Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Для фотонов каждому )г соответствуют две моды с одинаковыми частотами со = )сс, так что в сумме появляется множитель 2, п мы приходим к равенству (10.87), причем область интегрирования по й становится теперь бесконечной. Следствия из выражения (10.90), изученные в различных приближениях Эйнштейном и Дебаем, хорошо объяснили основные особенности температурной зависимости теплоемкости и, в частности, ее поведение при низких температурах, которое находилось в прямом противоречии с предсказаниями классической физики. Сегодня, подставив в выражение (10.90) более точный фононный спектр ю (Й), мы имеем вполне удовлетворительное описание той части теплоемкости твердых тел, которая обязана колебаниям атомов.
у' Б. О фоРмулнровоое основныос ватсонов тозеорни Все предыдущее изложение статистической механики оставляет желать много лучшего. Основной принцип, утверждающий, что вероятность найти систему в состоянии с энергией Е прокорцио- Гл. 10. Статистическая еееканика нальна е — кмт, обычно выводят из рассмотрения взаимодействия сложных систем в течение длительных промежутков времени. Однако при этом возникает связанный с нашим подходом один интересный вопрос. Обсуждение физики в этой книге мы начали с формулировки законов квантовой механики, применяя для этого метод интегрирования по траекториям (см.
гл. 2). Проследим теперь, к чему приведет точка зрения, согласно которой такая формулировка как раз и является фундаментальной. В атом случае оказывается, что статистические свойства системы, квантовое поведение которой описано интегралом по траекториям, выражаются функцией распределения Я.
В свою очередь эта функция также может быть выражена в виде некоторого интеграла по траекториям, очень схожего и тесно связанного с квантовомеханическнм интегралом; подобная вещь проделана в соотношении (10.77). Однако для этого не требуется ни понятия волновой функции, ни существования стационарных состояний, ни вышеупомянутой гипотезы о длительном взаимодействии,— ничего иэ того, что бь1ло необходимо для вывода функции распределения в виде (10.1), зависящем от энергии уровней Е,. В заключение вернемся к формулировке 2 с использованием исходного интеграла по траекториям.
Существует ли какая-нибудь воэможность получить для любой равновесной системы выражение 2 прямо через интеграл по траекториям, описывая таким путем изменение ее состояний во времени7 Если да, то мы еще не знаем, как зто сделать. Можно было бы спросить: а зачем зто нужно7 Это все равно что показывать свое умение плавать с заложенными за спину руками. В конце концов вы знаете, что энергетические уровни существуют.
Единственным оправданием для такой попытки избавиться от их упоминания послужила бы возможность более глубокого понимания физических процессов или возмохеность привлечения более мощных статистических методов. Во всяком случае, разобраться в этом было бы интересно. Отсюда и возникла идея — получить хорошо известный вариационный принцип, позволяющий вычислить наименьшую энергию системы непосредственно из исходной формулировки интеграла по траекториям, а не косвенно (из уравнения Шредингера).
Результат излагается в гл. 11. Таким образом, плоды этих чисто академических размышлений оказались до некоторой степени и полезными, и интересными. Однако (если так предпочтительнее) можно думать, что наша приверженность к определенному способу вычислений вызвана чисто академической заинтересованностью в методах классической физики.
Пусть имеется система, подчиняющаяся принципу наименьшего действия, и ее действие определено соот- е о. О форлеилироеке оеноених локонок теории 319 ношением Я= 2 ~ тх'Ж+ ~ ~ х(~)х(8+а)~Й, ($0.9() так что уравнением ее движения будет тх = — (х (1+ а)+ х (1 — а)). (10.92 Здесь возникает любопытная ситуация, когда на систему действует сила, зависящая от полусуммы ее прошлого и будущего положений. Для уравнения (10.92) существуют экспоненциально растущие решения, но мы условимся считать допустимыми лишь те движения, прн которых х остается конечным н в далеком прошлом, и в отдаленном будущем. Заметим, что если закон действия сформулирован в виде бЗ = О, то отбрасываемые нами решения так или иначе исключаются, поскольку на все вариации траекторий накладывается условие бх-+-0 при ~- ~ оо.
Для такой системы можно записать некоторое выражение, описывающее сохранение энергии, потому что уравнения движения не зависят от времени. (Ни один простой гамильтониан не дает уравнений движения.) Возможно, что свойства системы позволяют ей подвергаться воздействию молекул газа и так достигать теплового равновесия. Зададимся вопросом: каковы средние значения параметров системы, которая подчиняется уравнению движения ($0.92), удовлетворяющих граничным условиям на бесконечности, когда система находится в равновесии при температуре Тр Возможно, что такая задача неразрешима или, быть может, ее легко решить лишь в данном конкретном случае, когда уравнения движения линейны. Однако наша цель — выяснить, действительно ли для формулировки классической статистической механики необходимо существование гамильтоннана и импульса или же можно изучать более широкий класс механических систем, для которых уравнения движения наиболее просто выводятся из принципа наименьшего действия, даже если функция действия содержит не только мгновенные положения и скорости частиц системы.
Зтот вопрос представляет собой классический аналог нашего более интересного вопроса: каким образом в случае равновесного состояния системы мы переходим от описания ее механических свойств, выраженного через интегралы по траекториям, к такому же описанию с точки зрения статистической механики. Задача 10.9.
Покажите, что выражение !+о Р(Х) = — т (х(8))е — — х(Е)х(8+а)+ — ~ х(е'-а) х(Е') ~й' (т0.93) з2о Гя. 10. Статистическая механика является энергией для уравнения движения (10.92) и представляет собой сохраняющуюся величину. Вообще для любого функционала действия Я, не содержащего времени явным образом (т. е. инвариантный относительно преобразования е -и т + совет) существует выражение для энергии Е (Т) в момент Т, которая будет сохраняющейся величиной. Это выражение можно найти, отыскивая в первом приближении изменение действия Я при замене всех траекторий х (а) на х (т + Ч (т)], где т) (~) = + е12 для т ) Т и ц (е) = — е/2 для е й Т при постоянном е. В случае бесконечно малого е бЗ равно еЕ (Т). Задача 10.10.
Рассмотрите, каким образом можно выразить через интегралы по тракториям статистико-механическое описание частицы, которая находится в магнитном поле, постоянном во времени. Глава 11 ВАРИАНИОННЫИ МйаОД В этой главе мы обсудим метод приближенного вычисления интегралов по траекториям, основанный на вариационном принципе. Сначала проиллюстрируем этот метод некоторыми примерами, а потом рассмотрим задачи, в которых он может оказаться полезным. у" 1.
11ринцип минимума Предположим, что мы хотим вычислить свободную энергию системы Г. Эта задача может быть сформулирована на яаыке интегралов по траекториям с помощью функции распределения (см. выражение (10.4)) я = е-зв. (11.1) В соотношении (10.30) функция распределения была представлена как интеграл от матрицы плотности р (х, х). Затем в з 2 гл.
10 было получено выражение матрицы р (х, х) в виде некоторого ядра. Это позволило нам записать (11.2) — о ю если переменную «времени» и рассматривать как мнимую величину. В з 3 гл. 10 мы развили формализм теории возмущений для вычисления интегралов по траекториям, определяющих функцию распределения в некоторых частных случаях.
Теперь опишем другой метод, применимый в тех случаях, когда действие Я является действитпельной величиной, как это имеет место, например, в обычных задачах без магнитного поля (и без учета спина). Всюду в этой главе мы будем предполагать, что при нашем выборе единиц й = 1. Если возникнет необходимость ввести а для того, чтобы подчеркнуть квантовомеханический характер результата, это можно сделать непосредственным анализом размерности.
Пусть нам известно, что некоторая функция Я' удовлетворяет двум условиям: во-первых, Я' — достаточно простое выражение, Гл. ее. Вариационнын л<ен<оЭ так что для простых функционалов 6 можно вычислить интегралы вида ~ вв'Ух (<) или ~ бвв'Ух (<); во-вторых, траектории, дающие существенный вклад в интегралы ~евУх (г) и ~ев'Ух(г),одинаковы, т. е. величины о' и Я близки в случае, когда они обе малы. Предположим далее, что Г' — свободная энергия, соответствующая действию Ю'. Это означает, что ах х\ е-ЭР' ~ ~ ев'Ух(и) <(х< (И.
3) -ео х< и поэтому (И.б) (вх) ) в<х> где (х) — средневзвешенное аначение х. Это следует иа того, что кривая функции ех вогнута вверх, как изображено на фиг. И.1, так что если вдоль нее расположены массы, то центр тяжести ( евах(1) дх< = о-э<в-ж), (И.4) в ~х() Э Так как ев = ев-в'ев', то соотношение (И.4) моя<но ааписать в виде ~ ~ ев-в'ев'Ух(<) <(х< ( ~ ~ ев'Ух(г) <(х<1 =е-Э<в — Р>.
(И.5) Это выражение утверждает, что экспонента ехр ( — р (Р— Р')) представляет собой среднее значение от величины ехр (Я вЂ” Я'); усреднение производится по всем траекториям, совпадающим в начальной и конечной точках, с весом ев'Ух (<) для каждой траектории. При усреднении учитываются все возможные значения х<. Для дальнейших вычислений моя<но было бы предположить равности Я вЂ” Я' и г' — г" малыми и соответствующие экспоненты в обеих частях равенства разложить с точностью до величин первого порядка малости. Справедливость такого шага представляется сомнительной, так как величина р (Р— Р') не мала, если р велико.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
