Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Яе",е„. (8.59) а=1 Последнее выражение может быть получено и непосредственно иэ соотношения (8.35) с помощью подстановки д„(~) = ~~~~~ аЩа (~). а Выражение с экспонентой упрощается здесь так же, как в случае классики, поскольку с точностью до постоянного множителя Уде ~ди = ~Ре .. Юа', раэ преобразование координат линейно, то якобиан равен некоторой константе; такая константа может быть включена в нормнрующие множители д. Норлоолъные координаты "еа,)о (о)... Уо/„(о) интеграла по траекториям. Записанный в такой форме интеграл можно преобразовать в проиэведение нескольких интегралов по траекториям: и Е= П ~ ~ехр ~ ог ~ (0а ю 0а)е//~~ ~0а~ (8.8()) а=1 где каждый иэ интегралов описывает теперь только одну моду и каждая мода соответствует простому одномерному осциллятору, решение для которого мы уже получили.
Таким обраэом, может быть проанализирована любая задача для взаимодействующих гармонических осцилляторов. Поскольку интеграл по траектории, ааписанный для ядра, можно,преобраэовать в проиэведение нескольких таких интегралов, то ясно, что (подобно тому, как было сделано в э 8 гл. 3) волновую функцию системы в данном энергетическом состоянии можно представить в виде проиэведения волновых функций от каждой моды. В э 1 показано, что волновые функции каждой отдельной моды пропорциональны ехр ([Е„г/й), где Е„есть энергия моды. Произведение таких волновых функций будет тогда пропорционально ехр [(оо/й)~Е„[. Отсюда следует, что полная энергия системы п осцилляторов равна сумме всех отдельных энергий. Энергия моды а равна йоо„(т +'/,), где т„— целое число.
Энергия всей системы запишется тогда Е= аа, (те + 2 ) + ьвг (опз+ 2 ) + ' ' ' + "ю (шв+ 2 ) ' (8 61) где т„т„... — все целые числа (включая и нуль). Здесь разрешен любой неэависимый выбор этих величин, так как воэбуждения отдельных осцилляторов совершенно не связаны друг с другом. Ксан у„((/) — волновая функция гармонического осциллятора, занимающего п-й уровень [см. формулу (8.7)[, то волновая функция всей системы будет иметь внд отто (~)о) оото (02) ° ° ° ортк Жк) = Д Чоо Оа) (8.82) Каждая функция ~р (Ч ) совпадает с выражением (8.7), если в нем частоту оо заменить на юа. Таким образом, представления классической физики, с помощью которых мы определили нормальные моды, и представления квантовой механики, с помощью которых нам удалось определить волновую функцию и энергетические уровни гармонического осциллятора, в сово- Гз.
8. Гармонические осзилллторм в Фа= Ц ехр а=! =ехр ( Эта волновая функция экспоненциально зависит от квадратичной формы — ~lз ~ ~ М!ад!Яд, где матричный элемент ю=! ь=! а!из!а э>а з=! (8.64) Задача 8.2. Покажите, что матрица Мч равна единице, деленной на квадратный корень иэ матрицы з,ю т.
е. покажите, что Х Х М!ьМыоь = б! . а=!!=! (8.65) Может оказаться, что некоторые частоты ю равны нулю. Например, для молекулы СО, моды от 5-й до Я-й, как это изображено на фиг. 8.1, имеют нулевую частоту. Эти моды соответствуют сдвигу или вращению молекулы как целого, т. е. движению, в котором нет возвращающей силы. Поскольку возвращающей силы здесь нет, то предположение о малости координат !3„„вообще говоря, неверно.
Поэтому необходим более точный анализ выражения для кинетической энергии, связанной с переносом или вращением системы в целом. Так как нас сейчас не интересуют такие движения, мы будем предполагать, что зти моды и соответствующие им координаты или вообще не существуют, или не возбуждаются в нашей задаче, так что мы имеем дело только с модами, для которых верно в '~ О. Коли при каких-либо значениях а решения !е' получаются отрицательными (а частоты с! — мнимыми), то это означает, что система находится в неустойчивом равновесии.
Таков состояние подобно тому, в котором окажется карандаш, поставленный на острие. Функции, описывающие движение, купности дают полное решение задачи об определении энергетических уровней и собственных функций многоатомной молекулы. С помощью преобразования (8.51) волновые функции состояний можно выразить в зависимости от первоначальных координат д! (!).
Например, волновую функцию наинизшего энергетического состояния системы с энергией (з/2) ~~~~~ е„можно записать в виде а=! а. Одномерный кристалл 231 в этом случае будут уже не гармоническими, а экспоненциально расходящимися и смещения (Уа станут ббльшими.
Этот случай не представляет для нас сейчас интереса, и мы опять-таки предположим, что подобные моды отсутствуют. ,б 4. Однолсертсый криспыьлез Простая модель. Можно представлять себе кристалл как большую многоатомную молекулу, каким-то образом упорядоченную в трехмерном объеме. Имеет смысл начать рассмотрение Ф и г.
8.2. Модель одномерного «крвсталла», в которой массы частвц расположепы вдоль прямой в соединены между собой упругими связями — епру- 1 2 (8.66) атой молекулы с изучения простейшей одномерной модели, состоящей из одинаковых атомов, равномерно расположенных вдоль некоторой линии, как показано на фиг. 8.2.
Положим массу каждого атома равной единице и обозначим смещение у-го атома от его положения равновесия через ду. Предположим, что движение атомов может происходить лишь вдоль линии, по которой они расположены, т. е. ограничимся рассмотрением их продольного движения. Допустим далее, что каждый атом взаимодействует лишь с соседним атомом, что потенциал взаимодействия равен К (Л) и зависит только от расстояния Л между атомами (т.
е. что атомы как бы соединены друг с 'другом пружинами). При равновесии расстояние между атомами соответствует, очевидно, минимуму потенциала. Примем этот минимум за нуль отсчета энергии. Коли ЬЛ вЂ” величина смещения атома от положения равновесия, то можно разложить этот потенциал в степенной ряд по АЛ таким же образом, как это делалось в выражении (8.32). При этом ограничимся такими малыми смещениями, чтобы все члены порядка выше второго в разложении можно было отбросить. Смещение атомов у и (у+ 1) от положендя равновесия можно записать так: ду+, — уу — — сьЛь у+,. Обозначим вторую производную потенциала по величине смещения через тя (величина, одинаковая для всех атомов системы).
Тогда потенциальная энергия, связанная с таким смещением, равна Гл. а. Гармонические осцилллторы и лагранжиан может быть записан как М Л-1 чз 1 ' чз Б=Х 2д — Х 2 (В+ — Ь) ° ~=1 1=1 (8.67) Если положения первого и последенего атомов не фиксированы, то член с у =Х в выражении для потенциальной энергии должен быть опущен. Вытекающие из этого лагранжиана уравнения движения атомов в одномерной модели имеют вид И=э ((%+1 М вЂ” (Д~ Д1-1)) (6.68) Чл+1 = Ч1 Диче = 91.
(8.69) Такое граничное условие эаведомо будет выполняться, если исходную цепь атомов эамкнуть в кольцо, подобно ожерелью из жемчужин. Однако в трехмерном случае это уже невозможно и граничные условия необходимо рассматривать только лишь как некоторый искусственный прием. Таков смысл наших специальных граничных условий. Более общие случаи, например когда крайний атом свяэан с твердой стенкой или же остается свободным и т. д., сопровождаются отражением волн, пробегающих по системе. Такого отражения для всех )1, аа исключением крайних значений у = 1 и в = Л'.
Тот факт, что частицы, расположенные в концах системы, должны рассматриваться отдельно, в большинстве задач приводит лип1ь к незначительным трудностям. Обычно интересуются такими свойствами движений (а тела можно считать настолько большими), что влиянием поверхностных (или граничных) эффектов можно пренебречь. В таких случаях основные результаты действительно не будут эависеть от реальных граничных условий, т. е. от того, будут ли граничные атомы свободными или свяэанными, и т. д. Чтобы вообще исключить эту проблему, в теоретической физике, используется предположение о существовании особой системы простых граничных условий, так называемых периодических граничных условий, так что необходимость в рассмотрении граничных точек отпадает. Досадно, конечно, что такие специальные граничные условия в действительности выполняются редко (если они вообще выполняются), однако для явлений, которые не зависят от граничных эффектов, этот прием вполне оправдан.
Смысл его состоит в том, что цепочка атомов продолжается и дальше, аа Ф-й атом, причем предполагается, что смещение (1Ч + у)-го атома всегда точно совпадает со смещением у-го атома. Таким образом, граничпое условие можно записать как Ю й. Одномерный кристам 233 не будет лишь в случае, когда крайний атом взаимодействует с а~омом другой системы, имеющей аналогичные характеристики. Таким образом, наши граничные условия можно сравнить с введением некоторой линии, сопротивление которой подавляет отражение. Подобное сопротивление, по сути дела, эквивалентно наличию некоторой бесконечной дополнительной линии.
В нашем случае мы согласуем один конец системы с другим, связывая ее в кольцо. Эти граничные условия мы называли периодическими, поскольку все происходящее в )с-й точке системы повторяется снова в (Л + )с)-й точке, еще раз в (2У+ й)-й и т. д. При таком граничном условии уравнение (8.68) удовлетворяется для всех атомов системы. Решение классических уравнений двшкении.
Предположим„ что смещение д периодически повторяется с частотой ю. Тогда нам нужно решить систему уравнений ю'И = т'(Ьы-2й+ И-~)- (8.70) Мы можем свернуть эти уравнения в определитель и преобразовать полученное детерминантное уравнение так, чтобы применить для отыскания решения известные теоремы математики. Однако ясно, что данные уравнения могут быть решены непосредственно, и это легче всего проделать указанным ниже способом. Договоримся, что символ 1 будет означать лишь )à — 1, и не будем применять его для обозначения индексов. Решение имеет форму яя в =2тз)п Л Амплитуда у-координаты, соответствующая ат =Аеыкссйи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
