Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Поэтому функция Я (2, 1), появляющаяся в соотношении (7.87), является классической функцией действия для начала траектории. Ее производная по х, (взятая с обратным знаком) равна классическому значению импульса от х,. Следовательно, можно написать (7.88) что совпадает с результатом, полученным в соотношениях (7.78) и (7.79). В случае усложнения функции действия Ю, что может произойти, если частично исключить взаимодействие, надо ввести функционал р (е), соответствующий импульсу в момент времени г. В з 4 было дано общее определение этого функционала. Вариация Га. 7. Матричные аеееыееты иерехода амплитуды перехода (Х ! (.
)ф) (в первом приближении, когда все координаты, соответствующие предшествующим моментам (, смещены на — Л) равна произведению этого сдвига Л на матричный элемент (1<)р (~) )ф). Отсюда для сколь угодно сложной функции Я можно найти функционал от импульса. Аналогично может быть определен гамильтониан (и функционал от энергии), если ввести подобный сдвиг в переменные времени, как зто делалось в $7 гл. 7. (х~ ~~~1,',)=(х~ '*""', '*"'~ф>= — ' 1 х'( — )ф (7.89) Рассмотрите случай, когда у является также функцией времени. Покажите, что матричный элемент перехода для производной Л'/дг совпадает с матричным элементом для оператора (е/з) )( х (НУ вЂ” УН) + ду/д/. Задача 7.1д.
Покажите, что ОО <Х! ")Ф>= —,', ~ Х'(Н вЂ” рН)фдх, (7.90) а также, что для любой величины А (записанной через операторы или любым другим способом) производная ИА/дг равна — + — (НА — АН). дА $ да В Если рассмотреть выражение для функции г", аависящей от двух последовательных очень близких значений координат: т (азеа — аь) хю е (7.91) то, очевидно, получим О <)(!г"')ф>= — ~ ~ )(О(х; е+з)елхК(х, е+з; ОО у, З) уф(у, е) Йудх — — ~ )(О(х, С)тхз)!)(х, Г) Зх, (7.92) Задача 7.12. Покажите, что если некоторая функция У зависит только от пространственных координат, то у о.
Элементы перехода и операторные ооооначенин 207 где г=гю Выше, выводя соотношение (4.12) из (4.2), мы получили ~ Х(х, г+е; у, г)7(у)ееу=7(х)+ — 'в Н7'(х). (7.93) 00 Поэтому первый интеграл в выражении (7.92) равен — то(х, ~+с) тх(1+ — Н) хф(х, Г) Ых. (7.94) ОО Выразив функцию уа при помощи соотношения (7.76) и использовав эрмитовость гамильтониана Н, преобразуем рассматриваемый интеграл к виду Ю вЂ” ', ~ 2*(х,~)(1 — "„~) ° ((+фн) ~(х,г)д = — (х, Г)тхф(х, г)Их+ ~ т (х, е)т(хН Нх)хф(х,е)дх.
о 2 т а (7.95) Тогда окончательно имеем )()т ~е хп )ф = — ~ Хо(х, г) т(хН вЂ” Нх) хф(х, г) Их= = $ т,' (х, м) рхф (х, г) Их. (7.96) Для последнего преобразования здесь применялось соотношение (7.78). Мы рассмотрели пример использования общего правила. В интеграле, который определяет матричный элемент перехода для системы величин, зависящих от последовательных моментов времени, соответствующие операторы размещаются справа налево в том же порядке, как расположены во времени исходные матричные элементы перехода.
Если интервал времени конечен и равен ЛГ, то в элемент перехода надо включить ядро Х = ехр [ — (~/Ь) ЯЛг], соответствующее этому отрезку времени (см., например, задачу 7Л6). Когда расстояние е между двумя соседними точками стремится к нулю, ядро Х приближается к Ь-функции, откуда и следует указанное выше правило. Задача 7.И. Покажите, что амплитуда вероятности перехода для величины (тй) (хам — ха) у (хп+е) совпадает с амплитудой для (7 р).
Гл. 7. Матричные элементы перехода Задача 7.1Б. Покажите, что указанное выше правило выполняется для двух последовательных импульсов, т. е. л'у~вг*"э' *"т*" " ' ~эр' = ~ ~ )(э(у, $) ррэр(х С)г(хду=- дз = — й' ~ Х'(у 1) — „, еГ(х* г) 6х ?у. (7.97) Задача 7.16. Покажите, что ()( ~х, зн " ~эу,= ~ Хэ(х, г) хК(х, г; у, з) ( —.— ) $(у, з) аубх, (7.98) если ~~=с и гь=з при гг)~ю Что будет, если г,(4? Заметим, что рз соответствует произведению рр (произведению двух последовательных значений импульса, подобно тому как это было в задаче 7,15), что не равно простому квадрату импульса (т(тз(хьы — хз)з/зе)эр), взятого в один определенный момент времени.
Последнее выражение при е — э0 неограниченно возрастает как тйПе, что очевидно,иэ соотношения (7.49). Разность между выражением глЫи и левой частью уравнения (7.97) в пределе составляет как раз р', т. е. (Х ~ " '*",', *"' ~ ~ )=ф<Х~1~ р)+ (7.99) Задача 7.17. Докажите это соотношение, применяя формулу (7.40) и полагая Р = — (ха+, — хь). Я 6. Разложение тео возмугценияа для векторного потенциала Ь= — ~г~е+еу(х, ~) — — г А(г, г). (7.100) Сингулярность в матричном элементе перехода для квадрата скорости, выражаемая равенством (7.49), заставляет нас весьма осторожно рассматривать многие соотношения, содеря1ащие скорости.
Запишем, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, так: у 6. Равлохеение веаторново потенциала по еоемувилнилм 209 Пусть потенциал Р равен нулю; мы учтем лишь векторный потен- циал А, рассматривая его как малое возмущение. Обозначив уо= 2 ~!г~'й, о=- — ' г.А(г,~)~Й, е запишем разложение в ряд теории возмущений и введем соответствующие матричные элементы перехода: (е'"")в =(1)ав+ — „(о)вв — 2эъ (а')э,+ ° ° (7Л01) Член первого порядка равен величине — ъе/йс, умноженной на выражение ~ г А(г, ~) свГ~л.
(7Л02) Нам удобнее переписать это в операторных обозначениях. При определении возмущения а для дискретно заданной траектории (шаг определяется временнйм интервалом з) можно было бы запи- сать е а= — —,в" (гъ+,— гъ) А(гъ, ъ), ъ (7.103) или же в чъ о = — — ~ (го+, — га) А (гъ~ь, царев).
(7Л04) В обоих случаях, переходя к пределу непрерывной траектории, получим отсюда интеграл для о. Однако если мы будем рассматривать только одну из компонент вектора А (например, А,), то обнаружим, что компонента А„(гъоь 8щ.,) отличается от Ах (гъ, гъ) приблизительно на величину дАх (гъы — гъ) ч'Ах+а (7.105) (хю в — ха) (уэы — уъ) О, йе (Уъоь — Уъ)ъ — —. и т. д. которая после умножения снова на гъы — гъ должна бы быть поправкой второго порядка для каждого значения 7е, а после суммирования по всем 7е — поправкой лишь порядка е.
Однако ваши траектории не являются непрерывными и матричный элемент перехода для квадрата среднего значения разности хъв, — ха будет величиной первого порядка малости. Действительно (см. задачу 7.6), ъ (ха+ — х ) — — —.. вп т. Гамильтониан — + — 'е ~~~', ( — [А (гу,.„„1ь„)+ А (гю 4)]), (7.110) ь что аквивалентно интегралу 1еч~2тсе ~ [А (г, ~) А(г, ~)) с[1 и приводит к тому же результату, что и член нулевого порядка функции действия для потенциала (еЧ2 тс') А.А. Таким обрааом, разложение по возмущениям для действия, зависящего от вектора-потенциала А, имеет тот же вид, что и равложение (6.17), только потенциал У здесь заменен оператором — е72тс (р А + А.р) + е'/2тс'А А.
Мы показали это с точностью до членов второго порядка по А; путем небольшого дополнительного рассмотрения можно показать, что все это верно в любом приближении. Гамильтониан для частицы в поле с вектором-потенциалом А можно записать в виде ХХ вЂ” (р — ' А) [р — — ' А) (7. Ш) Это выражение отличается от аналогичного выражения для свободной частицы [ХХсмю = (1/т) р р) тем, что здесь стоит оператор — е72тс (р.А + А.р) + е'/2тс'А.А. Такая аапись позволяет гораздо проще получить те результаты, которые мы до сих пор выводили непосредственными преобразованиями. Ф т. Х'алгильтоннан Используя полученные вьппе реаультаты, легко написать амплитуду перехода для гамильтониана, сложив амплитуду перехода для квадрата импульса, деленную на 2т, и амплитуду перехода для потенциала.
Таким образом, для момента времени 1ь гамильтониан может быть записан как ХХ вЂ” Гь+1 *ь ) (*ь ь $ )+У(х ) (7.112) Если йФ1, то ничего не меняется и мы получим член второго порядка, который можно было бы найти иа сравнения с соотношением (6.13), подставив вместо потенциала г" оператор — е!(2ст) (р А+А.р). Но если 1= л, то кроизведение двух скоростей, взятых в последовательные моменты, даст нам новый член. Учитывая выражение (7.49) и результат задачи 7.6, получим дополнительно Гл. 7.
Матричные елементы аерехеда 222 В то же время операторная форма матричного элемента перехода для этого гамильтониана будет иметь вид (Х~Нь!~Ф)= ~ Х' ~ — "а +Т'(х)~ аре(х= ~ Х"Наре)х. (7.113) Хотя такой метод определения амплитуды перехода для гамильтониапа дает совершенно правильный результат, он тем не менее представляется несколько искусственным, поскольку здесь нигде не выражена зависимость гамильтониана от времени. Поэтому далее мы рассмотрим другое определение матричных элементов перехода, в основе которого лежит исследование изменения состояний при небольших вариациях времени.
Такой подход даст нам возможность определять величину Ню исходя только из вида функции Я (не касаясь того, насколько это будет сложно). Чтобы сделать это, разобьем ось времени на бесконечно малые отрезки, подобно тому как мы поступали при определении интегралов по траекториям.
Однако теперь важно отметить, что деление оси на равные отрезки не является обязательным. Здесь подходит любое разбиение точками ~1, важно лишь, чтобы в пределе (независимо от величины элементов разбиения) все отрезки ~11.1 — 81 стремились к нулю. Предположим для простоты, что наша система состоит из одной частицы, совершающей одномерное движение. В этом случае действие запишется в виде суммы Я = ~ 8 (х11-11 111-1~ хп 111 (7.114) где 'И1 5 [х; „Ге+1, хо Г1) = ~ Ь(х(Г), х(~)) е(~.
(7.115) И еграл в этом выражении взят вдоль некоторой классической траектории между точками х1=х(й1) и хе+,= — х(г1+1). следовательно, в случае нашего одномерного примера можно с достаточной точностью записать Я(х1+1 1111' х' 11) = ~ — ( ' ' ') — г (х1+1)1 (~1е1 — ~1), (7 116) Константа нормировки для интеграла по Ых1 в момент времени С1 будет такой же, как и ранее, а именно А = 2нл1 (11+1 — 11) ~ Ма А=~ Выясним теперь связь гамильтониана Н с изменением состояния при небольшой вариации времени. Рассмотрим для этого состоя- 21З з т. Гамильтониан Ау,.= 2ЯЫ (еаы — са+ б) ~ Пз (7.118) ние ф (1), определенное в пространственно-временнбй области В.
Представим себе, что в тот же самый момент времени ~ мы рассматриваем другое состояние фз (г), определенное в области Вю Пусть область Вз пространственно совпадает с В, но относится к более раннему моменту времени, сдвинутому в прошлое на интервал б. Все устройства, необходимые для локализации системы в области Вю совершенно тождественны тем, которые локализуют систему в области В, но начинают действовать на интервал времени Лг = б раньше. Коли лагранжиан Ь явно зависит от времени, то на нем также скажется этот сдвиг, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
