагнитным полем при температуре Т как с некоторой средой, величина ав (т) дается выражением (12Л28), проинтегрированным по всем собственным колебаниям поля с различными частотами ш. Его можно разделить на часть, соответствующую холодной среде, описываемую уравнением (12.123), и внешний шумовой потенциал и (т) = 2„б(ю+т)+ а,„,ат 2 (б(ш+т)+б(ш — т)].
(12Л31) Первый член вызывает переходы только к более низким уровням, называемым спонтанным излучением. Второй член с одинаковой легкостью вызывает переходы вверх и вниз, называемые индуцированным излучением, или индуцированным поглощением. Мы Гл. 12. другие еадачи теории ееролтноотей ЗЧ6 говорим, что этот переход вызывается внешним потенциалом или шумом, среднеквадратичная интенсивность которого при частоте т меняется с температурой как 1/ (е"'~"т — 1). Таким способом Эйнштейн впервые рассмотрел законы излучения черного тела.
Как мы теперь видим, любое окружение, дающее квадратичный потенциал влияния при температуре Т (назовем его окружением с линейной реакцией), можно рассмотреть тем же путем. Многие исследователи распространили аргументы Эйнштейна на другие системы, например на шумовые флуктуации потенциала в вольтметре при температуре Т. Первый член измеряет скорость, с которой энергия определенным способом отбирается от системы. Он измеряет величину диссипации, вызванной средой (например, электрическим сопротивлением металла или радиационным сопротивлением электромагнитного поля).
Относительно тел при температуре Т можно сказать, что они ведут себя так, как будто, кроме диссипации, имеется генерируемый средой шумовой сигнал, средний квадрат которого при любой частоте пропорционален диссипации при той же частоте и величине (е""жт — 1)-г. Это утверждение называется диссипатиено-флуктуационной лгеоремой. Этот вопрос мы рассматривать здесь не будем (см. (20 — 22)).
у 20. Занлюченне Из рассмотренных приложений интегралов по траекториям к теории вероятностей ясно, что если подынтегральные выражения имеют гауссову форму, то наш метод может оказаться весьма полезным. Однако при этом мы не выходим за круг задач, которые можно решить и другими методами без использования интегралов но траекториям. Возникает резонный вопрос о практической значимости интегралов по траекториям. На зто можно сказать лишь, что если задача не является гауссовой, то с помощью интегралов по траекториям ее по крайней мере можно сформулировать, исследовать и надеяться, что дальнейшее раавитие этого метода позволит также и решить задачу. Единственный случай, когда с помощью интегралов по траекториям получается результат, который нельзя просто вывести обычными методами,— зто вариационный принцип, обсуждавшийся в гл.
11. Можно думать, что при дальнейшем совершенствовании метода число таких результатов возрастет. Стоит также подчеркнуть, что этот метод допускает быстрый переход от одной формулировки задачи к другой и часто дает ясное или легко выводимое указание на соотношение, которое затем со значительно большей затратой труда можно вывести обычными способами.
а 10. Заалючекие Что касается применений к квантовой механике, то методу интегралов по траекториям присущи, к сожалению, серьеаные недостатки. Таким методом нельэя просто рассматривать спиновые или другие подобные операторы. Наиболее плодотворным он оказывается в применении к системам, для описания которых вполне достаточно координат и канонически сопряженных им импульсов. Тем не менее спин является неотъемлемой частью реальных квантовомеханических систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
