Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В этом случае у нас будут возникать колебания двух видов: продольные и поперечные, с различной скоростью, которую мы обозначим через сь для продольных и через ст для поперечных волн. Каждому )г соответствуют три моды. Одна из них имеет частоту юь = сьй (й — модуль вектора й). Поскольку, по предположению, направление волны не влияет на ее частоту, то последняя будет функцией лишь абсолютной величины волнового числа й, не зависящей от направлений; поэтому возникают две поперечные моды (т. е. такие, когда движения атомов перпендикулярны направлению движения волны), причем обе имеют одинаковую частоту ют = стй.
Каждая отдельная мода, которой соответствует определенное направление поляризации, ведет себя подобно независимому осциллятору. Предположим, что мы имеем дело с кристаллом объема г. Попробуем подсчитать количество мод, волновые числа которых лежат в элементарном й-объеме с(% = дй„сейся/е, и около значения Й. Мы предполагаем кристалл прямоугольным с длинами граней Ь„, Ьо и Ь,. Применив результаты, полученные в одномерном рассмотрении, видим, что дискретные величины й„различаются друг от друга на 2я/е:„, так что в интервале с(й„имеется И/е„Ь„/2я дискретных значений й„. Применяя те яее самые соображения к другим направлениям, мы найдем, что число дискретных значений й во всем объеме до)г составляет Нйи байи Ыйс йой /йо " (2) (8Л17) Этот результат получен нами (переходя к большим кристаллам) для кристалла любой формы. г 7.
Трехмерный криатааа П(й ~) ~ п(г г)ее га~вг (8.118) где г — пространственный вектор с компонентами л, у, х. Нормальные координаты различных мод зависят от соотношения между направлением П и направлением вектора Й, т. е. координата В общем случае модовая частота вю как мы уже упоминали, является очень сложной функцией )г, имеющей несколько ветвей значений для одного и того же й, но ее определение есть задача классической физики, поэтому вид колебаний в основных модах, как и описывающие их нормальные координаты, будут известны. Кваптовомеханическая задача сводится в этом случае к рассмотрению простого набора осцилляторов, и отсюда уже нетрудно определить все свойства квантовомехапической системы.
Возбуждение каждой моды обычно вазывается возбуждением фокона. В качестве очень простого конкретного примера рассмотрим моды продольных колебаний в изотропном твердом теле (т. е. продольяую составляющую звуковых волн). Монсио качать такое рассмотрение тем же путем, что и в одномерном случае для дискретно расположенных атомов, переходя далее к дликповолновому пределу — приближению непрерывной среды. Полное решение такой задачи определило бы мам все аффекты дисперсии, комплексные ветви решений и поперечные волны, что, конечно, весьма интересно. Однако нет необходимости выполнять все эти шаги для того, чтобы получить квантовомехапический аналог приблилгения непрерывной среды. Можно непосредственно воспользоваться результатами классической физики; вся процедура, включающая переход от дискретных точечных масс к длинповолковому пределу, окааывается в кваптовомеханическом рассмотрении столь же полезной и оправданной, как и в классическом.
Лаграпжиап в обоих случаях (если ограничиться рассмотрением потенциалов, с достаточной точностью представимых квадратичной функцией смещений) имеет одинаковую форму. Причина такого сходства результатов классического и квантового подходов в том, что задача сводится к линейному преобразованию — переходу к нормальным координатам в рамках приближения непрерывной среды, а эти операции и там и тут имеют одинаковый вид. Выпишем теперь уравнения, получающиеся в классическом рассмотрении. Пусть и (г, г) выражает смещение частицы, координата которой в положении покоя есть г.
Допустим, что наше рассмотрение проводится в длинноволповой области, и, следовательно, мы можем применить приблин|епие непрерывной среды. Мода, соответствующая плоской волне, легче всего описывается с помощью преобразования Фурье, которое в этом случае имеет вид Га. 8. Гармонические сочи ляторы У„(к, 1) вектора П не обязательно представляет нормальную моду.
Для изотропной среды три моды, определяемые вектором й, имеют следующие нормальные координаты: (8.119) (т. е. компоненту У в направлении !с) (8.120) (8.121) где е1 и ез — два единичных вектора, перпендикулярных и к, и между собой, Ограничим наше рассмотрение той частью кинетической и потенциальной энергии, которая соответствует продольным модам, определенным соотношением (8Л19), и не будем обращать внимания на поперечные колебания. Используя классические результаты, можно написать лагранжиан для продольных мод в виде Ь= 2 ~ ~ ~ ~ ~ '(, ' ~ — с'й' (У1(й, г)]з) —,.
(8.122) Мы ввели здесь скорость звука с = — 1э/и, которая является функцией от направления распространения волны. Выражение (8Л22) представляет собой прямое обобщение одномерного примера. В первоначальных переменных и (г г) лагранжиан запишется так: 1 д'и — — = — че (че и).
ск д11 (8.124) Если мы определим деформацию сжатия как дивергенцию и, т. е. как (8.125) 1Р= ~7.П, Первый член в правой части этого выражения — кинетическая энергия, равная половине массы, умноженной на квадрат скорости. Второй член выражает энергию сжатия, определяемого дивергенцией чг п (деформация сжатия). Энергию поперечной деформации мы здесь не рассматриваем, поскольку пренебрегаем поперечными волнами. Варьируя лагранжиан по и, получаем классическое уравнение ДВИЛ1ЕНИЯ: У. Трехмерный хриетааа гч то уравнение перепишется в виде — — = — Р 1Р 1 д21Р ее доз ! (8.126) что в точности совпадает с классическим волновым уравнением.
Выполнив преобразование Фурье уравнения (8 124) и сохранив лишь компоненту ехр (1й г), параллельную вектору 22, получим 1 12Ц (8.127) Зто не что иное, как уравнение отдельного гармонического осциллятора. Отсюда видно, что У1 (й, 1) действительно является нормальной координатой. Из лагранжиана, записанного в виде (8.123), можно легко получить нужные квантовомеханические результаты; например, уровни энергии лежат на величину д2Е = пй (1ес) выше энергии основного состояния. Вычислим амплитуду перехода из состояния, соответствующего некоторой фиксированной системе координат и (г, О), к состоянию с другой системой координат и (г, Т).
Эта амплитуда имеет вид К [и(г, Т), Т; п(г, О), О) = ть,ьоь = ~ (ехр ~ — + ~ ~ ~ $ ~ ! — ~ — со ( х .п)21 122г 122~ ) Яе и (г, с). ооо о (8.128) Интегрирование распространяется здесь на траектории и (х, 1), выраженные через все три компоненты вектора г и время С. Конечно, совершенно необязательно требовать, чтобы функция и (г, 1) имела один и тот же вид и в начальном и конечном состояниях.
Здесь мы приходим к интересному развитию нашей первоначальной идеи об интеграле по траекториям. До сих пор подынтегральные выражения были функционалами одной или, возможно, нескольких функций х (1) одного аргумента 1, а интегрирование выполнялось по всем таким траекториям (функциям). Теперь мы должны интегрировать функционал от функции п (г, 1) четырех аргументов х, у, г и 1 и брать интеграл по траекториям, соответствующим всем значениям этой функции. Все необходимые при этом вычисления можно выполнить с помощью описанной выше стандартной методики, поскольку подынтегральное выражение здесь, как и раньше, является гауссовым функционалом.
Первый шаг при вычислении такого интеграла заключается в отыскании траектории, приводящей к стационарному значению интеграла под знаком экспоненты, соответствующей лагран- Га. о. Гармонические ослик,ииноры жиану (8.123) или, что более удобно, волновому уравнению (8Л26). Мы должны учесть граничные условия при г = Ои г = Т. Удовлетворить граничным условиям в данном случае не проблема, однако это несколько отличается от обычной классической задачи фнэики, где прн г = 0 эначения координат и их производных, т.
е. и (г, 0) и (дп/дг)~=э, авданы. Мы могли бы следовать этим путем, однако иэ предыдущих примеров нам уже известно, что подобную эадачу лучше всего предварительно преобразовать к нормальным координатам и интегрировать по траекториям лишь потом. Такое преобраэованне имеет вид ппт> )(ехр ~ — еР '~ ~ (с)о-)сосабч) с(г ) ~ ЯУ, (й, с), (8Л29) н, <о> где граничныо условия ааданы соотношениями У, (Т) = У, ()г> Т) = —.
~ ~ ~ ечк'и (г, Т) с)ог, (8ЛЗО) Уе (0) = У, ()г, 0) = — ~ ~ ~ е'к "и (г, О) сРг. Мы перешли к более простому типу интеграла по траекториям, где траектория описывается. лишь как функция одной переменной г. Поскольку интеграл по траекториям может быть выражен произведением нескольких таких интегралов, каждый нэ которых будет определять движение только для одной нормальной моды, мы видим, что подобную эадачу уже решали.
Реэультат (см. выражение (8ЛО)) запишется в виде К= Ц ( .. ) ехр( . ~(Уо,()г, Т)+У,'()г, 0)) х асов)ссТ вЂ” 2П,(й, Т) У,(й, 0)) ) . (8.131) Произведение берется по всем значениям компонент вектора й; например, компонента йк принимает значения 2ял„lЬ, где п„— релое число, изменяющееся от 0 до еч' = Х„Ы (напомннм, что здесь И вЂ” расстояние между атомами и что изучаемое тело имеет эебра длиной Ь„, Е„и Е,).
Конечно, приближение непрерывной :реды подраэумевает нулевое расстояние между атомами, а это )эначает, что число сомнох<ителей произведения в пределе неограгичено. Однако мы не будем касаться этой проблемы и сконцентриэуем наше внимание только на той части выражения, которая юдержит зависимость от начальных и конечных координат. Поэто- В.
Квантовая теория яояя му, пренебрегая радикалом перед экспоненцнальным членом в правой части выражения (ЗЛЗт), можно приближенно написать это выражение как К ехр — ~ ~ ') /сс([У,'(й, Т)+У',(й, 0)) Х Вай хсозксТ вЂ” 20,(й, Т)У,(вг, 0))(з(пксТ) ' —,. (8Л32) Выражение (8Л32) сохраняет зависимость амплитуды от граничных значений У, ()г, 0) и Ув ()в, Т). Для любого выбора этих функций (а они, как видно из формул (8ЛЗО), в свою очередь зависят от функций и (г, 0) и н (г, Т) ) в соотношении (ЗЛ32) может быть формально выполнено интегрирование и получен искомый результат.
Таким образом, можно, хотя бы в принципе, получить ответ на все вопросы о поведении квантовомеханической системы. В 8. Квантовая теории поля Предположим, что мы имеем дело с волнами или модами, которые описываются непрерывными функциями, такими, как н (г, В), в которых или вообще не учитывается структура среды, или длины волн настолько велики, что такой структурой можно пренебречь. В етом случае скажем, что н (г, с) является полем, т. е. функцией каждой точки пространства. В одном из примеров уже рассматривалось поле упругости, т. е. поле звуковых колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
