Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Предположим, например, что наша система находится в конфигурационном пространстве и мы интересуемся, какова вероятность обнаружить ее в точке х. Известно, что если состояние системы единственно и описывается волновой функцией у~ (х), то искомая вероятность равна квадрату модуля этой волновой функции у*;(х)у~ (х).
Таким образом, усредняя по всем возможным состояниям, получаем полную вероятность обнаружения системы в точке х: Гл. 10. Сеаанеистпикескаа механика 294 Этой функции достаточно, поскольку оператор А под знаком интеграла (10.27) действует только на фе и не действует на фе. Предположим теперь, что в функции р (х', х) А действует только на х'; тогда в выражении Ар (х', х) полагаем х' = х и выполним интегрирование по всем значениям х. Такая операция называется вычислением шпура матрицы Ар.
Из определения функции р (х', х), очевидно, следует, что Р(х) = — р(х, х). 1 (10.29) Поскольку вероятность Р (х) нормирована, так что интеграл от нее по всем х равен единице, мы имеем Я = ~ р (х, х) е[х = 8р [р[, (10.30) где Вр — сокращенное обозначение слова «шпур». Величина р (х', х) нааывается матрвфей плотности [точнее, статистической матрицей плотности, соответствуюшей температуре Т; термин «матрица плотности» широко применяется также в общем случае неаависимо от равновесности состояний систем и часто используется для обозначения нормированного варианта функции р (х', х) Я).
Вычисление выражения (10.28) для отыскания матрицы плотности и является основной задачей статистической механики. Если мы интересуемся обычными термодинамическими переменными, нам нужен лишь шнур этой матрицы (диагональная сумма элементов), определяющий функцию распределения Я. у 2. Вььчислеиие с иояом«его интеграла ио ттеегемто1эияя Матрица плотности, представленная в виде (10.28), очень похожа на общее выражение для ядра (4.59) К (хю г,; х„г,) = Я фг (хг) ф,' (х,) ехр [ — — Е1 (гг — г,) [ . (10.31) 1 Справедливость этого выражения ограничена условием гг ) ге и требованием того, чтобы гамильтониан был постоянен во времени.
Однако в статистической механике имеет место именно этотслучай, так как равновесие может достигаться лишь тогда, когда гамильтониан не зависит от времени. различие между выражениями (10.31) и (10.28) заключено в покааателе экспоненты. Еоли разность г, — ге в формуле (10.31) заменить на — ерй, то выражение для матрицы плотности формально совпадет с выражением д" 2. Внаиеаание е помощью интеграла по траепторилм 29о для ядра, соответствующего мнимому отрицательному интервалу времени. Сходство между этими двумя выражениями можно установить и с другой точки зрения. Предположим, что мы записали матрицу плотности р (х„х,) в форме, близкой к виду ядра К, т.
е. в виде й (хю ка', хе, ие), где ге(х„иа; х„и,) = ~~', едг (хз) ед~(х,)ехр ( — "— '"'Е,) . (10.32) Тогда, если положить хз = х', х, = х, из = й(1 и и, = О, выражение (10.32) становится тождественным выражению (10.28). Дифференцируя по аю получаем — Ь вЂ” = ~~~~ Егеое(хз) еое (х,)ехр( — ~„'Е) .
(10.33) 1 Вспомним теперь, что Еегр, (х') = Н~р1 (х'); если считать, что оператор Н, действует только на переменные хю то можно записать уравнение ь дгг(2, 1) гг г,(2 1) диа или, в несколько иной форме, (10.34) — 1) = пар(2 1). (10.35) Заметим, что это дифференциальное уравнение для р аналогично уравнению Шредингера для ядра К, полученному в гл. 4 (соотношение (4.25)). Можно переписать его в виде — НеК(2, 1) Длл ез)(о В дХ(2, 1) г до 6 В гл. 4 мы установили, что ядро К (2, 1) представляет собой функцию Грина для уравнения (10.36); в том же самом смысле матрица плотности р (2, 1) является функцией Грина для уравнения (10.35).
В случае простых гамильтонианов, зависящих только от импульсов и координат, мы смогли записать ядро в виде интеграла по траекториям. Например, гамильтониану Ве де н= — —,+р( ) (10.37) (10.36) К(2'1) 1/ я ехр( 2Л ' ' — В еУ( ' 2*' ) ), (10.38) соответствует решение для ядра, отвечающего очень короткому промежутку времени $, — зе = е: 296 Гл. 10. Статистичесиал мехаииаа что можно проверить прямой подстановкой в уравнение (10.36). Если мы возьмем произведение большого числа записанных в таком виде ядер и перейдем к пределу, одновременно устремляя е к нулю и неограниченно увеличивая число сомножителей, то в итоге получим интеграл по траекториям, определяющий ядро для некоторого конечного промежутка времени.
Решение уравнения (10.34) можно построить тем же самым способом. Для бесконечно малого интервала и, — и, = г1 оно получается заменой з = — сц в выражении (10.38). Таким обрааом, К(Х„Ч;Х„О)=~/ и х (т/2Ч)(хг хс) +ЧП((хг+хс)/2) ~ (10 39) /с(хг, иг; хо ис)= ~ ~ехр.~ — ~~ (2В (хсы — хс)сс с+ 2ач с=а (10.41) Нормировочную константу следует теперь выбрать в виде а= ~/ — ~, (10.42) и интеграл вычисляется по всем траекториям, проходящим из точки хг в точку хг (т, е.
х; равно хс при г = 0 и хг при с = /(/) на отРезке иг — ис — †/)/г1. Результат всех этих рассуждений заключается в следующем: если «траекторию» х (и) рассматривать как некую функцию, связывающую значения координаты и параметра и, и если обозна- В том, что это выражение действительно является решением уравнения (10.34), можно убедиться непосредственной подстановкой, Функции, определенные для последовательных значений и, строятся по тому же правилу, что и ядра для последовательных интервалов времени, т. е.
/с (2, 1) = ~ Ус (2, 3) й(3, 1) ссхг. (10.40) Справедливость последнего следует иэ того факта, что выражение (10.33) представляет собой первую производную по и. Этим правилом можно воспользоваться, чтобы получить интеграл по траекториям, определяющий й (2, 1): а 2. Вььиислеиие с комок«ью инте«рака ао траекториям 297 чить через х производную ох/Ыи, то матрица плотности выразится в виде р(хз х,)= ~ (ехр ( — — „~ [ — я'(и)+а'(х)~ с/и~ ) Мх(и). (10.43) о Этот результат очень примечателен, поскольку поведение квантовомеханической системы полностью определяется здесь интегралом по траекториям, причем не появляется вездесущая мнимая единица «, столь характерная для квантовой механики (между прочим, этого не будет и в случае системы, движущейся в магнитном поле).
Интеграл (10.43) намного удобнее в обращении, и его значительно легче интерпретировать наглядно, чем рассмотренные выше комплексные интегралы. Здесь легко видеть, например, почему некоторые трактории дают очень малый вклад в интеграл: для них отрицательный показатель экспоненты велик по модулю и потому подынтегральная функция ничтожно мала. Кроме того, отпадает необходимость в размышлениях о вааимной компенсации соседних траекторий; в данном случае все они суммируются совершенно равноправно, независимо от величины их вкладов. Параметр и ни в каком смысле не является реальным физическим времепем.
Он представляет собой лишь параметр в выражении для матрицы плотности р. Однако мы можем, если хотим воспользоваться аналогией, считать и временем для некоторой траектории и интерпретировать выражение (10.43) весьма наглядным образом. По сути дела, мы подыскиваем физическую аналогию для математического выражения; будем называть и «временем» в кавычках, которые дол»кны напоминать нам, что это не есть фиаическое время (хотя и и в самом деле имеет размерность времени).
Подобным же образом назовем х «скоростью», льла/2 — «кинетической энергией» и т. д. В атом смысле выражение (10.43) утверждает, что матрица плотности, соответствующая температуре 1/р, обраауется следующим образом: Рассмотрим все возможные траектории («движения»), посредством которых система может переходить между начальной и конечной конфигурациями за «время» ра; матрица плотности является суммой вкладов от каждого такого движения, причем вклад отдельного движения равен деленному иа а интегралу по «времени» от «энергии» для рассматриваемой траектории.
Если мы выберем только те случаи, когда конечная конфигурация совпадает с начальной,и просуммируем по всем начальным конфигурациям, то получим функцию распределения. 298 Гл. УО. Статистическая механика Задача 10.1. Покажите, что матрица плотности в случае гармонического осциллятора имеет вид ти ~па [ тсо ( 2иьоЬсо[ЗЬ 1 Р $2Ь(оЬеарв)о х [(ха+ х'о) сЬ соря — 2хх'[). (10.44) Сравните это выражение с результатами задачи 3.8. Покажите также, что свободная энергия равна МТ [и [2эЬ (бео l2ЬТ) [.
Последнюю величину проверьте прямым вычислением суммы (10.2). Если температура не слишком низка (далее будет обсуждаться вопрос, какая температура является слишком низкой), то [)В очень мало. Поэтому при вычислении функции распределения, для которой хе = хо, каждая траектория, начинаясь в точке хм возвращается в зту точку через очень короткое «времяо. Действительно, трактории не могут проходить в большом удалении от точки хы поскольку возвращение назад потребует очень большой «скорости» и большой «кинетической энергию>. Для таких траекторий экспонента в выражении (10.43) становится ничтожно малой и их вклад в сумму по всем траекториям будет незначителен.
В силу этих обстоятельств траектории х (и), которые должны рассматриваться при вычислении $' [х (и) [, никогда не располагаются далеко от начальной точки хп Поэтому в первом приближении можно записать для всех траекторий $' [х (и)[ ж е'[х,[; тогда потенциальная энергия оказывается не зависящей от траектории и часть экспоненты, содержащую потенциал, можно вынести за знак интеграла. Таким образом, для не слишком малых температур хе эо р(х„х,)=е-э~о"~> ~ (ехр [ — — 28 $ хо(в)«[и [~ Ух(п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
