Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Так как энергия и импульс электрона связаны выраяеением Е = рв/2т, то мы можем записать лагранжиан всей системы в виде 2 г'2 Ь= 2 ~г(~+ ~~ 2 (дка — де)+( да") Я~ у дьеек'. (11.54) Первый член этого выражения — энергия электрона с координатой г, помещенного в кристалл с жесткой решеткой. Второй член представляет собой лагранжиан колебаний поляризации в предположении, что все волны поляризации имеют одинаковую частоту и амплитуда й-го собственного колебания равна дю Последний член является лагранжианом взаимодействия электрона с колебаниями решетки, где Р— объем кристалла, а— постоянная величина.
Чтобы упростить все последующие формулы, мы записали это выражение в безразмерном виде, т. е. единицы энергии, длины и времени выбраны так, что не только и, но и общая частота осцилляторов ео, а также масса электрона т — все равны па на решетку отрицательные ионы отталкиваются, а положительные притягиваются. Движение ионов мояено исследовать, рассматривая их как набор гармонических осцилляторов и применяя методы гл.
8. Однако мы предположим, что возникают только такие высокочастотные гармоники, в которых ионы с разным зарядом движутся в противоположных направлениях. Частота гармоники сок зависит от волнового числа соответствующего собственного колебания, но мы пренебрежем этой зависимостью и будем считать, что еа — постоянная величлна. Ната задача заключается в том, чтобы найти электрическую силу, создаваемую возмущением, характеризуемым волновым числом й, и определить движение электрона под действием этой силы. Пренебрежем пока атомной структурой и будем рассматривать вещество нашего кристалла просто как непрерывный диалектрик, в котором распространяются волны поляризации.
Если Р— вектор поляризации, имеющий вид продольной волны Р = — аое'к", (11.51) Гл. 11. Вариаиионный метод единице. Тогда постоянная связи а равна безразмерному отно- шению: 1 1 1 а==( — — — ) ез, -(/2 е„е (И.55) где е и з — соответственно статическая и динамическая диэлектрические постоянные. В типичном случае, например в кристалле ХаС1, значение а составляет около 5. Вычисляемые значения энергии будут выражены в единицах йю. После того, как мы решили задачу о движении гармонического осциллятора, можно изучить и квантовомеханическое движение электрона. Например, амплитуда вероятности того, что электрон выходит из точки г,, когда все осцилляторы находятся в основном состоянии, и ааканчивает движение точке гз при условии, что все осцилляторы снова находятся в основном состоянии, равна ~оо(2, 1) = ~ е'зУг(1) (И.56) (при эхом мы использовали результаты гл.
8) и 8= — ~ ( — ~ е)1+ ') — ееюеозе-'"'<е>е-ц'-о~е(1еЬ . (И.57) 1 о ~ ~Ь И о 'г'2нее ле1е 2)~де~ 2 ьо (2н)е' Проинтегрировав по волновым числам к, получим К(2, 1) = ~ езЯг(1), (И.59) Величина боо (2, 1) зависит от начального и конечного положений электрона г, и гз и от рассматриваемого интервала времени Т. Так как зта функция представляет собой ядро, она является решением волнового уравнения Шредингера, рассматриваемого в зависимости от величины временнбго интервала Т.
Поэтому в ее экспоненциальные множители войдут частоты, пропорциональные уровням энергии Ет. Найдем низший из этих энергетических уровней. Как уже отмечалось, развивая наш вариационный принцип, мы не интересовались ядрами, в которых величина Т имела бы смысл реального интервала времени; напротив,мы рассматривали мнимые величины, подобные появляющимся в выражении (11.8) при больших значениях р. Прослеживая все этапы, приведшие к выражению (И.58), можно легко показать для мнимых значений временнбй переменной р, что окончательный вид ядра будет таким: Э о.
Медленные електронм е ионном ори«толке где переменная 1 изменяется от 0 до р и Этот результат совпадает с тем, что получится, если в выражении (11.58) переменную 1 заменить мнимой величиной М. Прк больших значениях р это ядро асимптотически становится пропорциональным ехр ( — рЕ«).
Мы имеем сравнительно сло»иный интеграл по траекториям, к которому и попытаемся применить наш вариационный принцип. Сначала выберем некоторое простое действие Я', грубо аппроксимирующее истинное действие Я, а потом найдем Е' и б. Заметим, что в соответствии с выражением (11.60) на частицу в любой момент времени «воадействует» реакция от ее положения в предыдущий момент времени, которая обратно пропорциональна расстоянию между атими положениями и акспоненциально затухает с увеличением интервала между соответствующими моментами '). Причиной этому служит то, что выаванное электроном возмущение в кристаллической решетке потребует некоторого времени для процесса релаксации ионов, и в этот релаксационный период электрон все еще будет «чувствовать» старое воамущение. Попробуем ввести действие Я', обладающее всеми этими свойствами, за исключением того, что в законе взаимодействия вместо обратной пропорциональности расстоянию реакция положения будет иметь вид параболической ямы.
Такая аппроксимация была бы непригодной, если расстояние ~ г (е) — г (1) ~ очень часто становилось бы чрезмерно большим. Однако, поскольку интервалы времени ограничены экспоненциальным затуханием, силы взаимодействия, большие значения этой разности, не могут дать сколько- нибудь существенного вклада в интеграл. Поэтому запишем Я'= — — ~ (г/'е(1 — — С ~ ~ )г(1) — г(е))»е мп-е$«)гете. (11.61) 1 Р ' 1 Постоянная С определяет силу притяжения между электроном и ранее созданным им возмущением; будем рассматривать ее в качестве подгоночного параметра.
Кроме того, без особых трудностей можно допустить, что закон обрезания экспоненты содержит некоторую отличную от единицы постоянную ео. С ее помощью мы сможем частично компенсировать неточность, которая вносится при замене обратно пропорциональной зависимости от расстояния параболической ямой (в этой связи ааметим также, что добавление еще одной постоянной в параболический член не улучшает резуль- ') Хотя величина 1 в выражении (11.60) пе является вастояшвм временем, а всего лишь переменной вптегрврозания, полезно рассматривать ов, кок мы это Лолаав э 1 2 гл.
10, э качестве времеви. Г». П. Вариоцоонныа метод тата, так как такой член выпал бы при вычислении Ко). Параметры С и ш подберем далее таким образом, чтобы получить минимум ЕО. Поскольку действие Я' мы выбрали квадратичным, то все существенные интегралы по траекториям легко вычисляются методами, описанными в гл. 2. Сравнивая выражения (И.60) и (И.61), видим, что (я у) — ' е — к-и а>г+ Р у'В ~ ' ] г (>) — ( ) ]: + — С ~ (]г(С) — г(г)]г) е- 'Р-е]с>а=А+В. (И.62) Сконцентрируем наше внимание на первом члене в правой части этого равенства А. Для выражения ]г(~) — г(г)] ' в нем можно выполнить преобразование Фурье.
Дело в том, что этот множитель возникает в результате преобрааования Фурье при переходе от выражения (И.57) к (И.58). Таким образом, мы имеем ]г(~) — г(г)] '= ~ НЧгехр(>йй ]г(г)-г(г)])(2яЧег) х. (И.63) Теперь необходимо изучить выражение (ехр (рй ]г (т) — г (о)]))— )е (ее'ехР (Ей ]г (г) — г(а)])) Йг(г) (И.64) з'л>г (е) Интеграл в числителе имеет вид 1= ~ (ехр] — — $~ — ~ е>е — — С~~]г(е) — г(е)]ге->ок-е|е>геЬ+ + ~ 1(1) г(Г) ей~~ Уг(Г), (И.65) где введено обозначение 1(1) = >Ы(е — т) — >Ы(е — о).
(11.66) Поскольку выражение (И.65) зависит от 1 или ]г, можно вычислить его, за исключением некоторого нормирующего множителя, который был опущен в (И.64). Между прочим, отметим, что в (И.65) три взаимно перпендикулярные компоненты разделяются и нам останется рассмотреть лишь скалярный случай. Метод интегрирования здесь совпадает с предложенным в гл. 3 для вычисления гауссовых интегралов по траекториям.
Поэтому подставим Х (е) = Х' (е) + У (1), где Х' (1) — функция, для которой показатель экспоненты минимален; переменной интегрирования теперь является У (1). Поскольку показатель экспоненты квадратичен по Х (г), а Х' определяет его экстремум, то г" (>) может войти в пока- О о. Медленные влектроны в ионном кристалле ватель только в квадрате, поэтому У выделится как множитель, не содержащий 7 и обращающийся после интегрирования в постоянную (зависящую только от Т): Х=-ехр [ — — ~ Х'о(е) сН вЂ” — С ~ ~ [Х'(1) — Х'(в)] е-"!е — ц с[ьс[о-[- + ~ ~(~) Х (~) Ж~ (И.67) Если время изменяется от 1 = 0 до Г = Т, то удобно выбрать граничные условия Х' (0) = Х' (Т) = О. Условие обращения в нуль вариации дает интегральное уравнение =2С ~ [Х'(г) — Х'(о)[е- р-и Нз — 7(г).
(И.68) С помощью этого уравнения выражение (И.67) можно записать в более простом виде: Т=ехр [ —, ~ 7(г)Х'(г) й~ . (И.69) Теперь мы должны еще решить уравнение (И.68) и подставить результат в (И.69). Чтобы сделать это, введем функцию Е(Г) = ~ ~ е 'и МХ' (з) сЬ (И.70) так, чтобы =ее [е (с) — Х (е)[. (И.71) Тогда уравнение (И.68) принимает вид — "„; '= —".[Х'() — г(И вЂ” 7(). Как видно, уравнения разделяются и легко решаются. Подстановка в соотношение (И.69) решения уравнения (И.68) Х'(8) дает Х=ехр(Лг [Х(т) — Х(о))) = = ехр [ — —, (1 — е-И'-о[) — —,[с' [ т — о [1, (11.73) 2Сао но где мы положили (И. 74) Этот результат нормирован правильно, так как он справедлив в случае к=О.
После подстановки выражения (И.73) в (И.63) получим интеграл по [г от простой гауссовой функции, так что для А имеем ~ ~и' т+ (1 — е-"е) [ е-нее[т. (И.73) о Гл. Гт. Вариазионнмй метод Чтобы найти В, нам нужно определить величину (~г(1) — г(г) ~з). Ее можно получить, разложив обе части выражения (И.73) в ряд по )г с точностью до членов порядка 7ез. Таким обрааом, — ()г(т) — г(п)!з>= —,(1 — е-"-Ш)+ —,)т — о). (И.76) 1 4С еоз Интеграл В теперь легко вычислить, и результат выражается в очень простом виде: В= —.
(И.77) В итоге нам нужно получить энергию Е', соответствующую действию Я'. Эту величину проще всего найти дифференцированием обеих частей выражения (И.б) по С: СЫЕ В (И.78) так что с учетом выражений (И.77) и (И.74) получаем после интегрирования Е; = — (в — ю), 3 (И.79) где мы учли, что Е; = 0 при С = О. Поскольку Е; — В = = (з(,о) (л — ел)з, то окончательно получим для энергии выражение Е = — (о — й)з — А, (И.80) где А задано соотношением (И.75). Величины л и и — два параметра, которые для получения минимума можно варьировать порознь. К сожалению, интеграл А нельзя вычислить в квадратурах, так что окончательное определение Е требует численного интегрирования. Однако существует возможность найти приближенные выражения в различных предельных случаях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
