Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Это означает, что атомы гелия являются бозопами н при перестановке частиц амплитуды должны складываться. Принято говорить, что бозоны подчиняются симметричной статистике, а фермионы — антисимметричной. Для того чтобы увидеть, как происходит это сложение амплитуд, по крайней мере в случае атомов гелия, можно рассуждать следующим образом.
В конечном состоянии атомы неотличимы друг от друга, поэтому, если даже конечная конфигурация совпадает с начальной, некоторые атомы могли поменяться местами. Пусть, например, какой-то атом, который мы обозначим индексом 1, имеет в начальный момент положение х> (О). Мы ухсе предположили, что в конце это же положение займет по крайней мере 3>0 Гя.
ГО. Стаиеисиеическая механика один атом. Таким образом, для некоторого атома значение х (()) равно х, (О). Конечно, закончить свое движение в этой точке может и не сам атом 1. Вместо этого он мог бы занять начальное положение атома 2, т. е. хо (О), тогда нак в то же самое время атом 2 занял бы исходное положение атома 1; другими словами, атомы 1 и 2 в конечной конфигурации могут поменяться местами по сравнению с начальной. Чтобы описать это наиболее общим образом, обозначим через Рхе некоторую перестановку атомов, первоначально находившихся в точках х;.
Тогда в упомянутом случае перестановки атомов 1 и 2 (все другие атомы остались на своих местах) можно записать Рх, =х>и Рх,=х„Рхо — — хо, ..., Рхл-— -х>е, .... (10.75) Вообще говоря, расположение частиц в конечном состоянии может быть произвольной перестановкой их начальных состояний: х1 (р)=Рх>(0). (10.76) Поэтому для построения полной амплитуды мы должны просуммировать по всем Л! возможным перестановкам, поскольку каждая из них является альтернативной воэможностью. Если затем проделать усреднение по всем перестановкам, то получится правильная нормировка.
Отсюда видно, что в случае симметричной статистики выражение (10.74) следует заменить выражением вне<о> ои 2= — ~', И~В(0) ~ ~ехр( — 2а )(т~ ~ ~В~ ~ос>о+ вко> о зи +У; ~ Р(К,(1) — В,(с)) !1))1Ы"В(о), (10.77) ь> о где символ ~~~~~' означает суммирование по всем перестановкам Р. Если бы мы имели дело с фермнонами (напрнмер, с изотопом гелия, содержащим три нуклона в ядре), мы должны были бы ввести дополнительный множитель;~1, положительный для четных перестановон и отрицательный для нечетных. В окончательном варианте Я' имелись бы также некоторые дополнения, зависящие от спина атома. Более детальный вывод выражения (10.77) можно сделать следующим образом.
В случае атомов Неа квантовомеханическая амплитуда для двух атомов, которые движутся от точек а и Ь до точек с и И, будет равна К (с, а; И, Ь)+ К(с(, а; с, Ь) (10.78) Э 4. Сиспеемы с несколькими переменными (амплитуды для альтернативных конечных состояний суммируются в силу неразличимости этих состояний). В этом выражении К (с, а; д, Ь) — комплексная амплитуда перехода частицы из точки а в точку с, в то время как вторая частица переходит из Ь в д. Поскольку частицы неразличимы, то из свойств симметрии следует, что амплитуда вероятности обнаруяеить в конечном итоге эти частицы в точках с и й должна быть симметричной функцией.
Следовательно, волновая функция ср (с, Ы) должна быть симметричной функцией переменных г, и гс, т. е. "т'(с, о)=ср(с, с). (10.79) Если бы частицы были фермионами, волновая функция оказалась бы антисимметричной функцией их положений. Это правило легко обобщается на случай многих частиц: ф(1,3,2, ..., Х), ф(1, 2, 3, ..., Л') = ф(1, 2, 4, ..., Л~), (10.80) Простейшее следствие этого общего правила состоит в том, что волновая функция обязана быть симметричной или антисимметричной. Несмотря на то что в общем случае существуют и другие решения уравнения Шредингера, в природе реализуются только симметричные и антисимметричные. Поэтому в выражении для функции распределения (10.2) мы должны суммировать не по всем значениям гамильтониана Н, которые можно получить при решении уравнения Нерп = Е„~р„, а только по тем из них, волновая функция которых симметрична.
Например, если не учитывать статистику Л' атомов, то матрица плотности р (х', х) определяется выражением (10.28). Каким образом следует видоизменить сумму в этом выражении, йтобы в нее входили только лишь симметричные функции? Для этого применим следующий искусственный прием. Заметим сначала, что из любой функции можно получить симметричную, поменяв местами переменные и сложив полученную новую функцию с исходной; неаависимо от вида ~ (хм хз) комбинация 1(х„ х,) + 1 (х„х,) является симметричной функцией. Следовательно, для любой волновой функции у (х„хю..., хк) комбинация 'р' (яе) = Х а (Рхе) (10.81) будет симметричной.
Теперь заметим, что если ~р„(хе) является решением уравнения П1редингера, то ф„' (х;), определенная выражением (10.81), также будет его решением, поскольку гамильтониан Н симметричен относительно перестановки координат. Поэтому всякая функция ер„(Рх) с переставленными координата- 312 Гя. 10. Статистическая метаника ми, равно как и сумма этих функций, будет решением уравнения Шредингера. Для некоторых собственных значений энергии Е„существуют симметричные собственные функции ~р„, а для некоторых — нет. Предположим, что Ео — какое-то собственное значение энергии, для которого уравнение Шредингера не имеет симметричного решения.
В этом случае сумма ~ уо (Рх) должна обратиться в нуль, поскольку иначе она являлась бы симметричным решением, соответствующим значению Ео. Этот результат означает, что операция, определенная выражением (10.81), отбирает только те решения волновых уравнений, которые являются симметричными, а все другие решения отбрасываются. Коли ер„(х) — симметричная функция, то она равна ер„(Рх); поскольку существует М способов перестановки Л' атомов, мы имеем ( М ори (хе), если ор„симметрична, Х ера(Рх ) = ~ О, если ер„имеет какие-то дру- (10.82) гие свойства симметрии.
Этот результат и отвечает на наш вопрос. Теперь из суммы, определяющей матрицу плотности, нужно отобрать только те члены, которые относятся к симметричным состояниям. Таким образом, все х~~ ~р (Рх', х) =- ,~~~ ~ ера (Рх') ори* (х) е- Ззв =- Р и Р = М ~ еР„(х') еР„(х) е-Зл = М Рсим (х', х). (10.83) и Именно поэтому мы, определяя функцию распределения в случае симметричной статистики, в выражении (10.77) переставляем частицы и делим результат на М.
Получаемая при этом функция распределения удовлетворяет соотношениям сим ~ рси„(хое хо) с(~хо = Есин'= ~', е Зли. (10.84) и Отметим некоторые характерные особенности соотношения (10.77). Для функции распределения мы должны были бы ожидать при высоких температурах классического решения, в котором отсутствовали бы квантовые эффекты. Пренебрежем на время потенциалом и рассмотрим влияние смещения атома в некоторую точку, отстоящую от исходной на расстояние е(. В интеграле по траекториям (10.77) это соответствует смещению из начальной точки Л; (0) в положение РЛ; (0), отличающееся перестановкой З й. Системы с нескслъкими переменными атомов. Вклад каждой такой перестановки в общую сумму пропорционален ехр ( — лссс'/сТ/2йк), т.
е. уменыпается при увеличении температуры или при увеличении расстояния между атомами. Следовательно, пока атомы не находятся чрезвычайно близко друг к другу, никакие перестановки (даске простейший обмен местами между двумя атомами) несущественны по сравнению с тождественной перестановкой, которал оставляет все атомы ва их прежних местах. Если же теперь учесть эффекты, связанные с потенциалом, который в лсцдком гелии резко возрастает на расстоянии 2,7 А от центра атома, то несущественными оказываются все конфигурации, в которых межатомное расстояние меньше этой величины. Поскольку при суммировании существенный вклад дает лишь тождественная перестановка, нам остается для рассмотрения только множитель 1/М. Уже на раннем этапе классической термодинамики физики отдавали себе отчет в том, что такой множитель удобен, когда частицы одинаковы, однако его смысл оставался неясным.
Когда изучаются системы с несколькими различными сортами атомов, влияние этого множителя на величину химического потенциала называется энтропией смешения. По мере падения температуры экспоненциальный множитель ехр ( — лсс)к/сТ/2й'), препятствующий переходам в новые конечные положения, становится все меньше и меньше. Это означает, что при чрезвычайно низких температурах в суммировании по перестановкам станут существенными новые члены. В этом случае должны быть, конечно, учтены квантовые эффекты; мы видели, что в первом приближении это можно сделать заменой потенциала У на эффективный потенциал У. С падением температуры, начиная примерно с 2,4 — 2,3'К, теплоемкость жидкого гелия начинает медленно возрастать. Задача 10.8.
Плотность жидкого гелия равна 0,17 г/см'. Оцените по порядку величины температуру, начиная с которой для описания жидкого гелия становятся существенными перестановочные члены. На первый взгляд представляется неожиданным, что очень сложные перестановки атомов играют существенную роль. Всякий раз, когда какой-нибудь атом перемещается на соседний участок, возникает экспоненциальный множитель, содержащий соответствующее расстояние. Обозначим этот множитель через у; тогда в случае перехода на соседние участки г атомов необходимо учитывать множитель у', а поскольку у при любой температуре наверняка меньше единицы, то у" в случае больших г моя'ет стать весьма малым. Казалось бы, что если г составляет заметную долго от пол- 314 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
