Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 54
Текст из файла (страница 54)
задачу 8.4). Задача З.у. Покажите, что для вакуумного состояния среднее аначение величины аман равно (й/2йс)ды. Выведите формулу для среднего значения величины (ао1оаы)', где г — целое число, и укая<нте, как, польауясь этой формулой, получить среднее значение пРоизведениЯ (аоыаы)" (а~1„а1р)' пРи Р чь й. Покансите, что среднее значение величины (аы)' или (аы)о и среднее значение произведения любого нечетного числа величин а равны нулю.
Покажите также, каким образом можно вычислить для вакуумного состояния ожидаемое значение любого произведения величин а или а". Задача З.д. Если состояние определяется единственным фотоном, который находится в состояяии 1я, все множители в волновой функции имеют внд фо, за исключением одного, равного ф,. Для осциллятора при атом выполняется равенство ф1 (д) = яфо (Ч). Волновая функция, представляющая возбужденную волну, записывается в виде линейной комбинации: 1) волновой функции состояния с возбужденной косинусондальной модой н 2) умноженной на о волновой функции состояния с возбужденной синусоидальной модой.
Используя это, покажите, что волновая функция однофотонного состояния 1й имеет вид а;кФо. Она пенормирована. Квадрат нормировочной постоянной ~ Ф,*а1иаощФо (или ожидаемое значение величины а~као1о для вакуума), как мы видели в предыдущей задаче, есть Ь/2/ос. Отсюда следует, что нормированная волновая функция однофотонного состояния представляется в виде 1/2йсМа*,аФо. у 4, Иваимодействпе поля с веществом С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно.
Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с по- 269 о. Ввс модвйстаив поло с веиВествовв мощью такого соотношения: амплитуда= ~ ~ехр ~ — „(Яоасо+ооваом+ооопс) ~ ~ Ц Яс1вл ажл азю (9.44) Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом.
Это интегрирование и будет проделано далее. Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоадкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнем с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что вааимодействие света и вещества, которому соответствует Яовоои, мало и разложение ведется только до членов первого порядка малости). Если пренебречь функцией действия Яовопи, то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями Ч'и (в1) имеют энергии ея, где Х = — О, 1, 2..., а символом «1 обоаначены радиусы-векторы с1в всех частиц атома.
Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных аначений пы и и,„. Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны Е = асс + Х (пж -~ — пзх) пкс. (9.45) Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения 1г'= фн(с() Ф(пж, пзи), (9.46) где Ф (пж, пах) — волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов). Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне М, а внешних фотонов нет совсем (все числа пж и псх равны нулю).
Соответствующая волновая функция равна пв = фм (Ч) Фа где Фо берется в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне Х и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом 1 и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 Втс Гл. с. Квантовая влектродинамика волновая функция поля излучения имеет вид а7~ Фо, поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть е' 2ес Ч ее (ч) аыФо. (9.48) Чтобы найти вероятность перехода аа единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент Уп возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид 'ее= )е 4я ~~ (а7к!1к+а1Двк) (9.49) где, как и в задаче 9.2, ток 7',к зависит от переменных, связанных с атомом.
Этот матричный элемент равен $'и =- ~ флФ," $/ — „аы ,'~~ 3/4п (а1ку~з+ а1кДк) армФо Ыа Ц На1к, (9.50) или, в другом виде, )еп=,"~ ь в ) Ф,амаваФо Це)ап ) фм!иЯме7е7+ /8Л1с р в +,К~ ~ ~/ — „ы Фюама~кФю Ц е(ац, ~ фйЛмфмс)д (9.51) Ф,*аыаекФэ Ц Иа1к =0 есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при й = 1, когда он равен й!2(с. Обозначим матричный элемент фЯфмс(е7 как (1)км, Тогда матричный элемент — ря запишется в виде )е 2яьЛс Дп)мм. Вероятность перехода за единицу времени при этом равна (ср.
формулу (6.94)) ( в ) ( —,) 1 7ыфмб(Ем — Еи — ЬХс). (9.52). так как от координат д здесь зависит только ток ), Ожидаемые значения произведения величин а для вакуумного состояния рассматривались в задаче 9.7, где было, в частности, установлено, что интеграл в. Вваимодсйствис поля с веществом 271 дР С (2л)в д! Нй — ~ )„~,.~и 6(Ем — ń— И~) Р дг =) (2п)в Интегрирование по ! дает выражение эв 2ласв (!м ~нм се! (9.53) (9.54) характериаующее вероятность излучения света с поляризац1вей 1 по направлению 1 в телесный угол с(ьв'.
Частота иалучаемого света во=!с= м н (9.55) а Задача 9.9. Для сложной системы в нерелятивистском случае имеем (7э в)нм = ~~~~ (еье в(ье ьт чь)нм (9.56) ь где е — единичный вектор в направлении поляризации света, еь и в1ь — заряд ч радиус-вектор частицы Ь. Допустим, что длина волны света много больше размеров атома, т. е. квадрат модуля волновой функции, описывающей положение эл ктрона Ь, спадает до нуля на расстоянии, много меньшем чем 1!!с.
Покажите, что нРи этом экспонентУ ехР (!К ° «(ь75) можно аппРоксимиРовать единицей и записать матричный элемепт как (9.57) 7пс мм = свое'влнмв где )лнм =. Х (еьЧь) нм. ь (9.58) Функция )внм называется матричным элементом электрического дипольного момента атома, а приблиявение, использованное нри выводе соотношения (9.57), называется дипольввым приближением. Покажите, что полная вероятность излучения света в произвольном направлении за единицу времени равна дР 4овв дг Заев 1 )ьнм ! ' Обычно мы не задаемся вопросом об иалучепии какого-либо определенного фотона, а хотим вместо этого найти вероятность иалучения произвольного фотона (с поляризацией 1) в некоторый малый телесный угол в!1в. Для этого необходимо просуммировать 1 по всем значениям, соответствующим атому паправлению.
Число значепий 1 в единице объема есть д'17(2я)в; если направление 1 задано, то мы должпы взять интеграл по с!1, записав дг! 7(2н)в в виде !вЫЫ!!7(2л)в. Таким образом, вероятность перехода за единицу времени (1 сек) получим в виде в л. У. Квантовая злеятродинамияа (Для этого нужно проинтегрировать выражение (9.54) по всем направлениям с учетом того, что векторы е и вг перпендикулярны и что существуют два возможных направления поляризации.) Исключение переменных электромагнитного поля. Поле излучения представляется квадратичным функционалом действия, поэтому возникает возможность провести интегрирование по всем переменным электромагнитного поля. Именно зто мы здесь и проделаем.
Нам нужно выцолнить интегрирование по всем переменным аш и а,и в выражении (9.44). Для этого нужно еще задать начальное и конечное состояния поля иалучения. Сначала выберем наиболее простой случай, считая, что в обоих случаях мы имеем состояние вакуума и все осцилляторы поля излучения переходят из состояний с нулевым числом фотонов в такие же состояния. Амплитуду перехода при атом можно ааписать как амплитуда= ~ е! 1 чзстХ(еу) Мд, !в/В)а (9.60) где Х (д] — ~ е~и~д~зззиит~зозе~ Ц с(авив)ази (9.6!) 5= ~ ~ !У4я (уа +у*а)+ 2 а а — — аза — — ~ с(в, (9.62) — ! 'о весе з Ьусс \ 2 2 то ясно, что функционал Х представляет собой произведение соответствующих сомножителей.
Интеграл для произвольной моды можно записать как Хж= ~ ~ехр ~ — „~ ~ !/4яу!„а!и+'!у4яузьав, .)- ! 'е ' !сзсз ВУсс ! + — ай,а!и — а!иа!и — — в! о!у 1 1 Яа1и = 2 2 2 У = ехр ~ — —, ~ !!и(!) у!з (в) — е-ыс!!-в!с!у еуг ~ 4н Г ..в ! вв 2 2Усс (9.63) С таким типом интегралов по траекториям мы уже неоднократно встречались, если не считать некоторого усложнения, обусловленного комплексным характером переменных, от которых сначала нужно перейти к действительным переменным. Интеграл точно такого же типа рассматривался в з 9 гл.
8 с той лишь рааницей, что функция у (!) в формуле (8.(36) теперь заменяется на — функционал от переменных д, которые входят в первую часть равенства через токи у. Так как действие представляется в виде сУммы вклаДов от кажДой моДы У„(81и+Язи), гДе о. Вваимодейетвие аоеа о еещеотвоев у = )Г4я1',а и ео равно )вс; тогда окончательное выражение (9.63) совпадет с формулой (8 138). Произведение интегралов типа (9.63) для всех й и обеих поляризаций дает функционал Х=- = ехр ((Х/й), где Х= 2 ~~ ~ ()ж(г))ва(г)+)за(г))зч(г)) й е-мю'-'lейеЬ. (9.64) Таким образом, вопрос о переходе вакуума в вакуум полностью решается методом интегрирования лишь по траекториям переменных, относящихся к веществу: амплитуда= ~ ехр ( л (Зовов+1)) Яд(з).
(9.63) Обсудим ряд следствий, вытекающих из этого результата (случай, когда начальное или конечное состояние отлично от вакуумного, разбирается в гл. 10). Основной вывод имеет простой смысл: функцией действия для вещества является не Я„„, а модифицированная функция 8чаоч = 8чаот + 1. Это изменение обусловлено взаимодействием вещества с электромагнитным полем. Такое толкование не является строго классическим, так как функция действия1 — комплексная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
