Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 43
Текст из файла (страница 43)
е. состояние 'фю соответствующее Лю будет таким же, как и состояние ф, с той лишь разницей, что при написании Лэ мы пользуемся в качестве времени переменной 8 -]- 6. Зададим теперь вопрос: чем состояние фа отличается от состояния ~]~? При любых измерениях вероятность пребывания системы в любой конкретной области В' аависит от того, какая из двух областей (В или Вэ) была принята за исходную. Определим изменение амплитуды перехода ()(! 1 ]~]~э), вызываемое 'сдвигом во времени.
Этот сдвиг можно рассматривать как смещение, которое происходит благодаря уменьшению всех значений ~„ у которых г(я, на величину Ь; если же 1) й, то все ~; сохраняются. Читателю, который заглянет несколько вперед, может показаться, что мы памеренно соадаем для себя трудности. Ясно, что все наши усилия в конце концов должны свестись к тому, чтобы перейти к пределу, устремив к нулю все отрезки нашего разбиения оси времени. Однако здесь следует указать наконец, что, во всяком случае, один из интервалов 2ьы — 2ь имеет нижнюю границу и не может быть бесконечно уменьшаем. Эту трудность удается обойти, если предположить, что временнбй сдвиг 6 сам должен быть функцией времени. Можно представить себе, что эта величина монотонно возрастает до момента 8 = 1ю а потом монотонно убывает.
Тогда, полагая вариацию б равномерной, можно монотонно устремить к нулю все интервалы времени, включая и ~ьы — гю Затем рассмотрим эффект первого порядка, перейдя к пределу при б -~- О. Результат, полученный этим более строгим способом, оказывается в сущности тем же, что и в предыдущем примере. Возвращаясь теперь к нашему рассмотрению аффекта, вызванного сдвигом времени, мы видим, что определенная соотношением (7.115) функция действия В(х;+„гы,; хо г;] сохраняется до тех пор, пока моменты г;+, и ~, иаменяются на одну и ту же величину.
С другой стороны, функция 8 [хьэм 2ь~~, 'хю 8ь] переходит в Ю Ьиы 4~~; хю 4 — 6]. Более того, константа нормировки в интеграле по аль также изменится и будет иметь вид Гл. У. Матричные элементы нерелода 214 Для определения амплитуды вероятности перехода применим соотношение (7.2). Вспоминая, что интеграл по траекториям зависит как от функции действия Я, так и от константы нормировки А (обе эти величины изменяются при нашем сдвиге времени), можно изменение амплитуды перехода с точностью до первого порядка по б записать в виде <2! 1!„р) <~,!1!,р ) („( д~(аа+с. се+с' аю се! + дса В ! 'ч Сд +2С<С~ С вЂ” С ) !~е, В Первый член в правой части последнего выражения совпадает с определением классического гамильтониана.
Второй член необходим для того, чтобы в квантовомеханическом случае величина Нь оставалась конечной пРи стРемлении интеРвала Ге+с — Сд к нУ- лю. Этот член получается вследствие изменения константы нормировки А, обусловленного сдвигом времени Ь. Применяя полученный результат к частному случаю одномерного движения (см. выражение (7.116)), можно записать Второе из этих соотношений получено с учетом равенства (7.54). Записав произведение скоростей в виде произведения их значений, относящихся к последовательным моментам, мы можем устранить член ВЛ2с (Се+с — Сь) !.
Полагая теперь, что Сс = С вЂ” б для всех С ( <ю получаем соотношение )(о)+ дс ! дс (7.122) связывающее между собой значения функции ф определенные в областях Л и Ло. Таким обрааом, последовательность соотношений между операторами, уравнением Шредингера и интегралами по траекториям может быть получена как комбинация выражений (7.119), (7Л20) и (7.122): б()<!1! д~)= —,' б<)<! Н,! р), (7.123) Второй член в этом выражении соответствует изменению константы А.
Функционал, отвечающий гамильтониану квантовой механики, определим как сл оо (лаос Се+6 *Ю СМ + В (7 120) шь 2с <со+с — са) ' 7. Ганилътониан 225 что снова приводит нас к уравнению Шредингера дз (7Л24) Для любых сколь угодно сложных функций действия можно найти выражение гамильтониана (т. е. функционал, соответствующий энергии), если рассмотреть изменения матричных элементов перехода ()(~1) ф) с точностью до величин первого порядка по б, когда все моменты, предшествующие моменту г, сдвинуты на величину Лг = — б, и записать зги изменения как б ()( ~ Н (г) ! ф. Глава Э ГАРИОНИЧИСИИЕ ОСЦИЛЛИ'ГОРЫ Задача о гармоническом осцилляторе — это, вероятно, простейшая еадача в квантовой механике.
Мы вполне можем решить ее, ааметив, что ядро, описывающее движение гармонического осциллятора (см. аадачу 3.8), равно х ехр ( . [(ха + хь) сов юУ раааа) ) (8. 1) Однако для полного рассмотрения етой задачи нам необходимо решить — точно или приближенно — все задачи, в которые так или иначе входят гармонические осцнлляторы.
В этой главе будет рааобран ряд таких задач как об отдельных осцилляторах, так и о системах вааимодействуюпшх гармонических осцилляторов. Можно было бы довести эту программу до конца, рассмотрев практически все виды классических задач на колебания: задачи о колебании пластинок, стержней и т. д., но таких систем слишком много, и мы рискуем потратить все наше время, так и не коснувшись квантовомеханических проблем. Поэтому ааймемся рассмотрением лишь систем атомных раэмеров: например, проаналиаируем колебания молекулы СОм Тут мы обнаружим, в частности, что потенциальная энергия взаимодействия между атомами углерода и кислорода не описывается квадратичной функцией. И все же для более ниаких энергетических состояний потенциал так блиаок к квадратичному, что рассмотрение, проведенное на основе модели гармонического осциллятора, послужит хорошим приближением для решения многих аадач.
В многоатомной молекуле, которая во много раз слоя~нее одноатомной, энергия воабуждения будет уже не так велика, а перемещения атомов малы по сравнению с раамерами самих молекул. В этом случае снова можно считать, что потенциальная энергия очень блиака к квадратичной функции координат. Поэтому такая система будет приблиаительно соответствовать набору свяаанных гармонических осцилляторов. Кристалл твердого тела можно, с одной стороны, рассматривать как многоатомную молекулу очень больших раамеров; с другой стороны, его можно У. Простой гармонический осзилллтор 2г7 рассматривать так же, как некую совокупность взаимодействующих друг с другом гармонических осцилляторов. В качестве еще одного примера рассмотрим электромагнитное поле в ограниченном объеме.
С классической точки зрения его молсно представлять себе как набор стоячих волн, которые образуются при колебаниях поля с определенными частотами. В квантовой механике каждая из таких волн задает квантовый осциллятор. р 1. Простом гармонычесгетса осциллтпор Решение уравнения Шредингера. В этом параграфе мы получим ряд соотношений, описывающих простой одномерный гармонический осциллятор. Начнем наше рассмотрение с уравнения Шредингера. В задаче 2.2 мы получили лагранжиан одномерного гармонического осциллятора в виде Л =- —, (ха — ваха). (8.2) Соответствующий гамильтониан, который используется в дальнейшем рассмотрении, запишется как ог т Н = — + — ваха 2т (8.3) и можно написать волновое уравнение — —.— =лт'ф=( — + — ах ) ф в дгд ерг с дг 12т 2 (8.4) Лг дг<рп ттгхг Цсуп= 2, д а + ~уп=Епггсп (8.5) Это уравнение легко решить; результат такого решения приво- дится во многих книгах по квантовой механике (например, [2)).
Собственные значения энергии здесь равны Е„= ав(п+ 1 ), (8.8) Поскольку гамильтониан не зависит от времени, то переменные в волновом уравнении легко разделяются и мы получаем решение в виде стоячих волн для состояний с определенными энергиями Еп. Часть решения, зависящая от времени, будет пропорциональна ехр ((Е„~/2).
Вспомнив, что оператор импульса р соответствует дифференцированию по х (см. з 5 гл. 7), представим уравнение Шредингера для пространственной части волновой функции в виде 21В Га. е. Уар«о«ические «сцилл«торы где и принимает целые значения О, 1, 2, .... Собственные функ- ции ~р«имеют вид <р« = (2"и!)( — ) Н«(х~ — ) е-<"««хазы (8 7) где ̈́— полиномы Эрмита Нэ (у) = 1 ~ Н,(у) =2у, Нз (у) = 4у' — 2, (8.8) Д« Н (у) =( — 1)" ез' — „„е-е'. Эти полиномы легче всего вычисляются с помощью производящей функции е-"+з'е= Я Н„(у)— (8.9) «=О Решение, полученное иэ рассмотрения ядра. В задаче 3.8 мы получили ядро, описывающее движение осциллятора; с другой стороны, иа уравнения (4.59) известно, что зто ядро может быть разложено в ряд по экспонентам, зависящим от времени и умноженным на произведения собственных функций от энергии, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
