Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора ак в направлении к должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде й аз=0. (9.13) Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокуп- ность свободных гармонических осцилляторов, причем каждому значениао й будут соответствовать две поперечные волны: Если р=0, то ~р=0 и Е= — (1!с)(дА(дг). При этом из уравнения (9.3), если 1=-0, следует (9.11) 1. Няассииесяая эяектрэдиисэеике 259 Задача 9.1.
Покаяеите, что в плоской волне векторы Е, В и [с взаимно перпендикулярны. Решение уравнений Максвелла прн наличии зарядов и токов, Разложим опять потенциалы А и «, а также плотности заряда и тока по плоским волнам: А(й, () =- ~Г4л с ~ а» (() е'» " (2л)з ер (й, () = ~ «» (() е" в —, дз)е (2л)з яз~ [ (й, () = ~ [» (() е'» "—, (2л)з ' е(зь р (В, () = ~ р, (() е'" " (2я)з ' (9. 14) Задача 9.3. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду е, находящемуся в точке «(() в момент времени е, имеет внд р (х, у, г, () = еб [х — дк (()] б [у — дз (()] б [г — д, (()] = ебз [ — «(()].
Покажите, что фурье-образ плотности заряда р„=- еее». ч(з), (9.15) Легко видеть, что плотность тока 2(й, е) равна е«(е) бе [ — «(з)]. Если мы имеем систему зарядов еп расположенных в точках «; (з), то выражения для р» н 1» запишутся в виде Р»=~~~~~ е;е '»'ч'(", 2»=-~~Р ~ее«;(()е з~'з'(О. (9.16) е При этом условие (9.13) остается справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений.
Коэффициент разложения вектора В равен В» = ]/4лс( ([з х а»), соответствующий коэффициент для вектора Е равен Е» =- — ()сер» — )'4ла„, наконец, коэффициент разложения Ч Е имеет вид Ж Е» = )эзер», поэтому например, Задача 9.8. Докажите, что соотношение ~р» = 4лр» ееез означает следующее: величина «» в любой момент времени 1 представляет есзер» == 4лр» (9.17) или «» = 4лр»И».
Функция р» полностью определяется плотностью заряда рю н при этом нет необходимости решать какие- либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, Гл. д. Квантовая влектродинамика собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность р соответствует некоторой совокуп- ности зарядов ев, отстоящих на расстояние г; от некоторой точки, то потенциал ф в этой точке равен ~е;/г;.
Именно в этом и заключается смысл уравнения (9,10). Уравнение (9.3), которое нужно еще решить, запишем в виде Лг х Вз = — Ек+ — 4я,1 . 1 1 о о (9.18) При атом учтем, что Ж ~в Вкиа — 'у'4яс)г Х (й х ак)= 1е'4яой'ак и Ек = — вкфк — )/ 4л ак. Далее, применив равенство (9.17), заме- ним фк на 4ярк7йа и будем иметь ак+ й'с'ак = 3/4я ()к — —,,' ) = 1/4я,(к, (9.19) где величину )к= )к — Жри%а можно назвать поперечной частью тока )к.
Из закона сохранения тока (9.6) следует, что рк = — Ж )к, поэтому й(й )к) 3к =,Ь— (9.20) Последнее равенство означает, что 1')г равно разности тока )к и его коьшоненты по направлению вектора й. Очевидно, й )к = О. Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если пе считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора вг вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению, Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору )г, и обозначить компоненты ак по этим направлениям как аж и аак, то уравнения Максвелла запишутся в виде ага+ йкоаавк = 3/4к )аю азк+ йаоаазк = )Г4я)зю (9.21) (9.22) где 1ж и )ак — компоненты вектора тока )к по соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компо- нентах вектора 1к, а не вектора 1к7).
1. Классическая алеки»роди»иииикс 261 Здесь З„=~ — ' ~ ~911здг « (9.24) — действие для всех частиц без учета поля (если между части- цами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действиеЯ„); Я,= ~ ~р(й, 1)~р(й, 1) — — »(й, 1) А(й, 1) ) с(айда= =~~~~~ е1 ~ (ср («(«(1), 1) — — «1,(1) А(«)1(г) 1)~ с(С (9.25) — действие, описывающее взаимодействие поля и частиц; Я, = — 1 (Ез — Вз) дзй а = 1 3 яя = —,', ~ ~ ) — х" ~р — — ' — ',", ~' — ) ~ ~ А !'1 д'й дг — действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьиро- вать функции А (К, с), ~р (й, 1) и 92 (1). Задача 9.4. В з 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия (бЗ = 0 с точностью до первого порядка в разложении по бд).
Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия бЗ = О в первом порядке вариаций по переменным А и ~р. Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных ак, то удобно выразить и действие в этих пере- ') Следует укааать, что ряд физиков применяет термин «квантовая электродинамика» в более широком смысле, включая в это понятие теорию электрон-позитронных пар. Мы не занимаемся этой проблемой и поэтому слова «квантовая электродинамика» означают здесь просто теорию квантования злектромагнитного поля. Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике ') предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми.
Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия, который дает нам уравнения электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом ноле. Определим полное действие как сумму З«+ Зз + Зз. (9.23) Гл. р. Квантовая влеяовродинзлвияа менных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия Бз дает е'3 2 ~ (~аз Г/)Г ~ — ~ С ~)ГХа21 ) (2 = — д2 ~ерзе- — +аз аа — /взсзазв.аз),, (9.27) а действие Яз при этом принимает вид — лзь лв Яз — ~ (Р ивРз УГ4Я 2 з.аз/ 2 (9.28) После подстановки в эти выражения фурье-образа потенциала ер2=4ярз//вз члены, содержащие ерз, дают в сумме Я, = — — ( — — = — — 'У;", . (9.29) йя Г РаР а е(з(в ( е;ед 2 З яз (2я)з 2 ' ' (Ч — Ч ° ! Здесь мы воспользовались формулой (9 16), а также значением интеграла ~ (4я/й') (ехр (()г В))в)% = 1/Л.
Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитньгм излучением. Включим его в функцию действия для частиц 8,„„=Ю, +8,.= ~ Х ( 2' Д( — —,' Х ) '*", () (9.3Ю) И ЗаПИШЕМ Я=Яизет+Язоеии+Яиояе ТаКИМ ОбРаЗОМ МЫ РаЗДЕ- лили действие Яз для электромагнитного поля на две части.
Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовем действием Яиоя„ которое соответствует полю излучения (учет излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия Бз выбросить члены, содержащие врз. В результате получим Я е = — сз (авзаж — /в с авзазз+ аззазз — /в с аззазд), (9.31) 1 'е ' 22 *, е 22.
Ыйдз 2 (2и)з 1 а это не что иное, как действие, описывающее осцнлляторы поля излучении. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцил- Э" 2. Кваеепеовал механика полл ивличениа ляторов с частицами, равно еув1» Ш Яоввпи=)е'4Я ~ (Ув капа+Уз,-каза) (2з, (9.32) р' 9. Квантовая механика поля налувтения Наше рассмотрение мы начнем с квантовой механики поля излучения в пустом пространстве. В условиях вакуума полное действие содержит лишь часть, связанную с полем излучения Š— Еполве (9.34) которая имеет вид (9.31) и, очевидно, соответствует действию Я для совокупности гармонических осцилляторов. В гл. 8 уа<е рассматривался ряд примеров с выражениями типа (9.31).
Предположим, что к квантовой электродинамике можно перейти, рассмотрев эти осцилляторы как квантовомеханические; справедливость такого допущения тоже обсуждалась нами в гл. 8. Каждому значению й в нашей системе соответствуют две бегущие волны с поляризацией У и 2 и частотой ю = Уес. Для каждой из этих волн (например, волны с амплитудой ага) возможные энергетические уровни будут равны 11 Еж = (~ж+ — ) Луе~, (9.35) где лвк — произвольное положительное целое число или нуль.
Если век = 1, то говорят„что имеется один фотон с поляризацией 1 и импульсои эУе. В общем случае мы имеем пвк таких фотонов, и энергия каждого из них равна йуео. Простая вариация полного действия Я по переменным ага и лак дает уравнения движения (9.21) и (9.22). В развернутом виде действие Я„,„. записывается так: Явоопи=)е 4л .,~~ о1 (а1кеуву+аткдзу) е' ' У 2 в, (9.33) от Ч <Паалау у где ды и азу — поперечные (по отношению к вектору )г) компоненты вектора еуе. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие Я, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными е(у (1), а,к (Г), вак (1), Переход к квантовой электродинамике осуществляется путем интегрирования по этим траекториям экспоненты е'эы и рассматривается в 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
