Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(8.100) а а Чтобы выразить потенциальную энергию череа новые переменные, необходимо представить равность смещений двух смежных атомов как непрерывную функцию от координат. Используя приближение непрерывной среды, можно записать д1+,— дс= )/т(и(х1+„1)-и(хсь с)) а1 Ут — ". (8.99) Гл. 8. Гармонические осиылелкеоры йчч — ду = ес) ) Гт ° (8 101) Используя выражение (8.66), мы получаем величину потенциальной энергии, запасенной в струне при растяжении о' = — е' НетХ = — зеЛ.
че роз 2 2 (8.102) Таким образом, в пределе прн малом е сила, необходимая для растяжения струны, равна У вЂ” = рсез. еА (8.103) Последнее равенство дает напряжение в струне, когда деформация 1растяжевие на единицу длины) равна е. Итак, мы имеем напряжение — рс — постоянная упругости. (8.104) Комбинируя выражения (8.98) и (8.100), можно записать лагранжиан так: (8.105) Фундаментальные моды, которые мы здесь рассматриваем, имеют вид ехр(Усх), а нормальные координаты имеют вид У()с, е). Читатель может самостоятельно показать, что если выразить лагранжнан через эти нормальные координаты, то получится Систему, которая описывается этим лагранжианом, можно интерпретировать как некий набор гармонических осцилляторов; при этом каждому осциллятору соответствует свое значение и.
В принятом нами приближении непрерывной среды й является непрерывной переменной, пробегающей бесконечное число значений. Можно было бы снова вернуться к картине дискретного расположения атомов, вспомнив, что интеграл по о)с на самом В последнем равенстве используем константу с = тс), которую принято называть коэффициентом упругости. Определить ее физически можно следующим образом. Предположим, что мы растягиваем цепочку атомов, которая имеет длину Ь, и при этом единичный элемент удлиняется на отрезок е, т. е. новая длина системы составит Ь (1 + з). (Мы рассматриваем статическое растяжение, а не вибрацию.) Это означает, что расстояние между каждой парой атомов увеличится до с( (1 + з) и, следовательно, разность смещений смежных атомов будет равна д.
Кеантоеое раоомотрение цепочки атомое 241 деле является суммой по дискретным значениям й, причем соседние аначения 7е отличаются друг от друга на величину 2я/Ь (Ь— длина струны), а общее число их равно числу атомов в системе. Уравнения движении можно выразить в непрерывных перемент ных, если найти экстремум для интеграла действия ~ Л «1 д. Испольо зуя лагранжиан Ь из выражения (8 105), получаем дои о дои р — = рсо— дее дхе (8.107) С помощью рассуждений, подобных выводу соотношения (8.99), можно показать, что это уравнение аналогично ранее полученному уравнению движения (8.68). Уравнение (8 107) имеет реп|ение и = е-еи'а (х), (8.108) в точности совпадающее с выражением (8.71), где — оРв = сз ( — „~ ), (8.109) р 6.
Квантовомеосаничеекое раесмотпрение цепочки атомов Мы видели, что поведение цепочки атомов можно представить набором мод движения, где каждая мода соответствует одному гармоническому осциллятору. Энергетическое состояние каждого такого осциллятора задается некоторым квантовым числом его моды. Каждой моде отвечает одно волновое число )о и своя часто- н в полном соответствии с выражениями (8.70) и (8.74) а(х)=еых. (8.110) Сопоставляя между собой (8.109) и (8.110), мы видим, что частота ю = йс аналогична частоте, определяемой выражением (8.90), которое фактически сводится к этому значению в пределе при малых Й.
Движение, описываемое решением (8.108), где коэффициент а определяется формулой (8.110), соответствует бегущей волне, движущейся со скоростью с, т. е., говоря точнее, с определяет скорость, с какой распространялся бы звук вдоль этой цепочки атомов. На самом же деле в системе наблюдается дисперсия, т. е. ео не будет пропорциональна 7е. Для длин волн порядка атомных расстояний, подобное отклонение от пропорциональности будет уже существенным, что видно из выражения (8.90). Гл. о.
Гармоииемские осииллеииорм та еэ. Энергия моды частоты ео принимает значения Лес/2, Злю!2„ 5Ъео!2,..., или О, лсо, 2йю, ..., если отсчитывать ее от основного уровня лес!2. В этом случае моясно сказать, что в колебании присутствуют О, 1, 2,... фононов с волновым числом й (или с частотой со). Возможно, что одновременно будет возбуждаться несколько различных мод. Например,мы можем иметь: 1) моду с волновым числом )е„ которая будет возбуждена до первого уровня, если отсчитывать от ее основного, т.
е. нулевого, состояния; 2) моду с волновым числом еса, возбужденную также до своего первого уровня; 3) моду с волновым числом ес„возбужденную до своего второго уровня. Тогда состояние всей системы будет соответствовать полной энергии й (оа, + соа + 2еоа). В этом случае говорят, что в системе присутствуют четыре фонона: один фонон с волновым числом ес„ один — с ~~я~~~~~ ч~с~~~ йа н два с ~окно~мы числом ееа. Основное состояние всей системы будет иметь энергию а (8 111) Коли воспользоваться приближением непрерывной среды и поло- жить ео = асс, то зто выражение приобретает вид маис о (8.112) Ьмаис в .
ы — тз(п— 2 2 "маис (8.113) где 2м ймаис = д (8 114) Заметим, что если верхний предел й„,„, в этом интеграле устремить к бесконечности, то интеграл станет расходящимся. Однако равенство в = йс,которое мы здесь использовали, вьтполняется только в случае длинных волн (т. е. для малых значений й). Можно уточнить величину энергии основного состояния, применив точное выражение для частоты со и подобрав разумный верхний предел в интеграле но ее. Так, выбрав еоь в виде (8.90), получим для энергии основного состояния значение '/.
Трехмерный кристалл Это можно переписать в виде аа М/2 й/2 ат1Мп — "" ~ = 2И (1ш) ,')'„е'а"//е. Л' а=-КС/2 а=е (8.115) Отсюда видно, что энергия пропорциональна длине нашей системы и неограниченно растет, когда мелсатомное расстояние /( стремится к нулю, т. е. энергия основного состояния в случае непрерывной среды не определена. Понятно, что для реальных объектов энергия всегда имеет конечное значение. Обычно очень удобно измерять вместо самой полной энергии системы разность между ней и энергией основного состояния.
В пользу этого можно высказать два соображения: 1) на самом деле энергия основного состояния неизвестна, да и не представляет интереса для большинства физических задач (например, в энергию основного состояния вхоДят энергии всех электронов, налетающих на атом); 2) когда мы имеем дело лишь с возбуждением длинных волн, приближение непрерывной среды оказывается очень полезным и дает хорошие оценки энергии возбуждения. Однако это же приближение дает неразумный результат для энергии основного состояния, поскольку мы пренебрегаем расстоянием между атомами /1 (т. е. полагаем с1 = 0). Таким образом, если мы пользуемся приближением непрерывной среды, то должны избегать вычислений энергии основного состояния.
у" 7. Хрезсмерный ярмст/залл В принципе нет большого различия между реальным трехмерным кристаллом и рассмотренным нами одномерным примером. Однако теперь конкретное вычисление различных модовых частот будет намного сложнее. Можно снова применить понятие о волновом числе й, которое теперь уже оказывается вектором с компонентами /с„ /си и /с,. Частоты, если записать их через эти компоненты, вообще говоря, будут иметь очень сложный вид. Благодаря наличию поляризации (различных направлений колебаний) для каждого значения )г получим несколько решений.
Далее, реальный кристалл часто состоит не иа массива равномерно расположенных атомов, но скорее из единичных ячеек, причем каждая такая ячейка сама содержит группу атомов, размещающихся в пространстве Для очень больших Л этот результат можно аппроксимировать выражением Е„,=2йсЛ вЂ” „, . (8.116) Гл.
8. Гармонические осчилллтори по некоторому геометрическому закону. Если в такой единичной ячейке содержится, скажем, р атомов, то этот пример можно иллюстрировать одномерной моделью; тогда в целом у нас имеется набор из Зр аначений частот для каждой величины й. В трехмерном кристалле тоже можно с хорошим приближением использовать модель непрерывной среды. При этом решеточная структура кристалла, вообще говоря, заменяется на непрерывную, а особенности решетки проявляются в различии свойств непрерывной среды по направлениям (например, в анизотропии сжимаемости).
Симметрия решетки находит свое выражение в симметрии констант упругости. Более того, направления колебаний (поляризация) мод не обязательно будут параллельны или перпендикулярны направлению распространения волны. В нашем рассмотрении будем предполагать, что система обладает одинаковыми постоянными упругости по всем направлениям (вообще говоря, в прояавольном кристалле это необяаательно, даже если он симметричен подобно кубическому кристаллу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
