Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Можно показать, что законы классической физики, которые получаются из принципа наименьшего действия при использовании только действительной части Я',,ч, в точности совпадают с комбинацией уравнений Максвелла и законов Ньютона. Однако при этом никак не учитывается то обстоятельство, что решения уравнений Максвелла берутся только в виде запаздывающих волн (в самом деле, условие выбора запаздывающих волн нельзя выразить с помощью принципа наименьшего действия, если действие выражается только через координаты частиц; такая функция действия соответствует полусумме опережающего и запаздывающего решений (6)). Займемся теперь исследованием нашего полного квантовомеханического комплексного выражения для Х, в котором учитывается условие запаздывания.
Первое приближение теории возмувцений. Точное вычисление интеграла по д является слишком сложной задачей, поэтому воспользуемся тем, что в выражения для токов в действии Х входит электрический заряд частиц е. Действие Х пропорционально ев или в безразмерной форме — постоянной тонкой структуры ев 1 зе 137,039 Га. 9. Квантоваа аавктродинамика — весьма малой величине, точное значение которой берется из опыта. Можно ожидать, что эффекты, обусловленные действием Х, малы. Мы уже знаем, что, например, значения атомных уровней теория Шредингера дает вполне точно, поэтому здесь могут быть лишь малые ошибки, возникающие из-за пренебрежения действием 1. Рассмотрим эффекты, обусловленные действием Х, в первом порядке по ез, соответственно — во втором порядке по е, используя первоначальное выражение действия в виде (9.32).
Введем Лмм — амплитуду вероятности перехода материальной системы из начального состояния М' в такое же конечное состояние подобно тому, как это делалось в $ 5 гл. 6. Если пренебречь вкладом от 1, то в нулевом порядке будем иметь Лммв=о ' -(с/зс в с (9.66) Член первого порядка с Лммс= э $м(с[с) ебтю зз Хфм(с[с) Уд(с)= 2ь „с ~ [м (71) ~ [Хс (~)1 (з)+ +Лак(~) 1з (з)) — '"Ы '~ [Г [зФм(9с) УД(Г). (9.67) Будем считать, что з ) г; это дает коэффициент, равный двум. Аналогичное выражение уже вычислялось в э 1 гл. 5. Для данного случая получаем Лммс= — ® (АЕ)Те ' и ~", где АЕ= з ~~~ ~ ~„"-, [(Хск)мл(! ск)лм+(1зк)мос(1эк)лм] х М ~ есслослм-лл-зов>зс[т ~ч~ 4пз ~ [[(Ха) [з [ о сз дзь + ~ (!2к)ям ['[ [2йс (Ем — Ея — [слс+ сз)) ' — з ' (9.68) Выделив в этом выражении действительную и мнимую части, можно записать его в виде г ' Электрон в поле получения Действительная часть 6Е соответствует малому сдвигу энергетических уровней, впервые экспериментально обнаруженному Лэмбом и Ризерфордом — так называемому лзмбовскому сдвигу.
Этот сдвиг составляет 6Е=~ ~ (((/га)имое+ + ) (/зз)км (~] Р. Р. (Еее — Еее — 6/ес) г — в ' (9 69) 4пл Евое Мнимая часть АЕ имеет вид 2 = ',Я ~ ()(/1а)км ! + +) (/за)ям !') пб(Ем — Ек 6/в~) 2а 2 е ' (9.70) 4яа ИЧс Амплитуда вероятности того, что атом остается в возбужденном состоянии и не испускает фотонов, записывается теперь как ехр ( †в (Е + 6Š— (у/2)Т/6) и соответствующая вероятность равна ехр ( — уТ).
Таким образом, вероятность того, что атом остается в состоянии М, экспоненциально уменьшается в зависимости от величины декремента затухания у. Физически это уменьшение вероятности объясняется тем, что атом в состоянии М может испустить фотон и перейти в более низкое состояние Ае. Сравнивая выражения (9.53) и (9.70), мы убеждаемся, что у действительно есть полная вероятность перехода за единицу времени из состояния М во все нижележащие состояния Л'.
у Б. Элентмрон в моле нзлучения Поправка к энергии. Чтобы лучше понять смысл электромагнитной поправки к энергии, рассмотрим очень простой пример: систему, состоящую всего лишь из одного движущегося заряда, положение которого характеризуется вектором К (например, атом водорода с бесконечно тяжелым ядром или свободный электрон в пустом пространстве). Тогда ток ) = еК ехр (/к К/й). В данном случае ток ] содержит К, поэтому в соответствии с 3 3 гл. 7 при рассмотрении членов второго порядка малости нам следует проявить некоторую осторожность.
Поправка к энергии бЕ содержит дополнительный член, связанный с квадратом скорости Ае. Выражая К (подобно тому, как зто делалось в 3 5 Гл. У. Кваитовал влектродииаиика гл. 7) череэ оператор импульса р, получаем бЕ Х ~ 2„~(2~) (~р вв + И 4левя 4яев 1. В двк Задача 0.10. Почему нет необходимости точно вычислять в матричных элементах экспоненту /э [р,ехр ( — бй В/л) + + ехр ( — (й ° К/Й)рв)7 Рассмотрим теперь простейший случай покоящегося свободного электрона.
В атом случае поправка к энергии, связанная с полем, в любом состоянии представляет собой поправку к энергии покоя, или, как это следует из теории относительности,— к массе бт = ЬЕв/св. Это и есть так называемаяэлектромагнитная масса электрона. Состояния покоящейся свободной частицы описываются плоскими волнами. Если М и Х вЂ” импульсы электрона соответственно в состояниях рм н ря, то матричный элемент (р, ехр ( — Ж ° В/л)ям) всегда равен нулю, за исключением случая рл = рм — й, где он равен р,л. Поэтому матричный элемент, соответствующий первоначально покоившемуся электрону, равен нулю, а поправка 6Е„эдесь есть не что иное, как последний расходящийся интеграл в выраженим (9,71). Затруднения с короткпми волнами.
Однако это еще не все. Когда мы выделяли в Я, член, содержащий рдрд/2/вв, уже указывалось, что этот член соответствует вэаимодействию точечных эарядов т/а~в;еэ ( д, — е/~ ( г, однако не было отмечено, что прн ь/ этом в сумму должны включаться также и расходящиеся члены с в = /. Действительно, для отдельной частицы р„= е ехр (рй в(), поэтому х/э ~ рь ~в //вв = 4яе'/2й' и в выражение Я, войдет интеграл 4лев ~ (т/э/ев)Р/в/(2я)в.
Здесь и выше в ЬЕ„расходимости не сокращаются, и мы встречаемся с серьеэной трудностью: интегралы по импульсу /в оказываются квадратично расходящимися, квантовая 'электродинамика дает бессмысленный реэультат. Правда, наше рассмотрение заряженной частицы было нерелятивистским. Однако релятивистское рассмотрение вещества (квантовая электродинамика при этом не иэменяется) не иэбавляет нас от расходящихся результатов, хотя порядок расходимости может при атом измениться. Для частицы с нулевым спином, подобной я-меэону, степень расходимости не иэменяется и по-прежнему остается квадратичной.
Здесь, однако, мы имеем воэможность определить экспериментальное аначение поправки к массе. Насколько известно, с Б. Электрон в коле ивлзкения заряженный и нейтральный п-мезоны различаются только аарядом, т. е. по-разному взаимодействуют с электромагнитным полем, оставаясь неразличимыми при всех других ваанмодействиях. Поэтому можно предполагать, что различие масс заряженного и нейтрального к-мезонов (их массы равны соответственно влм = 273,2 и 264,2 электронных масс), составляющее 9,0 электронных масс, равно 0,034 т = 4,6 Мэв, т.
е. равно энергии, заключенной в электромагнитном поле. Ограничим верхние пределы интегрирования в расходящихся интегралах некоторым импульсом /смаке (такая операция, к сожалению, релятивистски неинвариантна). Тогда последний член соотношения (9.71), который в случае й/с„а„с/с )> тя значительно превосходит два других, даст значение энергии, равное е' (/смаке)в/2ктяс. Если это аначение пРиРавнать величине т„ь — тле =0,034 тиса, т. е. положить (св/2яйс) (я/смаке/тис)в = = 0,034, то для /сисис получим оценку 5,4тяс 0,8Мс /смаке В В где ЛХ вЂ” масса протона. (Релятивистская теория дает ЛЕ = = 0,034 вля при обрезании приблиаительно на том же значении /смак,). Именно поэтому мы считаем, что наши сегодняшние представления о квантовой электродинамике (или о «частицах», с которыми взаимодействуют фотоны) весьма неудовлетворительны. Затруднения появляются, когда мы имеем дело с энергиями, ббльшими массы протона, или с соответствующими величинами частот и волновых чисел.
Зти трудности связаны с собственными колебаниями, длина волны Х которых меньше чем 10 гс сев. Согласно теории дирака, электрон, спин которого равен а/е, должен обладать определенным магнитным моментом. Оказывается, что такому магнитному моменту соответствует отрицательная магнитная энергия, которая почти полностью компенсирует положительную электрическую энергию.